Выводы к главе 2

Таким образом, в рамках волновой оптики электромагнитное поле направляемого по оптическому волноводу излучения представляют в виде разложения в ряд по дискретному набору собственных функций волновода или волноводных мод. Собственные функции специфичны для данного типа волноводов. Они могут быть получены как решения уравнений Максвелла при учете граничных условий, соответствующих геометрии волновода. В случае симметричного планарного волновода моды являются поперечными электрическими (ТЕ) или поперечными магнитными (ТМ) собственными волнами.

Моды волоконного световода являются в общем случае гибридными (ЕНилиНЕ) волнами, электрическое и магнитное поле которых имеет продольные компоненты. Эффективность возбуждения или амплитуды мод могут быть рассчитаны как коэффициенты разложения поля направляемой волны по собственным функциям. Число возбуждаемых мод определяется волноводным параметром. В симметричном планарном волноводе оно приблизительно равно4V/, в волоконном -V²/2. Каждая мода имеет частоту отсечки, то есть такое значениеV, ниже которого она распространяться не может. ПриV <1,5108в симметричном планарном волноводе и приV <2,4048- в волоконном остается только одна мода.

В случае слабонаправляющих волноводов для описания процессов распространения направляемого излучения можно воспользоваться скалярным приближением, что позволяет значительно упростить вычисления. В этом приближении моды аппроксимируют поперечными электромагнитными волнами. В случае планарных волноводов, такие волны принято обозначать, как ТЕМмоды, в случае волоконных - какLPмоды. Параметры этих волн определяются из решений скалярного волнового уравнения и мало отличаются от параметров настоящих мод слабонаправляющих волноводов.

При использовании скалярного приближения следует учитывать, что в его рамках полностью теряется информация о поляризационных изменениях направляемого излучения. Учесть эти изменения можно с использованием соответствующих поляризационных поправок к скалярным фазовым параметрам мод.

Контрольные задания

Задача 2.1. В планарном волноводе распространяются две плоские волны с одинаковой фазовой скоростью, так что волновой вектор одной из них ориентирован под углом+, а другой-к оси, так как это показано на рис.16. Амплитуды обеих волн равны, векторы напряженности их электрических полей перпендикулярны плоскости чертежа, причем у одной из них векторнаправлен к наблюдателю, а у другой - от наблюдателя. Рассчитайте распределение амплитуды электрического и магнитного поля суммарной волны.

Задача 2.2. Решите предыдущую задачу в случае, когда векторы напряженности магнитных полей обеих волн перпендикулярны плоскости чертежа и направлены к наблюдателю.

Задача 2.3. Решите задачу 2.1 в случае, когда векторы напряженности магнитных полей обеих волн перпендикулярны плоскости чертежа, причем у одной из них векторнаправлен к наблюдателю, а у другой - от наблюдателя.

Задача 2.4. Какие моды будут возбуждаться в симметричном планарном волноводе приV=3, V= 5 иV=8?

Задача 2.5. Излучение длиной волны 1,3 мкм вводится в симметричный планарный волновод. Показатель преломления сердцевины световода равен 1,47; оболочки - 1,465. КакиеTEMмоды будет направлять световод, если полуширина его сердцевины равна 5 мкм? 10мкм?

Задача 2.6. Отсечка модыTEM₁в симметричном планарном волноводе наступает на длине волны 1,48 мкм. Каким будет модовый состав волновода на длинах волн 1,3 мкм; 1,2 мкм и 0,8 мкм?

Задача 2.7. Показатель преломления сердцевины симметричного планарного волновода равен 1,47, разность между показателем преломления сердцевины и оболочки - 0,003. Какой следует выбрать полуширину сердцевины, чтобы на длине волны 1,55 мкм этот волновод был одномодовым?

Задача 2.8. Рассчитайте постоянную распространения модTEM₀иTEM₁, возбуждаемых в симметричном планарном волноводеcпараметрами:n₁=1,48;n₂.=1,46,=50 мкм. Длину волны излучения принять равной1,3 мкм.

Задача 2.9. Рассчитайте постоянную распространения модыTEM₁₁, возбуждаемой на длине волны1,3 мкмв симметричном планарном волноводе c параметрами:n₁=1,48;n₂.=1,477,= 5.3 мкм.

