Kinematics_L4b_K
.pdf
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
КИНЕМАТИКА
1
Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный Университет (Сибстрин)
ЛЕКЦИЯ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Тело будет следовать тому движению, которое слагается из стремлений отдельных его частей
Леонардо Эйлер
Кафедра теоретической механики
Движение материальной точки
способы задания движения: векторный, координатный, естественный; задачи кинематики; кинематические характеристики тел: траектории, скорости, ускорения.
ВВЕДЕНИЕ
– изучение кинематики простейших движений твёрдого тела
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ
Введение
Задание движения твердого тела Поступательное движение Вращательное движение
Закон вращательного движения
Угловая скорость и угловое ускорение
Скорости и ускорения точек твердого тела при вращательном движении
Заключение
4
Очевидно,
что если известен закон движения всех N точек тела, то можно определить его положение и кинематические характеристики всех составляющих его точек.
Вопрос:
можно ли это сделать, имея сведения о движении (зная закон движения) лишь некоторой совокупности n<N точек данного тела?
ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
|
|
Покажем, |
|
что |
положение |
||
z |
|
твердого тела вполне |
определяется |
||||
A2 |
заданием |
6-и |
независимых |
||||
|
параметров. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
A1 |
|
Возьмем |
3-и |
не |
лежащие |
на |
|
A3 |
одной прямой точки тела A1, A2, |
A3 |
|||||
|
|||||||
O |
y |
с координатами |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
x |
|
xk=xk(t), yk=yk(t), zk=zk(t) (k=1, 2, 3). |
|||||
Их |
положение |
характеризуется |
9-ю |
параметрами |
|||
(координатами).
ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
Задание движения твердого тела
z
d1
A1
d3
O
x
Соединим точки между собой.
A2 |
|
Так |
как |
расстояния |
d1, |
d2, |
d3 |
не |
|
d2 |
A |
изменяются, то координаты точек должны |
|||||||
удовлетворять уравнениям |
|
|
|
||||||
|
4 |
|
|
|
|||||
|
A3 |
(x2 − x1)2 +(y2 − y1)2 +(z2 − z1)2 = d12 |
|
||||||
|
y |
(x3 − x2 )2 |
+(y3 − y2 )2 +(z3 − z2 )2 = d22 |
(1) |
|||||
|
|
(x − x )2 |
+(y − y )2 +(z − z )2 |
= d 2 |
|
||||
|
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
3 |
|
Следовательно из девяти координат независимых только шесть, остальные три определяются из уравнений (1).
Если взять еще одну точку A4 с координатами x4, y 4, z 4, то эти координаты должны будут удовлетворять трем уравнениям вида (1).
ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
Задание движения твердого тела
Таким образом, положение твердого тела относительно произвольно выбранной системы координат вполне определяется 6-ю независимыми параметрами.
Число независимых параметров, определяющих положение системы в пространстве называют числом степеней свободы.
ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется такое движение тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, остается в процессе движения параллельной самой себе.
Траектории точек твердого тела при поступательном движении при наложении друг на друга совпадают, говорят,
что они конгруэнтны
Свойства поступательного движения полностью характеризуются следующей теоремой
При поступательном движении абсолютно твердого тела все его точки описывают конгруэнтные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и ускорения
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
x
∆rA
|
|
|
|
II |
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
B |
|
||
|
I |
∆rB |
Пусть твердое |
тело движется |
|||
|
|
||||||
z |
B0 |
|
поступательно относительно системы |
||||
|
|
ρ |
|
координат Oxyz. Из рисунка следует |
|||
|
rB |
A |
rB = rA + ρ |
|
(2) |
||
|
∆rA |
|
|||||
|
|
|
В момент времени |
t |
тело занимало |
||
|
rA |
A0 |
|
||||
|
|
|
положение I, а в момент t+∆t положение II. |
||||
|
O |
y |
|||||
|
|
|
Во время движения вектор |
ρ |
не изменяется, |
||
A0B0 |
и AB равны и параллельны, A0B0BA – параллелограмм и |
||||||
= ∆rB |
, т. е. перемещения всех точек равны между собой. |
||||||
Продифференцировав (2) по времени, получим |
|
||||||
|
drB |
= |
drA |
+ |
dρ |
. |
(3) |
|
dt |
|
|
||||
|
|
dt dt |
|
||||
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