2.3. Метод мод для волоконного световода

2.3.1. Решение скалярного волнового уравнения для волоконного световода. Структура полей и параметры LP мод. В соответствие с симметрией волоконного световода в плоскости его поперечного сеченияXOYудобно пользоваться полярной системой координат. В этой системе координатыrисвязаны с декартовыми соотношениями: , а оператор Лапласа записывается, как. Соответственно решение скалярного волнового уравнения 1.18 будем искать методом разделения радиальной и угловой переменных [12,13] в виде

, (2.3.1)

где число lполагается целым, чтобы обеспечить инвариантность поля моды, относительно поворота на угол2(рад)вокруг оптической оси световода. Подстановка (2.3.1) в (2.1.13) приводит к исключению множителя exp(il) и к уравнению для радиальной компоненты электрического поля

=0,r;

(2.3.2)

=0,r>.

Причем, как отмечается в разделе 2.1.5, на границе между сердцевиной и оболочкой функции F(r)должны удовлетворять условиям «сшивки». Эти условия можно записать аналогично соотношениям (2.2.2), в виде:

(2.3.3)

Таблица 1. LP моды слабонаправляющих волоконных световодов.

N	Поперечное распределение напряженности электрического поля А(r,)
	Моды нулевого азимутального порядка. LP0m
1	F0(R)
2	F0(R)
Моды высшего азимутального порядка. LPlm (l>0)
1	F1(R)
2	F1(R)
3	F1(R)
4	F1(R)

Примечание. Единичные вектора ,параллельны декартовым осям в плоскости поперечного сечения волоконного световода. F₁(R) – определяется из выражения (2.3.4).

Дифференциальные уравнения (2.3.2) являются хорошо изученными уравнениями:уравнениемБесселя(приr) и модифицированным уравнениемБесселя(приr>). Их решения соответственно представляют следующие комбинации цилиндрических функций:

С₁J_l(Ur/)+С₂N_l(Ux/);

С₃I_l(Wr/)+С₄K_l(Wr/),

где J_l- функция Бесселя, N_l- функция Неймана; I_l– модифицированная функция Бесселя; K_l- функция Макдональда всеl-го порядка; константыС₁,С₂,С₃, иС₄вытекают из граничных условий и дополнительных соображений.

Из представленных в приложении графиков цилиндрических функций (рис.П1-П4) видно, что функция Неймана расходится при r=0, а функция Макдональда бесконечно возрастает с ростом аргумента. С точки зрения математической физики напряженность поля моды должна быть конечной. Поэтому функции Неймана и Макдональда нельзя использовать для описания полей мод. Математически это означает, что коэффициентыС₂иС₄ следует принять равными нулю. Для нахождения остальных коэффициентов используем граничные условия (2.3.3). Первое из них автоматически удовлетворяется, если выбрать⁵ С₁=1/J_l(U),С₃=1/K_l(W). В итоге получаем, что

Рис.2.10 Численные решения характеристического уравнения (2.3.5)

(2.3.4)

В последнем выражении функция F(r)специально снабжена индексом, чтобы подчеркнуть изменение характера радиального распределения поля моды при изменении числа l.

Подстановка выражения (2.3.4) во второе из граничных условий (2.3.3) после преобразований с использованием рекуррентных соотношений для цилиндрических функций (П3-П4) приводит к характеристическому уравнению для фазовых параметров мод волоконного световода:

, (2.3.5)

где U связано сWсоотношением (2.1.12).

Уравнение (2.3.5) имеет дискетный набор корней, описывающих параметры дискретного набора мод. В общем случае эти корни могут быть найдены численными методами, однако в двух важных предельных случаях они представляют набор табулированных чисел.

Вначале рассмотрим случай, когда моды световода далеки от отсечки. Так же, как и для планарного волновода, в этом случае V>>U иWV, поэтому при анализе уравнения (2.3.5) воспользуемся асимптотическим выражением для функцииK_l(W), приW(см. соотношение П6). После несложных преобразований получаем, что правая часть уравнения (2.3.5) стремится к бесконечности. Сравнивая этот результат с левой частью, приходим к выводу, что вдали от отсечки характеристическое уравнение можно записать в видеJ_l(U)=0. Для каждогоlпоследнее уравнение имеет дискретный набор решенийU_l,m=_l,m, где индексm нумерует нули функции Бесселя (_l,m) в порядке их возрастания⁶.

