Sopromat1

4. Условие прочности σmax ≤ σаdm .

F1

∑Y =0; N2 =F1 −F2 =

=40−50 =−10кН

F1

∑Y =0; N3 =F1 −F2 +F3 = =40−50+20 =10кН

Рис. П. 2

41

σII = NA2 = −2 2,941000010−4 = −1,7 107 мН2 = −17 МПа.

σIII = NA3 = 2 2,941000010−4 =17 МПа.

Покажем эпюру напряжений (рис. П 4).

6. Определим абсолютные величины линейных деформаций, используя закон Гука

7. Перемещение конца стержня с учетом знака деформации на II участке

∆l1 = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 =6,80 10-4 м

8. Эпюра перемещений по длине стержня.

Эпюру перемещений следует строить, начиная от закрепленного конца в направлении III уч.→ II уч. → I уч., т. к. в сечении А-А перемещение равно нулю (рис. П 5).

I участок: 0 ≤ x ≤ a, ∆ℓ1 =∆ℓ3| х3 =а + ∆ℓ2| х3 =а + NА1 Ех . при х =0; ∆ℓ1 =∆ℓ3| х3 =а + ∆ℓ2| х3 =а =0,

при х=а; ∆ℓ1 =∆ℓ3| х3 =а + ∆ℓ2| х3 =а + NА1 Ех = 6,80·104 м.

42

Шарнирно закрепленная абсолютно жесткая балка с помощью шарниров связана с двумя стальными стержнями и нагружена силой F=F1 (рис. П 6). Требуется выполнить проектировочный расчет – найти диаметры поперечных сечений стержней. Коэффициент запаса прочности n принять равным 2,5.

Дано: F1=20 кН, а =1м, в =2 м, с = 1,5 м, n=2,5, материал стержней сталь 50.

F1

с в а

Рис. П 6

Рис. 6

43

Решение

1. Покажем все реакции на опоре А и внутренние усилия в стальных стержнях (рис. П 7). Имеется четыре неизвестных ( RАх , RАy , N1, N2 ).

Для плоской системы можно составить три уравнения статики

∑x = 0; ∑ y = 0; ∑М = 0 .

Следовательно, задача (4-3=1) один раз статически неопределимая. 2. Для решения задачи воспользуемся планом решения стержневых

статически неопределимых задач. а) Статическая сторона задачи.

Составим уравнение статики:

F1

с в а

Рис. П. 7

Рис. 7

Чтобы реакции опор не определять, уравнения (1) и (2) можно отбросить. Тогда задача будет решена более рационально.

Используем только уравнение (3), степень статической неопределимости не изменяется, (имеем одно уравнение статики, содержащее две неизвестные). Следовательно (2–1=1) – задача один раз статически неопределима.

3. Геометрическая сторона задачи.

Покажем деформированное состояние системы (рис. П 8). Деформация первого стержня ∆l1 = B1D . Выразим деформа-

цию 1-го стержня через перемещение узла B ( BB1 ):

44

Рис. П 8

Рис. 8

Деформация 2-го стержня равна перемещению узла С ( СС1 )

5. Математическая сторона задачи.

Получаем дополнительное уравнение из совместного решения уравнения (7) и (8):

Определение внутренних усилий в стержнях. Решая совместно уравнение (3) и (9) получим:

N2 с+ N1(a+b+ c) сosα − F1(b+ c) = 0.

45

Перейдем к числовым значениям коэффициентов:

N2·1,5+N1·4,5·0,707–20·3,5=0;

N1·1,41·0,75 – N2·1·4,5·0,707=0.

1,5·N2+3,18·N1–70=0;

-3,18· N2+1,06·N1=0.

6.Решая эту систему уравнений методом подстановки или методом Гаусса, получаем следующие значения усилий в стержнях:

N1=19,02 кН; N2=6,34 кН.

7.Расчет на прочность.

Зная усилия в стержнях и соотношение площадей поперечного сечения, установим, какой из стержней будет наиболее опасным. Запишем выражение напряжений в стержнях:

Как видно, наибольшее напряжение будет в стержне 1. Подбор сечения проводится из условия прочности: (используя

табл. 2, находим для стали. 50, σ0,2 =380МПа)

σmax ≤σadm, где σadm = σn0,2 = 3802,5 =152 МПа,

В стержнях возникают напряжения:

Во 2-м стержне недонапряжение 152 −101 100% = 33% . 152

8. Определение диаметров стержней:

46