ЛЕКЦИИ спецглавы высшей математики / ЛЕКЦИЯ_7_СГВМ / Текст Л7_ гл1 УП

Есть ли необходимость переходить от законов геометрической оптики к волновой теории? Заменили сердцевины со ступенчатым профилем на градиентный профиль, учитывающий межмодовую дисперсию (дисперсия света – зависимость показателя преломления вещества от частоты света) и можно дальше применять законы геометрической оптики. Или вообще перейти на одномодовые световоды…

Оказывается существует внутримодовая дисперсия. Что это такое?

Вопрос 1

Внутримодовая дисперсия

С начала 80-х годов ХХ века был налажен выпуск волоконных световодов, в которых была полностью исключена межмодовая дисперсия. Это одномодовые световоды, световое поле в которых можно условно рассматривать как совокупность лучей, распространяющихся под одни единственно возможным углом по отношению к оптической оси. Оказалось, что и в таких волноводах имеет место уширение импульса излучаемого сигнала. И это можно исследовать на ранее полученном теоретическом базисе.

В рамках геометрической оптики неизбежно приходится брать за аксиому, что длина волны света , а значит и . При таком подходе неизбежно теряется информация о спектральном составе направляемого излучения, так как реальный световой импульс всегда представляет собой волновой пакет, содержащий набор спектральных компонент, каждая из которых распространяется в материальной среде со своей скоростью. Поэтому различные компоненты будут достигать выходного торца световода со своей скоростью. Поэтому различные компоненты будут достигать выходного торца световода за различные промежутки времени. Это приводит к уже известному явлению – к уширению передаваемых импульсов. Данный эффект будет иметь место даже тогда, когда световое поле в волноводе можно условно рассматривать как единственный направляемый луч. Этот эффект называется внутримодовой дисперсией.

Вопрос 3

«Основные уравнения передачи электромагнитного поля

по световоду»

Волоконный световод (ВС) представляет собой тонкую двухслойную стеклянную нить, состоящую из сердечника и оболочки. Каждый из перечисленных элементов ВС обладает различными показателями преломления. Показатель преломления (n) прозрачного вещества представляет собой отношение скорости света в вакууме к скорости света в данном веществе , то есть . Кроме того, показатель преломления зависит от параметров среды и рассчитывается по формуле , где и – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно.

Учитывая, что относительная магнитная проницаемость прозрачного вещества обычно постоянна и равна единице, показатель преломления определится:

- для сердечника: ;

- для оболочки: .

Показатель преломления оболочки постоянен, а сердечника в общем случае является функцией поперечной координаты . Эту функцию называют профилем показателя преломления.

Для передачи электромагнитной энергии по световоду используется известное явления полного внутреннего отражения (ПВО) на границе раздела двух диэлектрических сред, поэтому необходимо, чтобы .

Вспомним случай, когда луч света распространяющийся в среде с показателем преломления , встречает границу раздела со средой, имеющей меньший показатель преломления , как показано на рис. 7. 1.

Рис. 7.1. Распространение луча света на границу диэлектрических сред

В соответствии с законом Снеллиуса , угол в среде с меньшим показателем преломления больше, чем угол падения . При возрастании возрастает и . Так как , то станет равным раньше, чем . Угол падения, для которого преломленный луч скользит по поверхности раздела двух сред (то есть для которого ), называется критическим углом падения или углом полного внутреннего отражения. Угол ПВО рассчитывается из закона Снеллиуса, полагая, что : .

Если угол падения больше критического угла (см. луч 3), то луч не заходит в оболочку, а полностью отражается вовнутрь сердечника. Именно этот принцип ПВО позволяет оптическим волокнам проводить свет.

В зависимости от величины угла , который образуют лучи, выходящие из точечного источника в центре торца световода, как показано на рис. 7.2, возникают волны излучения , волны оболочки и волны сердцевины .

Рис. 7.2. Волны от точечного источника света,

излученные в торец световода

Исходя из пройденного материала ясно, что такое объяснение направляемости света основано на законах геометрической оптики и не учитывает свойств света как электромагнитной волны. Учет волновых свойств позволит установить, что из всей совокупности световых лучей в пределах угла ПВО для данного световода только ограниченное число лучей с дискретными углами может образовывать направляемые волны, которые называются волновыми модами. Эти лучи характеризуются тем, что после двух последовательных переотражений от границ «сердечник – оболочка» волны должны быть в фазе. Если это условие не выполняется, то волны интерферируют так, что гасят друг друга и исчезают. Каждая волноводная мода обладает характерной для нее структурой электромагнитного поля, фазовой и групповой скоростями.

Волны излучения распределяются непрерывно по всей принадлежащей им области углов и образуют непрерывный спектр.

Волны оболочки и волны излучения – паразитные волны, которые отбирают энергию источника возбуждения и уменьшают полезную энергию, передаваемую по сердцевине. Эти волны трудно полностью исключить при возбуждении световода. Кроме того, они возникают на геометрических нерегулярностях световода и неоднородностях материала.

