1.2. Волноводы с градиентным профилем показателя преломления

Рис. 1.12. Траектории лучей в градиентном волноводе:

1,2 - направляемые лучи (луч 2 - распространяется под критическим углом);

3 - вытекающий луч

На ранних стадиях развития волоконной техники снижение лучевой дисперсии в световодах достигалось в основном за счет создания в них градиентного профиля показателя преломления. Такой профиль предполагает непрерывное уменьшение показателя преломления с расстоянием от оси от значения n₁в центральной области доn₂в оболочке (рис. 1.10а). Для простоты будем рассматривать профили, подобные изображенным на рис. 1.10б, у которых градиентной является только сердцевина. Однако полученные результаты легко обобщить на профили с градиентной оболочкой.

1.2.1. Лучевые траектории в градиентных волноводах. Вначале рассмотрим более простой случай распространения световых лучей в симметричных планарных волноводах. Качественный анализ можно провести, если условно представить градиентный профиль как последовательность прилегающих друг к другу тонких слоев кварцевого стекла в каждом из которых показатель преломления постоянен, а изменения происходят на границе между слоями (рис. 1.11). Преломляясь на каждой границе лучи будут описывать траекторию, которая в пределе бесконечно тонких слоев и бесконечно малого скачка показателя преломления на границе между ними переходит в плавную кривую. Угол - между касательной к траектории и оптической осью, который будем называть углом распространения луча в градиентных волноводах, все время изменяется в диапазоне от максимального значения(0) приx=0до нуля при наибольшем удалении от оси. Этот угол может быть найден в результате последовательного применения закона Снеллиуса к преломлению лучей на границе между упомянутыми тонкими слоями. На расстоянииxот оси он оказывается равным

сos(x)=. (1.2.1)

Из приведенного выражения следует, что в зависимости от величины начального угла (0)возможно два типа лучевых траекторий. Если(0) больше некоторого угла₀, луч достигает границы с оболочкой и уходит из сердцевины (рис. 1.12). Этот луч является рефрагирующим. Если - меньше, на некотором расстоянииx_max от оптической оси (x_max<) уголобращается в ноль, после чего луч возвращается к центральной оси. Точка с координатойx=x_max, в которой происходит возврат луча к оси волновода называется точкой поворота луча, а угол₀, по аналогии с соответствующим углом волновода ступенчатого профиля, называется критическим.

Уравнение для нахождения координаты точки поворота можно получить непосредственно из соотношения (1.2.1) подставляя в него условие (x_max)=0. В результате получаем, что

n(x_max)=n(0)cos(0). (1.2.2)

Линия, отстоящая от оптической оси планарного волновода на расстоянии x_maxпредставляет геометрическое место точек поворота для всех лучей с одинаковым значением(0). Эту границу называютлучевой каустикой. Из выражения (1.2.2) следует, что чем больше(0), тем дальше от оси волновода располагается лучевая каустика. Лучевая каустика всех направляемых лучей находится в сердцевине волновода, так что для нихx_max<.

Из всех направляемых лучей наиболее удалена от оптической оси каустика луча, пересекающего оптическую ось под критическим углом. Она приходится в точности на границу раздела сердцевины с оболочкой. Подставляя данные для луча с (0)=₀иx_max=в соотношение (1.2.2), а также, учитывая, чтоn(0)=n₁иn()=n₂(рис. 1.12) получаем следующее выражение для величины критического угла в градиентном световоде:

. (1.2.3)

Как видно, критический угол не зависит от характера распределения показателя преломления n(x)и совпадает с критическим углом для волноводов ступенчатого профиля, задаваемым соотношением (1.1.3).

1.2.2. Лучевая дисперсия в градиентных волноводах. Оптимальный профиль показателя преломления.Из рис. 1.12 видно, что лучи пересекающие осьZпод большúми углами, проходят в градиентном волноводе по более длинным траекториям, чем лучи распространяющиеся вдоль оптической оси. Если бы показатель преломления был распределен равномерно по сердцевине волновода лучи первого типа распространялись бы дольше, чем второго. Однако значительная часть траектории наклонных лучей находится на некотором расстоянии от оси, где показатель преломления градиентного волновода ниже, чем в центре. Поэтому, скорость распространения таких лучей, равнаяс/n(x)в среднем выше, чем у осевых. Это приводит к частичному выравниванию времени распространения наклонных и осевых лучей и, как следствие, к уменьшению временной дисперсии.

Траектория луча в градиентном волноводе, как и в любой другой среде с изменяющимся показателем преломления описывается уравнением эйконала, или лучевым уравнением:

, (1.2.4)

где s– расстояние, отсчитываемое вдоль траектории луча,- радиус вектор точки, принадлежащей траектории,- вектор градиента. Это уравнение можно рассматривать как обобщение закона Снеллиуса и получить различными способами [1].

