2.2.2. Взаимное расположение прямых в пространстве

косинус угла между пересекающимися прямыми (рис. 9) можно найти по формуле:

Условие паралелльности прямых:	Условие перпендикулярности прямых:

2.2.3. Взаимное расположение прямой и плоскости

Угол между прямой и пло-скостью (рис. 10)

Условие параллельности прямой и плоскости:	Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Задача. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

1)

2)

3)

Решение

1) Удобно каноническое уравнение прямой свести к общему и решить систему уравнений прямой и плоскости, например, по правилу Крамера:

Найдем главный определитель системы:

система имеет единственное решение.

Далее находим вспомогательные определители:

Согласно правилу Крамера:

Итак, точка пересечения .

2) Запишем уравнение заданной в условии задачи прямой в параметрическом виде: и решим это уравнение совместно с уравнением плоскости.

чего быть не может.

Система не имеет решений и, следовательно, нет точек пересечения прямой и плоскости. В этом случае прямая и плоскость параллельны.

3) Решение проведем аналогично п. 2):

Следовательно, и система имеет бесчисленное множество решений:

где

Задавая t различные числовые значения, получим бесчисленное множество точек, общих для прямой и плоскости. Значит, прямая лежит в плоскости.

2.3. Кривые второго порядка

2.3.1. Эллипс

у

М(х,у)

О

х

F₂

F₁

r₂

r₁

2с

2в

0

пределение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть вели-чина постоянная и равная 2а:

2А Рис. 11, а

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

где 0 – центр эллипса (рис. 11, а); 2а – большая ось, 2в – малая ось, 2с – расстояние между фокусами F₁ и F₁.

Если центр эллипса расположен в точке , то уравнение эллипса примет вид.

Величины а, в, с связаны следующими соотношениями:

–эксцентриситет эллипса (

Если фокусы эллипса расположены на оси (рис. 11,б), то эллипс вытянут вдоль оси ординат и в этом случае

Следствие. Если , точастным случаем эллипса является окружность. Уравнение окружности ради-усаR с центром в начале координат: . Уравнение окружности радиу-са R с центром в точке (рис. 11,в):

.

Параметрические уравнения эллипса и окружности:

t – угол, образованный радиус-вектором точки М(х, у) с положительным направлением оси (рис. 12).

2.3.2. Гипербола

О

пределение. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух заданных точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2а: .

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат:

где – действительная ось, – мнимая ось,– расстояние между фокусами (рис. 13,а).

Если центр гиперболы располо-жен в точке , то ее уравнение:

.

Величины а, b, с гиперболы свя-заны следующими соотношениями:

–эксцентриситет гиперболы .

Если мнимая ось гиперболы равна 2а и расположена на оси , а действительная ось равна 2в и расположена на оси , то такая гипербола называетсясопряженной (рис. 13, б). Каноническое уравнение такой гиперболы: или.

Асимптоты сопряженных гипербол совпадают и их уравнения:

Равнобочная гипербола – это гипербола, у которой и ее уравнениеАсимптоты равнобочной гиперболы взаимно перпендикулярны. Если асимптоты равнобочной гиперболы принять за оси координат (рис. 13,в), то ее уравнение примет вид .