Этот материал открывает волновой анализ световых процессов в линиях передачи, основанный на решении

уравнений Максвелла, которые могут быть решены либо методом собственных функций (методом мод), либо методом функций Грина.

Метод мод представляет электромагнитное поле суммой решений уравнений Максвелла для среды

без источников.

В методе функций Грина вначале определяется поле от элементарного диполя, находящегося в произвольной точке,

а затем с использованием линейной суперпозиции полей от совокупности диполей определяется поле для заданного источника.

Последний метод будет использован при определении потерь на излучение в оптических волноводах.

поперечная

электрическая

магнитная

гибридная

Введённые обозначения:

• — плотность стороннегоэлектрического заряда(в единицахСИ—Кл/м³);

• —плотность электрического тока(плотность тока проводимости) (в единицах СИ —А/м²); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителейзаряда, она выражается просто как, где— (средняя)скоростьдвижения этих носителей в окрестности данной точки,— плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с)^[29]; в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;

• —скорость светав вакууме (299 792 458м/с);

• —напряжённость электрического поля(в единицах СИ —В/м);

• —напряжённость магнитного поля(в единицах СИ — А/м);

• —электрическая индукция(в единицах СИ — Кл/м²);

• —магнитная индукция(в единицах СИ —Тл=Вб/м² =кг•с⁻²•А⁻¹);

• — дифференциальныйоператор набла, при этом:

означаетроторвектора,

означаетдивергенциювектора.

Приведённые выше уравнения Максвеллане составляют ещё полной системы уравненийэлектромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбужденоэлектромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины,,,ии учитывающие индивидуальные свойства среды, называютсяматериальными уравнениями.

Для определения структуры поля в сердцевине и оболочке световода воспользуемся основными уравнениями электродинамики – уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводов имеют вид

где и- напряженности электрического и магнитного полей соответственно;и- диэлектрическая и магнитная проницаемости среды соответственно;– круговая частота;- плотность электрического тока.

Если раскрыть операции rot и div по составляющим цилиндрической системы координат, то получится структура поля в световоде, состоящая из четырех групп уравнений:

	(7.6а)

	(7.6б)

	(7.6в)

	(7.6г)

Для решения инженерных задач с направляемыми волнами в линиях передачи необходимо знать продольные составляющие и.

Используя оператор Лапласа и производя несложные математические преобразования, получим уравнения продольных электромагнитных составляющих векторов и

где - волновое число световода.

Переходя к условиям, когда напряженность электромагнитного поля вдоль оси изменяется по экспоненциальному закону, получим уравнения

где – коэффициент распространения.

Волновое число и коэффициент распространенияобъединены в поперечное волновое число световода соотношением

Система уравнений для сердцевины.

Продольная составляющая электромагнитного поля для сердцевины определяется уравнениями

где (без учета затухания) – поперечное волновое число сердечника;– волновое число сердечника.

Решения уравнений (7.8) выражаются через цилиндрические функции первого рода – функции Бесселя, имеющие конечные значения при

где и- постоянные интегрирования.

Поперечные составляющие электрического и магнитного полей в сердечнике световода без учета затухания, то есть (множительне пишется), в виде решений уравнений (7.6) имеют вид

Система уравнений для оболочки световода.

Продольные составляющие записываются уравнениями

где (без учета затухания) – поперечное волновое число оболочки световода;– волновое число оболочки с коэффициентом преломления,.

Для решения данных уравнений, исходя из условия, что поле должно стремиться к нулю, следует использовать цилиндрические функции второго рода – функции Ганкеля:

где и- постоянные интегрирования.

Для поперечных составляющих поля в оболочке световода система уравнений имеет следующий вид

Постоянные интегрирования могут быть определены, исходя из граничных условий: равенства тангенциальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела «сердечник – оболочка» ( при):

Найдя постоянные интегрирования и подставив их в уравнения продольных и поперечных составляющих электромагнитного поля можно получить трансцендентное уравнение:

Заключение

Полученные уравнения дают возможность определить неизвестные постоянные и найти структуру поля в сердечнике и в оболочке волоконного световода. В общем случае уравнения имеют ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны или модой.

В идеальном (непоглощающем) сердечнике волновода без потерь распространяется только часть полной мощности источника (луч 3). Остальная часть (лучи 1 и 2) излучается. Мощность, распространяющуюся без потерь представляют классом мод, которые аналогично направляемым лучам называют направляемыми модами. Часть исходной мощности, излучаемой в оболочку и за ее пределы, теряется на начальном участке волновода. Вдали от источника возникает пространственно-установившийся режим.

1 – волны излучения; 2 – волны оболочки; 3 – волны сердечника. 1 и 2 –паразитные волны.

Слабонаправляющие волноводы