Kinematics_L4b_K
.pdfПоступательное движение твердого тела
Так как ρ = const, |
то |
|
dρ |
= 0 и |
dr |
= |
dr |
|
dt |
dt |
dt |
||||
|
|
|
|
|
B |
|
A |
или |
|
|
|
|
|
|
(4) |
vB = vA. |
|
|
|
||||
Дифференцируя (4) устанавливаем связь между
ускорениями точек тела при поступательном движении aB = aA.
Теорема доказана
Из доказанного следует, что поступательное движение тела полностью определяется движением одной (любой) его точки.
Изучение поступательного движения сводится таким образом к уже изученной кинематике точки.
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
B
При движении твердого тела с двумя неподвижными точками A и B все точки на прямой AB остаются неподвижными.
A
Прямую AB называют осью вращения, а движение тела – вращательным.
Все точки тела описывают дуги окружности с центрами в основаниях перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось вращения.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
B |
Возьмем на оси вращения две точки A и B и |
||||
введем |
систему |
координат |
Axyz |
||
z |
|||||
|
с началом в точке A. |
|
|
||
С |
Так как положение точек A и B – известно, |
||||
то положение тела будет полностью |
|||||
|
|||||
A |
определено, |
если мы |
будем знать в |
любой |
|
момент времени положение какой-либо не |
|||||
y |
|||||
x |
лежащей на оси вращения точки C тела. |
|
|||
Из трех координат этой точки, независимой будет только одна, так как расстояния AC и BC постоянны и связаны 2-я уравнениями
(xA-xC)2+(yA-yC)2 +(zA-zC)2 =AC2, (xB-xC)2+(yB-yC)2 +(zB-zC)2 =BC2.
Отсюда следует, что положение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
z1 z |
|
|
|
Направим ось |
Az |
неподвижной системы |
|||
|
|
|
|
координат Axyz вдоль оси вращения тела. |
|||||
|
|
|
|
|
Выберем подвижную |
систему |
координат |
||
|
|
y1 |
|
Ax1y1 z1, жестко связанную с телом. |
|
||||
|
|
ϕ(t) |
Положение |
тела |
будет |
полностью |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
определено, если задан угол |
ϕ(t) между |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
A |
y |
|
|
||||||
x |
|
|
|
неподвижной |
Axz |
и |
подвижной Ax1z1 |
||
ϕ(t) x1 |
|
|
|
плоскостями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ(t) − угол поворота тела
ϕ > 0 − поворот против часовой стрелки, ϕ < 0 − поворот по часовой стрелки.
Главные кинематические характеристики вращательного движения тела − его угловая скорость и угловое ускорение.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
|
z1 z |
|
|
Пусть в момент времени t угол |
||||||
|
|
|
|
|
между неподвижной Axz и подвижной |
|||||
|
|
|
|
|
Ax1z1 полуплоскостями равен ϕ(t), |
|||||
|
|
|
|
|
а в момент t +∆t − ϕ(t+∆t). |
|||||
|
|
|
y1 |
Следовательно |
за промежуток |
|||||
|
|
|
времени ∆t подвижная плоскость (и |
|||||||
|
|
|
|
|
тело) повернуться на угол |
|||||
|
|
A |
y |
|||||||
x |
|
∆ϕ=ϕ(t+∆t) −ϕ(t). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ϕ(t+∆ t) |
|
|
Отношение угла |
поворота ∆ϕ к |
||||||
ϕ(t) x |
∆ϕ |
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
промежутку времени ∆t называется |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
средней угловой скоростью тела за промежуток времени ∆t: |
|||||||||
|
|
|
|
|
(ωz )ср = |
∆ϕ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∆t |
угловой скоростью |
|||
|
Предел этого отношения называется |
|||||||||
тела в данный момент времени |
|
= dϕ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ωz = lim |
∆ϕ |
=ϕ |
|
||
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ |
∆t→0 |
∆t |
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Единица измерения угловой скорости − рад/с.