Задача 2.10. Покажите, что нормировкаТЕМ_mмоды может рассчитана в видеN=.

Задача 2.11. Покажите, что доля мощностиТЕМ_mмоды в сердцевине планарного волновода может быть рассчитана в виде.

Задача 2.12. Покажите, что полная мощность направляемой по планарному волноводу волны может быть вычислена, какP=P_Х+P_У, гдеP_Т=,гдеТ– означает любую из поперечных осейXилиY, -m-й коэффициент разложения декартовой компоненты волны в ряд поTEMмодам,N_m-- нормировкаТЕМ_mмоды.

Задача 2.13. Оцените разницу в фазовых скоростях основныхТЕ₀иТM₀ мод в симметричном планарном волноводе с параметрами:n₁=1,48;n₂.=1,475,V=2.Длину волны излучения принять равной1,3 мкм.

Задача 2.14. Оцените разницу в постоянных распространенияТЕ₂иТM₂ мод в симметричном планарном волноводе с параметрами:n₁=1,48;n₂.=1,47,V=6.Длину волны излучения принять равной1,3 мкм.

Задача 2.15. Оцените величину межмодовой дисперсии в одномодовом симметричном планарном волноводе с параметрами:n₁=1,48;n₂.=1,475,V=1,5, неучтенную в скалярном приближении. Длина волновода равна 1 м, длина волны излучения -1,3 мкм.

Задача 2.16. Исходя из граничных условий (2.3.3) и рекуррентных соотношений для цилиндрических функций (П3-П4) получите характеристическое уравнение (2.3.5) для волоконного световода.

Задача 2.17. Используя рекуррентные соотношения для цилиндрических функций (П3-П4) покажите, что левую часть характеристического уравнения (2.3.5) можно преобразовать к виду .

Задача 2.18. Используя асимптотические выражения для цилиндрических функций (П5) покажите, что вблизи отсечки (приUV, W0) правая часть уравнения (2.3.5) стремится к2l.

Задача 2.19. Какие корни будет иметь характеристическое уравнение (2.3.5) вблизи отсечки моды LP_0m, приm=1, 2, 3?

Задача 2.20. Какие моды будут возбуждаться в волоконном световоде приV=3, V= 5 иV=8?

Задача 2.21. Излучение длиной волны 1,3 мкм вводится в волоконный световод. Показатель преломления сердцевины световода равен 1,47; оболочки - 1,465. КакиеLPмоды будет направлять световод, если радиус его сердцевины равен 5 мкм? 10мкм?

Задача 2.22. Отсечка модыLP₁₁в волоконном световоде наступает на длине волны 1,48 мкм. Каким будет модовый состав световода на длинах волн 1,3 мкм; 1,2 мкм и 0,8 мкм.

Задача 2.23. Показатель преломления сердцевины волоконного световода равен 1,47, разность между показателем преломления сердцевины и оболочки - 0,003. Каким следует выбрать радиус сердцевины, чтобы на длине волны 1,55 мкм этот световод был одномодовым?

Задача 2.24. Рассчитайте постоянную распространения модLP₀₁иLP₁₁, возбуждаемых на длине волны1,3 мкмв волоконном световодеcпараметрами:n₁=1,48;n₂.=1,46,=50 мкм.

Задача 2.25. Рассчитайте постоянную распространения модыLP₁₁, возбуждаемой на длине волны1,3 мкмв волоконном световоде c параметрами:n₁=1,48;n₂.=1,477,= 5,3 мкм.

Задача 2.26. На входном торце волоконного световода возбуждаются модыLP₀₁иLP₁₁. Напряженность электрического поля модыLP₀₁распределена в плоскости входного торца по законуF₀(R), модыLP₁₁- по законуF₁(R). Постоянные распространения мод равны₀₁и₁₁соответственно. Получите выражения для интенсивности интерференционного поля этих мод на произвольном расстоянииzот входного торца. Условно принимая, чтоF₀₁(R)=F₁₁(R)=const, постройте распределение поляризации суммарного поля мод в плоскости поперечного сечения световода приz=0иz=.

Задача 2.27. Постройте распределение поляризации поля четной HЕ₂₂моды в плоскости поперечного сечения световода.

Приложение