Число мод зависит от соотношения диаметра сердцевины и длины волны. Обозначается (сравните с числом переотражений) и рассчитывается по формуле

(7.1)

где - радиус сердечника волокна; - длина волны света; - параметр высоты профиля сердцевины, определяющийся выражением

Так как и имеют близкие значения, номинальная величина в реальных световодах составляет 0,28 – 2,1 %.

Одномодовые световоды обладают малой дисперсией (искажением сигнала за счет уширения). В многомодовых световодах импульс на приеме уширяется и искажается, что хорошо видно на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Влияние волновода на трансляцию сигнала

Дисперсия в многомодовых световодах существенно ограничивает полосу передаваемых частот и дальность передачи.

Для борьбы с уширением импульсов в оптических световодах со ступенчатым профилем показателя преломления разработан другой тип многомодового волокна, который нашел гораздо более широкое применение в дальней связи – оптические волокна с градиентным профилем показателя преломления. В таких волокнах показатель преломления от центра сердечника к краю изменяется плавно. Ход лучей в градиентном световоде показан на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Ход лучей в градиентном световоде

Лучи теперь как бы изгибаются в направлении максимального значения показателя преломления.

Показатель преломления для градиентных световодов описывается функцией

(7.2)

где - текущая поперечная координата, - максимальное значение показателя преломления сердцевины, – коэффициент, определяющий вид профиля показателя преломления.

При формула описывает ступенчатый профиль показателя преломления. При световоды называют параболическими, так как они имеют профиль показателя преломления, описываемы параболой. На практике волокна с градиентным профилем показателя преломления имеют .

Важной характеристикой световода является числовая апертура NA (Numerical Aperture), которая представляет собой синус от апертурного угла .

Апертурный угол – это угол между оптической осью и одной из образующих светового конуса, воздействующего на торец световода. Таким образом, где - показатель преломления окружающей среды.

В соответствии с законом Снеллиуса числовая апертура может быть выражена через показатели преломления сердцевины и оболочки световода

(7.3)

От значения зависят эффективность ввода излучения в световод, потери на микроизгибах , дисперсия импульсов, число распространяющихся мод.

Между числовой апертурой и показателем высоты профиля показателя преломления существует связь.

(7.4)

Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции, как показано на рис. 7.5.

Проведенный экскурс в пройденный материал позволил вплотную подойти к волновому анализу процессов передачи электромагнитного поля по световоду.

Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции (см. рис. 7.5).

Рис. 7.5. Двухслойный световод

Для описания поведения электромагнитного поля в сердцевине и в оболочке необходимо использовать различные функции. Исходя из физической сущности процессов функции внутри сердечника при должны быть конечными, а в оболочке - описывать спадающее поле.

Для определения структуры поля в сердцевине и оболочке световода воспользуемся основными уравнениями электродинамики – уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводов имеют вид

	(7.5)

где и - напряженности электрического и магнитного полей соответственно; и - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды соответственно; – круговая частота; - плотность электрического тока.

Если раскрыть операции rot и div по составляющим цилиндрической системы координат, то получится структура поля в световоде, состоящая из четырех групп уравнений:

	(7.6а)

	(7.6б)

	(7.6в)

	(7.6г)

Для решения инженерных задач с направляемыми волнами в линиях передачи необходимо знать продольные составляющие и .

Используя оператор Лапласа и производя несложные математические преобразования, получим уравнения продольных электромагнитных составляющих векторов и

	(7.7)

где - волновое число световода.

Переходя к условиям, когда напряженность электромагнитного поля вдоль оси изменяется по экспоненциальному закону , получим уравнения

	(7.8)

где – коэффициент распространения.

Волновое число и коэффициент распространения объединены в поперечное волновое число световода соотношением

(7.9)

Система уравнений для сердцевины.

Переходя к разным структурам световода, легко видеть, что продольная составляющая электромагнитного поля для сердцевины определяется уравнениями

	(7.10)

где (без учета затухания) – поперечное волновое число сердечника; – волновое число сердечника.

Решения уравнений (7.8) выражаются через цилиндрические функции первого рода – функции Бесселя, имеющие конечные значения при

	(7.11)

где и - постоянные интегрирования.

Поперечные составляющие электрического и магнитного полей в сердечнике световода без учета затухания, то есть (множитель не пишется), в виде решений уравнений (7.6) имеют вид

	(7.12)

Система уравнений для оболочки световода.

Продольные составляющие записываются уравнениями

	(7.13)

где (без учета затухания) – поперечное волновое число оболочки световода; – волновое число оболочки с коэффициентом преломления , .

Для решения данных уравнений, исходя из условия, что поле должно стремиться к нулю, следует использовать цилиндрические функции второго рода – функции Ганкеля:

	(7.14)

где и - постоянные интегрирования.

Для поперечных составляющих поля в оболочке система уравнений имеет следующий вид

	(7.15)

Постоянные интегрирования могут быть определены, исходя из граничных условий: равенства тангенциальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела «сердечник – оболочка» ( при ):

	(7.16)

Найдя постоянные интегрирования и подставив их в уравнения продольных и поперечных составляющих электромагнитного поля можно получить трансцендентное уравнение:

	(7.17)

Полученные уравнения дают возможность определить неизвестные постоянные и найти структуру поля в сердечнике и в оболочке волоконного световода. В общем случае уравнения имеют ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны или модой.