2.3.3. Парабола

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и от данной прямой (АВ), называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Каноническое уравнение параболы

,

где – фокальный параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы, 0 – центр па-

раболы, отрезок – фокальный радиус точкиМ (рис. 14, а).

Парабола, заданная уравнением, симметрична относительно осии простирается в бесконечность.

Эксцентриситет всякой параболы равен единице .

Если ось – ось параболы,О – ее вершина, точка – фокус, то ее уравнение:(рис. 14,б).

Центр параболы в точке

Пример. Уравнение кривой записать в каноническом виде и построить график.

1. 2.

Решение.

1. окружность ра-диуса с центром в точке(рис. 5,а).	2. парабола, вершина которой в точке . Ветви параболы симметричны относительно прямой(рис. 5,б).

2.4. Поверхности второго порядка

2.4.1. Центральные поверхности

Эллипсоид	Конус
Рис. 1 –полуоси. Если то– уравнение сферы	Рис. 3 вершина в начале координат
Гиперболоид однополостной	Гиперболоид двухполостной
Рис. 2 –действительные полуоси, –мнимая полуось	Рис. 4 –действительная полуось, –мнимые полуоси

2.4.2. Параболоиды

Эллиптический параболоид	Гиперболический параболоид
Рис. 5	Рис. 6

2.4.3. Цилиндры

Уравнение вида в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна оси.

Эллиптический цилиндр	Параболический цилиндр
Рис. 7 Если то– круговой цилиндр	Рис. 8

Гиперболический цилиндр

Рис. 9

3. Основы векторной алгебры

3.1. Скалярные и векторные величины

Скалярными называются величины, которые могут быть охарактеризованы числами (например, длина, площадь, объем, масса, плотность, работа и др.). Векторными называются величины, для полной характеристики которых требуется указания числа и направления в пространстве (например, скорость, ускорение, сила и др.). Вектором называется направленный отрезок АВ, у которого точки А и В являются соответственно началом и концом. Вектор обозначается АВ = а, его длина (модуль или длина вектора) обозначается Вектор, у которого начало совпадает с концом, называетсянуль-вектором. Длина нуль-вектора равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой или если они расположены на параллельных прямых. Следовательно, направления коллинеарных векторов либо совпадают, либо противоположны.

На рис. 5 векторыа, в, с и d, е соответственно коллинеарны, причем, а и в одинаково направлены, векторы а, с; в, с; d, е – противоположно направлены.

Рис. 16

Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору. Два (ненулевых) вектора а и в равны, если они одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Это записывается так: а = в.

Если длины двух векторов равны, но они противоположно направлены, то такие векторы называются противоположными. Вектор, противоположный вектору АВ = а, записывается так: ВА = – а.

Если векторы лежат в одной и той же плоскости, то они называются компланарными. Два вектора всегда компланарны. На рис. 16 векторы а, в, с, d, е являются компланарными.

Единичным называется вектор, длина которого равна единице; единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, обозначается а^о и называется ортом этого направления. Орты, имеющие направление прямоугольных координатных осей Ох, Оу, Оz (в сторону их положительного направления) обозначаются i, j, k (рис. 17 и 20).

Радиус-вектором точкиА(х, у, z) называется такой вектор r, начало которого совпадает с началом координат, точкой О, а конец расположен в точке А (рис. 17). Если радиус-вектор r точки А делит отрезок А₁А₂

в отношении , иr₁ и r₂ – радиус-векторы точек А₁ и А₂, то справедлива формула .

Следовательно, координаты точки А можно найти по формулам:

В частности, координаты середины отрезка А₁А₂ соответственно равны:

В

Рис. 18

сякие векторы (в лю-бом числе) можно привести к общему началу, т. е. построить векторы, соответст-венно равные данным и име-ющие общее начало в точ-ке О. Такое приведение изображено на рис. 18.

Итак, в дальнейшем будем иметь дело со свободными векторами, т. е. векторами, определенными с точностью до параллельного переноса.