Kinematics_L4b_K
.pdf
Ускорения точек при вращательном движении
Продифференцируем выражение для скорости точки vB = |
ω |
× |
rB |
|||||||||||||||||||||||||||||||
по времени |
a |
= |
d |
|
(ω×r |
) = |
d |
|
ω |
×r |
|
+ω× |
d |
|
r = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
B |
|
dt |
|
|
|
B |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
=ε ×r +ω |
× |
d |
(x |
|
|
i + y |
|
j + z |
|
|
k ) = |
ε ×r |
+ω |
×(x |
|
i |
+ y |
j) = |
||||||||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
B |
|
|
B |
|
|
B |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
B |
|
|
B |
||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
=ε ×rB |
+ω×vB |
=ε ×rB +ω× |
(ω×rB ). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ускорение ε |
× |
rB |
|
направлено по касательной |
||||||||||||||||||||||
|
aB |
vB |
|
|
к |
|
траектории |
точки |
|
B |
и |
называется |
||||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
вращательным ускорением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
aBr =ε ×rB (его модуль aBr |
=ε rB sin(ε,rB ) =ε RB ). |
|||||||||||||||||||||||||||
c |
B |
r |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
aB |
rB (t) |
aB |
|
|
|
Вторая часть ускорения |
|
|
×r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ac |
=ω |
×v |
|
=ω |
×(ω |
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
направлена к оси вращения и по модулю равна |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aBc =ωvB |
=ω2 RB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Это ускорение называется центростремительным. |
|||||||||||||||||||||||||||||
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Ускорения точек при вращательном движении
Нетрудно видеть, что вращательное ускорение – это
тангенциальное |
ускорение, |
а центростремительное – |
нормальное, так что |
|
|
|
aB = aBτ +aBn |
|
Его модуль определяется выражением |
||
z |
aB = aB2τ +aBn2 = RB ε2 +ω4 . |
|
|
µ aB |
C |
|
c |
B |
aB |
rB (t) |
|
О
y x
Угол µ между векторами полного и центростремительного ускорений определяется из соотношения
aBr |
a |
Bτ |
= |
ε |
. |
tg µ = |
|
ω2 |
|||
|
aBn |
|
|
||
Так как ω и ε для всех точек тела одинаковые, то этот угол также одинаков для всех точек.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
yB y
a
var
εω
ac
C
Задача.
MВращение маховика в период запуска задается уравнением ϕ=t3/3. Определить скорость и ускорение точки, отстоящей от оси маховика на расстоянии 0.5 м, для момента времени t1=4 c.
Решение.
Определим сначала угловые скорость и ускорение:
ω =ϕ = t2 , ε =ω = 2t, |
ω(t = 4) =16 (с−1 ), ε(t = 4) =8 (с−2 ). |
Скорость, вращательное и центростремительное
ускорения вычисляются так:
v(t = 4) =ωR =16 0.5 =8 (м/ с), ar (t = 4) =εR =8 0.5 = 4 (м/ с2 ), ac (t = 4) =ω2 R = (16)2 0.5 =128 (м/ с2 ),
Модуль полного ускорения и угол µ равны:
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ε |
|
|
1 |
|
′ |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
a = a |
|
+a |
|
=120.06 (м/ с |
|
), |
tg µ = |
|
|
= |
|
, |
µ ≈1°48 . |
|
c |
|
|
ω |
2 |
32 |
|||||||||
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
1.Сегодня мы рассмотрели простейшие движения твердого тела: поступательное и вращательное.
2.Поступательное движение тела полностью определяется движением одной (любой) точки твердого тела и изучение его движения сводится к уже изученной ранее кинематике точки.
3.Закон вращательного движения твердого тела полностью определяется углом поворота этого тела относительно неподвижной оси вращения.
4.Скорости и ускорения точек твердого тела при вращательном движении зависят от его угловых скоростей и ускорений и от расстояния этих точек до оси вращения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.Какое движение твердого тела называется поступательным?
2.Как связаны между собой скорости точек твердого тела при поступательном движении?
3.Как связаны между собой ускорения точек твердого тела при поступательном движении?
4.Какие траектории называются конгруэнтными?
5.Какое движение твердого тела называется вращательным?
6.Сколько степеней свободы имеет тело при вращательном движении?
7.Напишите закон вращательного движения тела.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
8.Дайте определение угловой скорости твердого тела.
9.Дайте определение углового ускорения твердого тела.
10.Одинаковы или нет скорости точек твердого тела, совершающего вращательное движение?
11.Одинаковы или нет ускорения точек твердого тела, совершающего вращательное движение?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Плоское движение твердого тела.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