В случае слабонаправляющего волновода лучи распространяются почти параллельно центральной оси волновода. Это позволяет аппроксимировать sрасстоянием вдоль осиZ. Такое приближение называетсяпараксиальным. Учитывая, что в случае планарного волновода показатель преломленияn(x) зависит только от координатыx, в рамках параксиального приближения соотношение (1.2.4) можно преобразовать к следующему виду:

. (1.2.5)

Для выяснения конкретного вида лучевой траектории необходимо в явном виде задать закон по которому изменяется показатель преломления. Для определенности будем полагать, что распределение показателя преломления в поперечном сечении волновода является параболическим:

, (1.2.6)

Этот профиль особенно интересен, поскольку обусловленные им траектории имеют простой вид и при этом, как будет показано далее, он близок к оптимальному, обеспечивающему минимальную дисперсию.

Подставляя выражение (1.2.6) в соотношение (1.2.5) и учитывая, что для слабонаправляющих волноводов при любом значении координаты xвыполняется:n(x), получаем следующее уравнение для траектории направляемых лучей, распространяющихся по сердцевине волновода

. (1.2.7)

Это простое дифференциальное уравнение, решения которого хорошо известны и имеют вид [5]

, (1.2.8)

где величины x_maxи₀определяются начальными условиями.

Из выражения (1.2.8) следует, что траектория направляемых лучей в волноводе с параболическим профилем имеет вид синусоиды. Причем период синусоиды одинаков для всех лучей независимо от угла распространения. Это означает, что все сходящиеся в одной точке лучи будут сфокусированы вновь, образовав периодическую последовательность точек фокуса вдоль волновода (рис. 1.13).

В физической оптике сформулирован принцип Ферма, который требует, чтобы время распространения света вдоль траектории луча не превосходило время распространения вдоль любой другой близлежащей кривой, соединяющей начальную и конечную точку лучевой траектории [1]. Поскольку траектории направляемых лучей в градиентном волноводе располагаются в непосредственной близости друг от друга и пересекают одни и те же точки фокусировки, принцип Ферма требует, чтобы для всех этих лучей время распространения было одинаковым. Следовательно, лучевая дисперсия становится равной нулю.

Рис. 1.13. Траектории направляемых лучей в градиентном волноводе оптимального профиля

Напомним, что сформулированный выше результат получен в параксиальном приближении. Если попытаться ослабить его условия, это приведет к иному виду оптимального профиля показателя преломления, чем (1.2.6). В работе [2] показано, что такой оптимальный профиль для планарного волновода имеет вид

. (1.2.9)

Этот профиль называется гиперболическим секансным. Его разложение в ряд по степенямxпоказывает, что параболический закон (1.2.6) может рассматриваться, как первое приближение к оптимальному.

Перейдем к рассмотрению световодов круглого сечения. Как и в случае ступенчатого профиля, меридиональные лучи круглых градиентных световодов имеют такие же траектории, как и лучи соответствующих планарных волноводов. Поэтому выражения (1.2.1 – 1.2.9) справедливы для меридиональных лучей таких световодов при замене координаты x наr, где подrпонимается расстояние от оптической оси. При выборе гиперболического секансного профиля для круглых волоконных световодов возможна полная компенсация дисперсии меридиональных лучей.

Однако, кроме меридиональных в градиентных световодах распространяются косые лучи. Их траектория представляет объемную спираль, которая в отличие от световодов ступенчатого профиля, не имеет изломов. Косые лучи нигде не пересекают оптической оси волновода, поэтому кроме каустики точек поворота для них существует внутренняя каустика радиуса r_minвнутрь которой косые лучи не проникают.

В отличие от меридиональных косые лучи не имеют общих точек фокусировки, поэтому их дисперсию невозможно оценивать из геометрических соображений на основе принципа Ферма. Строгий анализ показывает, ни параболический, ни гиперболический секансный профили не обеспечивают полного выравнивания времен распространения меридиональных и косых лучей. Более того, соответствующий профиль не известен. Минимальную дисперсию для всех лучей в градиентном световоде круглого сечения, равную

t =, (1.2.10)

обеспечивает так называемый усеченный степенной профильпоказателя преломления, описываемый выражением

, (1.2.11)

где параметр qподбирается экспериментально. В зависимости от химического состава материала сердцевины волокна и длины волны используемого излучения он варьируется в пределах от 1,6 до 2.4 [4]. В случаеq=2 усеченный степенной профиль совпадает с параболическим.

Из сравнения выражений (1.2.10) и (1.1.13) видно, что временное уширение импульсов в градиентных световодах усеченного степенного профиля оказывается в 8n/nраз меньше, чем в волокнах ступенчатого профиля. Например, приn=1,5иn=0,01получаем более чем тысячекратное улучшение дисперсионных характеристик волоконно-оптического канала и такое же увеличение скорости передачи информации. (Скорость возрастает до36 Гбиткм/cпо сравнению с30 Мбиткм/c- в случае ступенчатого профиля).