- •I. Элементарная математика
- •1.1. Арифметика
- •1.1.1. Некоторые основные понятия
- •1.1.2. Действия над обыкновенными дробями
- •1.1.3. Пропорция. Средние величины
- •1.2. Расширение понятия о числе
- •1.2.1. Основные множества чисел и некоторые обозначения
- •1.2.2. Действительные числа
- •1.2.3. Комплексные числа
- •Формы записи комплексных чисел.
- •Алгебраические действия над комплексными числами
- •1.3. Алгебраические выражения и действия над ними
- •1.4. Многочлены и их корни
- •1.4.1. Квадратный трехчлен
- •1.4.2. Теорема безу и схема горнера
- •Формулы сокращенного умножения
- •1.5. Алгебраические дроби
- •1.6. Свойства степеней
I. Элементарная математика
1.1. Арифметика
1.1.1. Некоторые основные понятия
• Числа 1, 2, 3, …, появившиеся в результате счета, называются натуральными.
• Число а называется простым, если его делителями являются только единица и само число а. Числа, имеющие другие делители, называются составными.
Число единица рассматривается особо: оно не является ни простым, ни составным.
• Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК):
НОД нескольких натуральных чисел называется самое большое натуральное число, на которое все эти числа делятся. Для нахождения НОД каждое из этих чисел раскладывают на простые множители и вычисляют произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наимень-шим (из имеющихся) показателем. Так НОД чисел 60 и 280 равен 22 · 5 = 20.
НОК нескольких натуральных чисел называется самое маленькое натуральное число, которое делится на все эти числа. Для нахождения НОК каждое из этих чисел раскладывают на простые множители и вычисляют произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим (из имеющихся) показателем. Например, НОК чисел 60 и 280 равен 23 · 5 · 7 = 840.
• Числа, которые можно записать в виде , гдеи– целые, назы-ваютсярациональными числами или обыкновенными (простыми) дробями.
• Десятичная дробь – частный случай обыкновенной дроби, знаменатель которой есть целая степень числа 10.
1.1.2. Действия над обыкновенными дробями
• Дробь , гдеи, называетсяправильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной – в противном случае.
• Дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же число :.
• Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
;
Если дроби имеют разные знаменатели, то их надо привести к общему знаменателю, домножая числитель и знаменатель каждой из них на некоторое число. В качестве общего знаменателя удобно взять НОК знаменателей данных дробей. Например,
• Умножение дробей: .
Чтобы дробь умножить на целое число, то удобно целое число записать в виде дроби со знаменателем, равным 1: .
• Деление дробей. Для деления дроби на другую дробь надо ее умножить на дробь, обратную делителю:
Если дробь разделить на целое числото.
Примеры.
• ; • .
1.1.3. Пропорция. Средние величины
Пропорцией называется равенство двух отношений, т. е. выражение вида После приведения обеих дробей в пропорции к общему знаменателюполучим равенство числителей:. Следовательно, например,
Среднее арифметическое – это частное от деления суммы n величин на число этих величин:.
Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) – это корень n-ой степени из произведения величин
Среднее квадратичное – это квадратный корень из частного от деления суммы квадратов данных величин на число этих величин:
Среднее взвешенное
где – вес величины,.
1.2. Расширение понятия о числе
1.2.1. Основные множества чисел и некоторые обозначения
В математике для описания совокупности объектов любой природы используется понятие множества. Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, N, … Например, множество, состоящее из трех чисел: 2, 5, и 10 обозначают так: . Записьозначает, что элемента принадлежит множеству А. Так, например, . Множество, не содержащее ни одного элемента, называетсяпустым и обозначается .
• Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В, называется пересечением этих множеств и обозначается . Например, если,, то.
• Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется их объединением и обозначается . Так, для введенных выше множеств.
В элементарной математике выделяют следующие множества чисел:
–состоит из всех натуральных чисел;
–состоит из всех целых чисел;
, где ,– состоит из всех рациональных чисел. Следовательно, все целые и дробные числа (положительные и отрицательные) и нуль называются рациональными. Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической).
, где – состоит из всех действительных чиселх (рациональных и иррациональных).
Для множеств на числовой оси используются специальные названия и обозначения.
№ п.п. |
Название |
Обозначение |
Множество |
1 |
Отрезок |
|
|
2 |
Интервал |
|
|
3 |
Полуинтервал |
|
|
4 |
Полуинтервал |
|
|
5 |
Луч |
|
|
6 |
Луч |
|
|
7 |
Открытый луч |
|
|
8 |
Открытый луч |
|
|