В соответствии с нумерацией корней характеристического уравнения, всем параметрам мод волоконного световода, а также самим модам присваиваются индексы lиm. Числоl, связанное с угловой координатой, называютазимутальным порядкомLP_lmмоды, аmсоответственнорадиальным порядком.

Рис.2.11. Радиальное распределение амплитуды полей LP мод волоконного световода с V=6 (штриховые линии ограничивают область сердцевины волновода)

Во втором предельном случае, когда для мод выполняются условия отсечки, имеемV=U иW=0. В результате применения асимптотическое выражение (П5) для функции Макдональда малого аргумента правая часть характеристического уравнения (2.3.5) стремится к пределу .Далее, используя рекуррентные соотношения (П3-П4) дляJ_l(U),левую часть уравнения (2.3.5) приведем к виду .Сравнивая результаты преобразований правой и левой частей (2.3.5), приходим к выводу, что вблизи отсечки характеристическое уравнение приводится к виду J_1-1(U)=0. Как следствие, вблизи отсечкиU_l,m=_l-1,m.

На рис.2.10 представлены результаты численного решения характеристического уравнения (2.3.5) для различных значений параметра V (данные взяты из работы [2]). Видно, что каждый из разрешенных поперечных фазовых параметров мод находятся в интервале между своими предельными значениями на частоте отсечки и вдали от нее:_l-1,mU_lm<_l,m. При0<V<2,405в световоде может распространяться одна единственная модаLP₀₁. Эта мода не имеет отсечки и, поэтому является основной.

Если 2,405V<3,832, то в световоде могут распространяться две моды,3,832V<5,136- четыре, далее число мод возрастает пропорционально квадрату приведенной частоты.

Зависимость амплитуды полей LPмод от полярного радиуса, рассчитанная в соответствии с выражением (2.3.4) при подстановке в него корней характеристического уравнения проиллюстрирована на рис.2.11 (для случая волоконного световода сV=6).

Азимутальная зависимость амплитуды полей LPмоды описывается выражением (2.3.1) и может быть представлена вещественными функциями, как coslили sinl. В случае, когдаl=0, зависимости от полярного угла нет, т.к. решение с синусом исчезает, а с косинусом превращается в единицу. Таким образом поля мод нулевого азимутального порядка являются центрально-симметричными.

Так же, как ТЕМмоды планарных волноводов, LPмоды круглых волоконных световодов могут быть поляризованы вдоль декартовых осейX иY. Поэтому, каждая изLPмод приl1является четырехкратно вырожденной в том смысле, что для любых значенийlиmсуществуют четыре моды, обладающие одинаковыми фазовыми параметрами (U,W,). При этом две из них поляризованы вдоль осиXи имеют азимутальную зависимость coslили sinl. Две другие поляризованы вдоль оси Yи также имеют азимутальную зависимость coslили sinl. Моды сl=0вырождены двукратно, поскольку для них зависимости от угла нет. Структура полейLP_lmмод представлена в таблице 1 и для двух мод низшего порядкаLP₀₁иLP₁₁проиллюстрирована рис.2.12. Для примера, на рис.2.13 представлено поперечное распределение интенсивностиLPмоды более высокого порядка -32. Видно, что с ростом индексовl и mструктура моды становится более сложной, при этом число световых «пятен» в распределении интенсивности в азимутальном направлении равно 2l, а в радиальном -m(рис.2.13).

Рис.2.12. Структура полей LP мод низшего порядка (стрелками указано направление поляризации света).

Рис.2.13. Распределение интенсивности моды LP₃₂

Полное число направляемыхLPмод волоконного световода может быть найдено в результате подсчета всех решений характеристического уравнения, при учете всех способов вырождения мод. В общем случае это довольно трудоемкая процедура, но для многомодовых световодов, для которыхV>>1, число мод можно оценить, какV²/2 [2-4, 9-11].

2.3.2. Разложение направляемого светового излучения по LP модам. Так же, как иTEMмоды планарных волноводов,LPмоды волоконных световодов обладают свойством ортогональности:

==, (2.3.6)

где ,dS=rdrd. В последнем выражении предполагается, что поляlm-й иpq-й модLPмод имеют одинаковую поляризацию. В случае ортогональной поляризации этих мод интеграл (2.3.6) равен нулю при любых значениях модовых индексов.

