Глава 1 Лучевой анализ оптических волноводов

В рамках лучевого подхода считается, что световая энергия распространяется в волноводе вдоль определенных кривых - световых лучей, а явления дифракции и интерференции света во внимание не принимаются. Такой подход соответствует приближению геометрической оптики, которое вытекает из волновых уравнений, при условии, что длина волны излучения мала по сравнению с размерами компонентов оптических систем. Последнее означает, что лучевой подход можно корректно применить только к волноводам, поперечные размеры сердцевины которых намного превосходят длину световой волны. Такие волноводы принято называть многомодовыми. В случае сердцевины малых поперечных размеров дифракцией света пренебречь нельзя и лучевой анализ дает только весьма приблизительное представление о процессах распространения излучения.

1.1 Волноводы со ступенчатым профилем показателя преломления

Устройство двухслойного кварцевого световода, подобного тому, что впервые создал Л. Куртисс, показано на рис. 1.5 Он содержит сердцевину с показателем преломления n₁и оболочку с несколько меньшим показателем преломленияn₂. Часто световоды покрывают сверху защитным полимерным чехлом, который не оказывает влияния на их оптические свойства и на рис. 1.5 не показан. Из-за диффузионных процессов, протекающих в процессе изготовления световодов, показатель преломления на границе между сердцевиной и оболочкой никогда не изменяется скачкообразно. Однако, если это изменение происходит на расстояниях, много меньших длины волны оптического излучения, плавный характер перехода фактически не изменяет волноводных свойств волокна. Следовательно, можно принять, что показатель преломления в световоде изменяется по закону, графически представленному на рис. 1.5в. В этом случае говорят, что световоды имеютступенчатый профиль показателя преломления, или просто -ступенчатый профиль.В настоящее время такие световоды применяются наиболее широко.

Рис. 1.5. Двухслойный световод:

а и б - соответственно поперечное и продольное сечение, в - профиль показателя преломления.

На рис. б показана траектория меридиональных лучей в ВС. 1 - вытекающий луч, 2 - направляемый.

1.1.1. Лучевые траектории и классификация лучей.Прежде чем исследовать распространение световых лучей в волоконных световодах, рассмотрим этот процесс для симметричных планарных волноводов.В случае ступенчатого профиля симметричный планарный волновод состоит из центрального диэлектрического слоя толщиной2 с показателем преломленияn₁, расположенного между двумя слоями оболочки с несколько меньшим показателем преломленияn₂, (рис. 1.6). Из сравнения рис. 1.5би 1.6бвидно, что в продольном сечении симметричный планарный волновод выглядит так же, как и волоконный. Различия начинаются только при учете третьей координаты, направленной на рис. 1.5би 1.6бна наблюдателя. Поэтому симметричные

планарные волноводы удобно рассматривать в качестве упрощенной «двухмерной» модели круглого световода¹. Тем не менее многие результаты,полученные с помощью модели планарного волновода, оказываются непосредственно применимы к световодам круглого сечения.

Рис. 1.6. Симметричный планарный волновод:

а и б - соответственно поперечное и продольное сечения. На рис. б показана траектория направляемого (1) и вытекающего (2) лучей в волноводе

Для удобства дальнейших рассуждений введем систему декартовых координат, так как это показано на рис. 1.6. ОсьZ, являющуюся осью симметрии продольного сечения, назовемоптической осьюволновода.

Будем полагать, что все лучи в волноводе распространяются в плоскости XOZпод различными углами к оптической оси.При этом распространения света вдоль третьей осиY- нет.

Рассмотрим лучи, берущие начало в области сердцевины. Характер их дальнейшего распространения в волноводе существенно зависит от угла падения на границу с оболочкой (угол на рис. 1.6 б). Если этот угол меньше угла полного внутреннего отражения, равного согласно закону Снеллиуса [1],

_ПВО=arcsin(n₂/n₁), (1.1.1)

лучи будут частично отражаться назад в сердцевину и частично преломляться в оболочку (луч 2 на рис. 1.6б). Этот процесс повторится при каждом новом попадании отраженных лучей на границу раздела между сердцевиной и оболочкой. В результате, световая энергия, переносимая ими по сердцевине волновода, будет непрерывно убывать, и такие лучи принято называтьпреломляющимися, или вытекающими. Если же угол падения превосходит_ПВО, то лучи не могут покинуть пределов сердцевины и будут распространяться по ней на большие расстояния по зигзагообразной траектории (луч 1 на рис. 1.6б). Такие лучи называютсянаправляемыми.