В технике при равномерном вращении тела пользуются числом оборотов в минуту. Зависимость между угловой скоростью и числом оборотов в минуту n определяется по
формуле |
ω = |
2πn |
= |
πn |
рад/с, |
|
Отношение |
60 |
30 |
к |
|||
приращения |
угловой скорости ∆ω |
|||||
промежутку времени ∆t, за который это приращение произошло, называется средним угловым ускорением тела за
промежуток времени ∆t: |
(ε |
z |
) |
ср |
= |
∆ωz |
|
|
|
|
|
|
|
∆t |
угловым ускорением |
||||
Предел этого отношения называется |
|||||||||
тела в данный момент времени |
|
|
∆ωz |
= dωz = d 2ϕ |
=ϕ. |
||||
|
εz |
= lim |
|||||||
|
|
|
|
∆t→0 ∆t |
dt |
dt2 |
|
||
Единица измерения углового ускорения − рад/с2.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
z
O1
ω
ω
ε
Вращение тела вокруг неподвижной оси характеризуется осью, угловой скоростью и направлением вращения. Эти характеристики движения можно отобразить одним вектором –
вектором угловой скорости ω,
k |
если откладывать его в масштабе на оси |
O |
вращения от какой-либо ее точки в сторону, |
|
откуда вращение видно происходящим против |
|
часовой стрелки. |
Вектор угловой скорости – скользящий вектор: ω =ϕk ,
где k - орт оси вращения. |
|
|
|
Вектор углового ускорения |
ε |
определим как |
|
производную вектора угловой скорости по времени |
|||
|
dω |
|
|
ε = |
|
|
|
dt |
|
|
|
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Если ω=const, то вращение называют равномерным, если ω монотонно возрастает, то ускоренным, а если монотонно убывает, то замедленным.
Для ускоренного вращения векторы ω и ε направлены в одну сторону, для замедленного – в разные.
Если ε =const, то вращение называют равнопеременным. Так как ε =ω, то, интегрируя это уравнение с начальным условием ω(t = 0) =ω0 , получим
закон изменения скорости равнопеременного движения
ω =ω0 +εt. |
|
|||
Так как ω = dϕ / dt, |
|
то интегрируя предыдущее уравнение |
||
с начальным условием |
ϕ(t = 0) =ϕ0 |
, получим |
||
закон равнопеременного вращения: |
||||
ϕ =ϕ |
0 |
+ω t +εt2 |
/ 2. |
|
|
|
0 |
|
|
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Скорости точек при вращательном движении
z1 
z
ϕ
B(0) |
|
B(t) |
y1 |
rB (0) |
|
rB (t) |
|
|
|
||
О |
|
ϕ y |
|
x ϕ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
О |
yB |
RB |
|
y |
||
|
xB |
|
|
|
|
|
|
|
x |
ϕ B |
|
Положение произвольной точки B тела относительно неподвижной системы координат определяется законом движения
rB = rB (t) = xB (t) i + yB (t) j + zB (t)k ,
дифференцируя который по времени, находим скорость точки B
vB = rB = xB (t) i + yB (t) j
Чтобы определить xB и yB , рассмотрим проекции радиус-вектора rB на оси Ox и Oy:
xB (t) = RB cosϕ(t) yB (t) = RB sinϕ(t)
дифференцируя которые по времени, получим
xB (t) = −RBϕsinϕ(t) = −RBωsinϕ(t) yB (t) = RBϕcosϕ(t) = RBωcosϕ(t)
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Скорости точек при вращательном движении
Поэтому скорость точки B равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
vB = −RBωsinϕ i + RBωcosϕ j =ω(−yB i + xB j). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Полученное выражение для скорости можно записать |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
v |
B |
=ω |
×R |
B |
=ω |
×r |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где RB - радиус-вектор вращения точки B в плоскости Oxy. |
|
|||||||||||||||||||
Действительно по определению векторного произведения |
|
|
||||||||||||||||||
ω×r = |
|
i |
|
j |
k |
|
=ω×R |
|
|
i |
j |
k |
|
=ω( jx |
|
−i y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
0 |
ω |
|
= |
|
0 |
0 |
ω |
|
B |
B |
). |
||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xB |
|
yB |
zB |
|
|
|
|
|
|
xB |
yB |
0 |
|
|
|
|
|
|
ОyB
xB 
x ϕ B
RB
y
Так как ω RB , то модуль скорости точки B определяется так vB =ω RB ,
т.е. скорости точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям до оси вращения.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