В рамках скалярного приближения LPмоды составляют полный набор собственных волн волоконного световода. Это означает, что любую из двух линейно-поляризованных компонент направляемой волны можно описать как суперпозицию полейLPмод соответствующей поляризации:

E(r,)=,(2.3.7)

где E(r,) - проекция вектора напряженности электрического поля направляемой волны на любую из двух декартовых осейXилиY, суммирование в (2.3.7) ведется по всем возможным значениям индексов соответственно поляризованныхLPмод, -lm-й коэффициент разложения, который вычисляется по аналогии с выражением (2.2.9) в виде:

. (2.3.8)

Рис.2.14. Зависимость части мощности LP_lm мод в сердцевине от приведенной частоты световода.

Если предположить, что E(x)- распределение электрического поля вводимого в световод пучка, последнее соотношение можно использовать для расчетов эффективности возбужденияLPмод.

2.3.3. Интенсивность и мощность направляемого излучения. Часть мощности в сердцевине волоконного световода.Мощность светового потока линейно - поляризованной моды находится аналогично тому, как это делается дляTEM мод планарного волновода и может быть рассчитана в соответствие с выражением (2.2.13), в котором индексmмод следует заменить наlm. Мощность светового потокаLP_lmмоды переносимого по сердцевине () можно найти, если в процессе интегрирования интенсивности моды ограничиться диапазоном изменения полярного радиуса от 0 до. Получаем, что=. При этом доля мощности в сердцевине световода будет описываться соотношением (2.2.14) также при заменеmнаlm. Учитывая, выражение (2.3.4) для амплитуды полейLPмод, соотношение, описывающее долю их мощности в сердцевине, можно привести к следующему виду

. (2.3.9)

Графики зависимости _lm(V)для различныхLPмод представлены на рис.2.14. Видно, что так же, как и в случае планарного волновода, значительная часть световой энергии мод волоконного световода распространяется в оболочке, только вблизи отсечки.

2.3.4. EH и HЕ моды волоконных световодов. Поляризационные поправки к скалярному приближению.Как отмечается в разделе 2.1.5 линейно поляризованные моды, могут быть использованы лишь для приближенного описания электромагнитного поля в волоконных световодах. Векторному уравнению Максвелла соответствуютEH иHЕмоды, в общем случае имеющие продольные компоненты напряженности электрического и магнитного полей. В настоящем пособии не ставится задача решения векторных волновых уравнений и получения выражений для распределений полей этих мод. Заинтересованный читатель может обратиться к более фундаментальным работам [2,3,9-11, 14]. Здесь обсудим только наиболее существенные отличияEH,HЕотLPмод, а также особенности описания процессов распространения излучения по волоконным световодам обусловленные этими отличиями.

Рис.2.15. Структура полей гибридных мод низшего порядка.

Решение векторных волновых уравнений показывает, что вместо линейно поляризованных мод в волоконных световодах распространяются истинные, в общем случае - гибридные, волноводные моды, обозначаемые какEH иHЕ. Этим модам соответственно присваиваются индексыl-1,m иl+1,m. Тем не менее порядок этих мод такой же, как и у линейно- поляризованных -l,m. Поэтому, модыEH₀₁ иHЕ₂₁имеют одинаковый порядок (l=1,m=1), аEH₂₁ иHЕ₂₁– разный. В слабонаправляющих волноводах продольные компонентыEH иHЕмод могут быть пренебрежимо малы (напомним, что уLPмод они отсутствуют вовсе). Однако распределение их поперечных компонент мод носит иной характер, чем уLP мод соответствующего порядка. Это распределение представлено в таблице 2, и для мод низшего порядка проиллюстрировано на

Таблица 2. EH и HЕ моды слабонаправляющих волоконных световодов

i	Мода	Поперечное распределение напряженности электрического поля (r,)	Поляризационная поправка к скалярной постоянной распространения.
Основные (l=0) моды
1	Четная HЕ1m	F0(R)
3	Нечетная HЕ1m	F0(R)
Моды высших порядков (l=1).
1	Четная HЕ2m	()F1(R)
2	Четная EH0m	()F1(R)
3	Нечетная HЕ2m	()Fl(R)
4	Нечетная EH0m	()Fl(R)	4=0
Моды высших порядков (l>1).
1	Четная HЕl+1m	()Fl(R)
2	Четная EHl-1m	()Fl(R)
3	Нечетная HЕl+1m	()Fl(R)
4	Нечетная EHl-1m	()Fl(R)	4=3

