1.3. Внутримодовая дисперсия

В предыдущем разделе было показано, что градиентные световоды обладают высокой информационной пропускной способностью по сравнению с многомодовыми световодами ступенчатого профиля. Благодаря этому они считались некоторое время назад одним из наиболее перспективных типов оптических волокон для связи на длинные дистанции. Однако с начала 80-х годов ХХ века удалось наладить промышленный выпуск волоконных световодов в которых лучевая дисперсия полностью исключена. Это так называемые одномодовые световодысветовое поле в которых может условно рассматриваться как совокупность лучей, распространяющихся под одним единственно возможным углом по отношению к оптической оси. Детальный анализ таких световодов возможен только на основе волновой оптики. Однако основные причины, по которым происходит временное уширение импульсов в таких волноводах, можно выяснить, оставаясь в рамках лучевых представлений, приняв также во внимание некоторые элементарные свойства световых волн.

До сих пор в рамках геометрической оптики мы неявно полагали длину световой волны бесконечно короткой, поскольку само понятие светового луча вытекает из волновых уравнений предельном случае, когда 0. При таком подходе мы неизбежно теряли информацию о спектральном составе направляемого излучения. Действительно, если0, то и0. Между тем реальный световой импульс всегда представляет собой волновой пакет, содержащий набор спектральных компонент, каждая из которых распространяется в материальной среде со своей скоростью. Поэтому различные компоненты будут достигать выходного торца световода за различные промежутки времени. Это приводит к уширению передаваемых импульсов. Данный эффект будет иметь место даже тогда, когда световое поле в волноводе можно условно рассматривать как единственный направляемый луч. Этот эффект называетсявнутримодовойдисперсией. Для его анализа рассмотрим волну с плоским фронтом, волновой вектор которой направлен под угломк осиZ. Пренебрегая дифракцией, можно принять, что такая волна формирует пучок перпендикулярных ее фронту и параллельных между собой лучей, которые являются направляемыми или вытекающими в зависимости от величины(рис. 1.14). Волны, соответствующие направляемым лучам, называютсянаправляемыми модами, а вытекающим –вытекающимимодами волновода.

a)

б)

Рис. 1.14. Представление светового поля в световоде плоской волной:

а - волна с плоским фронтом (ab – плоскость фронта) и соответствующий ей пучок лучей (показаны стрелками);

б - фазовые параметры направляемой волны

Проекция вектора любой из этих волн на оптическую ось световода называетсяпостоянной распространения моды. Из элементарных геометрических соображений (рис. 1.14) следует, что постоянная распространения может быть рассчитана в виде:

, (1.3.1)

где k₀=2/=/c– волновое число (модуль волнового вектора) в вакууме,k=k₀n₁– волновое число в сердцевине волновода, - длина волны,- ее круговая частота. В результате сравнения выражений (1.1.2) и (1.3.1) видно, что

(1.3.2)

Проекцию волнового вектора на поперечную ось, лежащую в одной плоскости с вектором (на рис. 1.14 - это осьХ), обозначим какk_X. Величина

U= k_X =

называется поперечным фазовым параметроммоды. Легко видеть, что параметрыи Uсвязаны между собой соотношением:

. (1.3.3)

С учетом выражения (1.1.6), можно заключить, что для направляемых мод поперечный фазовый параметр изменяется в пределах

0UV (1.3.4)

где число

(1.3.5)

задающее верхнюю границу диапазона изменения поперечного фазового параметра называется приведенной частотой или волноводным параметром световода. Из теории оптических волноводов [2] известно, что этот параметр определяет модовый состав световода. Например, еслиV>>, то количество возбуждаемых в нем направляемых мод будет велико и световод в этом случае называетсямногомодовым. ЕслиV, то число мод будет мало и, соответственно, световод будет называтьсямаломодовым. Наконец, еслиV<2,405, в волоконном световоде может возбуждаться одна единственная направляемая мода и в этом случае он становится одномодовым.

Для волноводных мод введем также эффективный показатель преломлениямоды, определяемый соотношением

n_эф=/k(1.3.6)

Как следует из выражения (1.3.1), для направляемых мод этот параметр лежит пределах от n₂доn₁. Так же как и обычный показатель преломления эффективный показатель преломления определяет фазовую скорость распространения волны

v=c/n_эф=/. (1.3.7)

В соответствие со сказанным выше, будем считать, что направляемая волна не является монохроматической, а представляет суперпозицию близки по частоте волн. Время распространения такого волнового пакета в материальной среде определяется не фазовой, а групповой скоростью. Последняя задается производной показателя преломления по частоте и, поэтому, применительно к волноводным модам может быть рассчитана, как

v_гр= dn_эф/d ==d/d. (1.3.8)

Дальнейшие рассуждения будут удобно проводить, если в выражении (1.3.8) круговую частоту заменить соответствующей ей длиной волны, равной =2c/. Учитывая, чтоd=-(2c/²) dполучаем

v_гр=. (1.3.9)