В волноводной оптике принято рассматривать не углы падения лучей на границу раздела сред - , а углы их распространения -, отсчитываемые от оптической оси (рис. 1.6б). Как видно из рисунка, в планарном волноводе углыисвязаны простым соотношением=2-, поэтому в терминах углов распространения лучи можно классифицировать, как

направляемые, если ;

(1.1.2)

преломляющиеся (вытекающие), если ;

где

₀=2-_ПВО=arccos(n₂/n₁)(1.1.3)

- критический уголраспространения.

Перейдем к рассмотрению круглых волоконных световодов. Лучи, которые лежат в плоскости, содержащей оптическую ось волоконного световода, называются меридиональными(рис. 1.6б). Для них можно повторить все вышеприведенные рассуждения. Поэтому у меридиональных лучей такая же траектория и такой же критический угол распространения, что у лучей планарного волновода. С точки зрения лучевого анализа, основное отличие волоконных световодов от планарных состоит в том, что кроме меридиональных лучей в круглых световодах могут распространяться так называемые косыелучи, которые никогда не пересекают центральной оси волокна. Их траектория, напоминающая ломанную спираль, показана на (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Траектория косого луча в сердцевине волоконного световода ступенчатого профиля.

Направление распространения косого луча в волоконном световоде так же, как и меридионального принято задавать углом- между лучом и осьюZ. Однако угол падения косых лучей на границу раздела между сердцевиной и оболочкой () уже не равен2-, как у меридиональных, а всегда несколько больше. Поэтому для части косых лучей, у которых угол распространения выше критического, тем не менее угол падения на границу раздела сред будет больше, чем_ПВО. Эти лучи называютсятуннелирующими. Исходя из закона Снеллиуса, можно предположить, что на границе они испытывают полное внутреннее отражение и поэтому относятся к классу направляемых лучей. Однако в действительности это не так. Это связано с тем, что закон Снеллиуса справедлив только для отражения от плоской поверхности, а поверхность же волокна искривлена. Более точный анализ [2,3] показывает, что косые лучи, так же как и меридиональные, будут направляемыми только тогда, когда их угол распространения меньше критического. У туннелирующих же лучей некоторая часть световой мощности излучается в оболочку и теряется. Поэтому туннелирующие лучи, так же как и преломляющиеся являютсявытекающими. Тем не менее потери мощности у туннелирующих лучей гораздо меньше, чем у преломляющихся. Расчеты показывают, что они могут распространяться по волоконным световодам на довольно большие расстояния - до нескольких сот метров [2]. Однако в реальных световодах они сильно рассеиваются на изгибах и неоднородностях и быстро покидают сердцевину, не внося искажений в передаваемые сигналы. Суммируя вышесказанное, отметим, что лучи в волоконных световодах могут быть классифицированы следующим образом:

(1.1.4)

Если придерживаться деления лучей только на вытекающие и направляемые, классификация лучей становится фактически такой же, как и в случае планарных волноводов (1.1.2). С точки зрения передачи световых сигналов по волноводу на большие расстояния, такая классификация более оправдана, поскольку только направляемые лучи полностью удерживаются сердцевиной световода и могут распространяться по ней с предельно малыми потерями, обусловленными в основном затуханием света в материале световода, поэтому, в дальнейшем основное внимание будет уделено свойствам направляемых лучей.

1.1.2. Возбуждение волноводов. Числовая апертура.Рассмотрим вопрос об условиях возбуждения направляемых лучей в оптических волноводах. Будем полагать, что излучение некоторого источника попадает в сердцевину волновода из внешней среды (воздуха) через один из боковых торцов (рис. 1.8). Угол падения светового луча на входной торец () соотноситься с углом его распространения в материале сердцевины, согласно закону Снеллуса:

Рис. 1.8. Возбуждение одного из направляемых лучей в волноводе ступенчатого профиля

n₀sin=n₁sin, (1.1.5)

где n₀– показатель преломления воздуха, который можно положить равным единице. Из выражения (1.1.3) следует, что

sin₀=.(1.1.6)

Тогда приходим к выводу, что и в планарных и в волоконных световодах луч становится направляемым, если угол падения на входной торец не превосходит ₀, где

sin₀=.(1.1.7)

