Среднее время распространения светового импульса, определяемое величиной групповой скорости, составляет

t()=l/v_гр=, (1.3.10)

а уширение импульса может быть рассчитано при разложении зависимости t() в ряд Тейлора

, (1.3.11)

где  - ширина спектра излучения.

Если в световод вводится излучение светодиода или лазера, обладающее узким спектром, то <<, и в выражении (1.3.11) можно ограничиться только первым членом разложения. Тогда, с учетом соотношения (1.3.10) величина внутримодовой дисперсии может быть рассчитана

t_ВМ==. (1.3.12)

Эффективный показатель преломления входящий в последнее выражение может быть с учетом соотношений (1.3.4) и (1.3.7) представлен в виде

n_эф=. (1.3.13)

Для слабонаправляющего световода n<<n, поэтому, как следует из выражений (1.1.6) и (1.3.3): sin<<1 иU << k₀ n₁. Это означает, что второе слагаемое под корнем в соотношении (1.3.13) много меньше единицы и это соотношение можно с хорошей точностью представить в виде

n_эф==. (1.3.14)

Подставляя выражение (1.3.14) в соотношение (1.3.12) получаем:

, (1.3.15)

где

(1.3.16)

- уширение импульсов собственно в материале световода. Этот вид дисперсии называется материальной дисперсией.

(1.3.17)

- уширение вследствие зависимости волновых параметров направляемого излучения от длины волны. Этот вид дисперсии называется волноводной.

Из выражения (1.3.16) видно, что уширение импульсов вследствие материальной дисперсии пропорционально второй производной показателя преломления по длине волны. На рис. 1.15 (кривая 1) представлен график зависимости параметра уширения отдля случая чистогоSiO₂. Как видно, вблизи₀=1,276 мкмвторая производная обращается в ноль и, вследствие этого, материальная дисперсия становится равной нулю. Поэтому,₀часто называют длиной волны нулевой материальной дисперсии в кварце.

Влияние волноводной дисперсии на уширение световых импульсов можно продемонстрировать с использованием данных, представленных в работе [4] и проиллюстрированных здесь кривыми 2 и 3 на рис. 1.15. Эти кривые являются результатами расчетов зависимости параметра уширения от, полученные с учетом обоих слагаемых выражения (1.3.15) для различных параметров одномодовых световодов. Из сравнения этих кривых с зависимостью 1 видно, что влияние волноводной дисперсии в основном сводится к сдвигу дисперсионных кривых вправо и, как следствие, к некоторому увеличению длины волны «нулевой» дисперсии. При этом сравнительно легко можно увеличить эту длину до₀=1,3 мкм,на которой, как это видно из рис. 1.3, наблюдается один из наиболее глубоких минимумов потерь в кварцевом стекле. Поэтому эта длина волны является одной из самых «популярных» при разработке современных волоконно-оптических линий связи. При специальном подборе параметров световода можно сдвинуть длину волны «нулевой» дисперсии еще дальше вплоть до₀=1,55мкм,для которой достигается теоретический предел прозрачности кварцевого стекла. Световоды с такими параметрами в настоящее время считаются наиболее перспективными для дальней связи. Однако они дороже и требуют использования более дорогих источников излучения, чем световоды, рассчитанные на длину волны1,3мкм.

Следует особо подчеркнуть, что исчезновение внутримодовой дисперсии на длине волны ₀является результатом, который получен при учете только первого члена в разложении (1.3.11). Поэтому на длине волны «нулевой дисперсии» на самом деле существует некоторая не равная нулю дисперсия, которая определяется неучтенными слагаемыми в выражении (1.3.11). Однако эта остаточная дисперсия оказывается очень малой. При использовании узкополосных лазерных источников излучения с шириной линии в несколько нанометров она составляет единицыпс/км. При этом произведение скорости передачи информации на расстояние достигает сотенГбиткм/c. Как видно, информационные характеристики одномодовых световодов гораздо лучше, чем у градиентных волокон, поэтому именно одномодовые световоды в настоящее время используются в линиях дальней волоконно-оптической связи.

Рис. 1.15. Зависимость параметра материальной дисперсии от длины волны:

1 - в чистом SiO₂;

2 - в одномодовом световоде с диаметром сердцевины - 10 мкм;

3 - в одномодовом световоде с диаметром сердцевины - 5 мкм

1.4. Границы применимости приближения геометрической оптики

В рамках геометрической оптики принимается, что любой пучок параллельных лучей распространяется в волоконном световоде, не расширяясь, причем лучи считаются направляемыми, если они распространяются под углами ниже критического. Однако из-за дифракции любой пучок лучей с ограниченной апертурой всегда является расходящимся. Угол расходимости пучка оценивается в теории дифракции, как _Диф=/(nd), гдеd- диаметр апертуры пучка,n– показатель преломления среды. Для световодов можно принять, что диаметр распространяющихся в них световых пучков приблизительно равен диаметру сердцевины, поэтому, если диаметр сердцевины световода достаточно мал, дифракционная расходимость распространяющегося по нему световых пучков может стать выше, чем критический угол. Понятно, что в этом случае геометрическая оптика становится плохим приближением. Это означает, что лучевой анализ дает достаточно точные результаты только при выполнении условия:_Диф<<₀. Принимая во внимание выражения (1.1.3) и (1.3.5) и учитывая, чтоd=2, получаем, что данное условие может быть переписано в виде

. (1.4.1)

Из последнего выражения видно, что лучевой подход применим только к многомодовым световодам с высокими значениями приведенной частоты. Применение же его к световодам с Vможет привести к весьма неточным результатам. Поэтому, анализ распространения светового поля в маломодовых и одномодовых световодах должен проводиться на основе понятий волновой оптики.