Примечание. Радиальное распределение поля EH_l-1m и HЕ_l+1m мод (F_l(R)) - такое же, как для LP_Lm мод и определяется из выражения (2.3.4), постоянная распространения равна _lm+, где _lm - постоянная распространения соответствующей LP_lm моды

рис.2.15. Видно, что, за исключением случая l=0,EH иHЕмоды волоконного световода не являются линейно-поляризованными.

Из сравнения данных, приведенных в таблицах 1 и 2, видно что гибридные EH_l-1m иHЕ_l+1mмоды имеют много общего сLP_lm модами. У них одинаковое радиальное распределение поля -F_l(R), а аксиальное - описывается комбинациями sin(l) иcos(l). Постоянные распространенияEH иHЕмод почти равны постоянной распространенияLP мод соответствующего порядка. Тем не менее ненулевая разность в величине постоянной распространенияEH_l-1m иHЕ_l+1mмод носит принципиальный характер.

Из сравнения данных, представленных в таблицах 1 и 2, также следует, что при l>0 поперечное поле каждой из четырехLP_lm мод можно представить в виде комбинации поперечных компонент четных или нечетныхEH_l-1m иHЕ_l+1mмод. Предположим, например, что четнаяHЕ₂₁иЕН₀₁ моды возбуждаются одинаково, а мощность всех остальных мод равна нулю. Если ошибочно пренебречь всеми поляризационными поправками, определяющими разность фазовых скоростей мод, то суммарное поперечное поле в волоконном световоде можно на основании таблицы 2 представить в виде. Видно, что это поле в точности совпадает с полем модыLP₁₁, поляризованной вдоль осиХ. Однако малая, но ненулевая разница между постоянными распространения заставляетLP₁₁моду расщепляться на составляющие ее модыHЕ₂₁иTM₀₁, что приводит к постоянному преобразованию поляризации света в волоконном световоде.

С учетом ненулевых поправок к скалярным постоянным распространения, выражение для суммарного поля HЕ₂₁иTM₀₁мод следует переписать в виде:

. (2.3.10)

Это выражение может быть просто физически интерпретировано. В начале волокна, при z<</(₁-₂) суммарное полеHЕ₂₁иTM₀₁мод практически не отличается от поляLP₁₁моды, поляризованной вдоль осиХ. По мере увеличения координатыzполяризация суммарного поля сначала становится неоднородной по поперечному сечению волокна. Приz=/(₁-₂)поле снова будет однородным, но уже поляризованным вдоль осиY. Наконец, на расстоянииz_Б=2/(₁-₂), называемомдлиной поляризационных биений, суммарное поле возвращается в исходное состояние. Исключение составляют модыLP_0m, каждая из которых может быть представлена как единственнаяHЕ_1mволна, которые сохраняют свою линейную поляризацию на всем протяжении световода. Длина биенийz_Бмод высоких порядков (11) может изменяться в широких пределах в зависимости от геометрических параметров световода, но всегда эта длина в сотни и тысячи раз превышает длину волны направляемого излучения.

Из сравнения данных, представленных в таблицах 1 и 2, следует, что в свою очередь поперечные компоненты гибридных мод можно рассматривать как линейную комбинацию ортогонально поляризованных LPмод соответствующего порядка. Например, рассмотренное выше суммарное поле волнHЕ₂₁иЕН₀₁, можно представить в виде комбинации первой и четвертойLP₁₁мод из таблицы 1. Однако амплитуды этих мод будут функциями продольной координатыz. Так, в выражении (2.3.10) амплитуда LP₁₁моды, поляризованной вдоль осиХбудет изменяться по закону, а амплитуда LP₁₁моды поляризованной, вдоль осиY- по закону. Таким образом, при разложении световой волны в волоконном световоде по наборуLPмод коэффициенты разложения (в выражении (2.3.7)) на самом деле будут не постоянными, а медленно изменяющимися функциями продольной координатыz. Однако для световодов с широким спектром возбуждаемых мод поляризационные изменения усредняются и не играют особой роли.