В оптике синус максимального угла падения лучей, которые захватываются оптической системой, называется числовой апертурой. Поэтому, выражение (1.1.7) определяет числовую апертуру волновода, которая обычно обозначаетсяNA.Если ввести обозначения

, (1.1.8)

то соотношение для числовой апертуры можно также представить в виде

NA=.(1.1.9)

Волноводы с большими числовыми апертурами «захватывают» больше света из окружающей среды. Поэтому в эндоскопических волоконно-оптических системах и для целей освещения труднодоступных объектов применяются широкоапертурные световоды. Однако для передачи информации используются слабонаправляющиеволноводы - с очень низкими значениямиNА. Причины, по которым такие волноводы более предпочтительны для систем связи, рассматриваются ниже.

1.1.3. Лучевая (межмодовая) дисперсия.Передача информационных сигналов по оптическим волноводам обычно осуществляется в виде последовательности коротких световых импульсов. Из-за того, что направляемые лучи распространяются в волноводе под разными углами (рис. 1.9), они достигнут выходного торца за разные промежутки времени. В результате каждый передаваемый импульс расширится по времени. Этот эффект известен каклучеваяилимежмодовая дисперсия. Ясно, что при достаточно большом расширении дальнейшая передача данных станет невозможной, поскольку соседние импульсы будут перекрываться и их невозможно будет различить на выходе из волновода.

Величина дисперсии рассчитывается для случая ввода в волновод световых импульсов нулевой ширины (имеющих форму - функции). Быстрее всего выходного торца достигнут направляемые лучи, распространяющиеся под нулевым углом к оптической оси. Они сформируют передний фронт импульса на выходе из волновода. Направляемые лучи, распространяющиеся под критическим углом, достигнут выходного торца за максимальное время и сформируют задний фронт импульса. В результате, длительность выходного импульса или, лучевая дисперсия, станет равнойt=t_max-t_min, гдеt_max=,t_min=- соответственно максимальное и минимальное время распространения направляемых лучей,l- длина волновода,v- скорость распространения световых импульсов. В рамках геометрической оптики скорость распространения света вдоль траектории луча не отличается от фазовой, поэтому можно принять, что в материале сердцевиныv=c/n₁. Тогда, с учетом соотношения (1.1.3), выражение для величины межмодовой дисперсии принимает вид:

Рис. 1.9. Лучевая дисперсия в волноводах ступенчатого профиля.

Эффект увеличения длительности световых импульсов возникает из-за неравенства времени распространения различных направляемых лучей. При этом луч 1 - достигает выходного торца волновода за минимальное время, луч 2, распространяющийся под критическим углом, - за максимальное

. (1.1.10)

Рис. 1.10. Градиентные профили показателя преломления в оптических волноводах

Из выражения (1.1.10) видно, что чем меньшеn, тем меньшим будет дисперсионное уширение импульса при одной и той же длине волокна. Поэтому в настоящее время наибольшее распространение получили слабонаправляющие волноводы с малой разностью показателей преломления сердцевины и оболочки (n=0,01и менее) и, как это следует из выражения (1.1.9), с низкими числовыми апертурами. Для таких световодов выполняется:n₁n₂и поэтому выражение (1.1.10) может быть преобразовано к более простому для вычислений виду:

. (1.1.11)

Временная дисперсия импульсов определяет предельную скорость передачи информации (B) по каналу связи. В общем случаеBзависит не только отtно и уровня шумов в канале и формы передаваемых импульсов. Однако, в случае низкого уровня шумов для приближенных вычислений, оказывается вполне пригодным следующее соотношение [4]:

Рис. 1.11. Построение лучевой траектории в градиентном волноводе

B=1/t=. (1.1.12)

Если принять значения n=1,5(показатель преломления кварцевого стекла) иn=0,01, то, как следует из выражений (1.1.11) и (1.1.12),t/l=33нс/кмиBl=30 Мбиткм/c.При длине световода в несколько километров эта скорость уже становится меньше, чем скорость передачи данных по СВЧ радиоканалу, что лишает волоконно-оптические линии связи одного из основных преимущества. Скорость передачи данных по волоконным световодам может быть увеличена за счет уменьшения разности показателей преломления сердцевины и оболочки световода, как это видно из выражения (1.1.12). Однако, еслиnстановится намного меньшим, чем0,01, световод становится чрезмерно чувствительным к потерям на изгиб [4]. Это требует поиска иных методов уменьшения лучевой дисперсии.