Экзаменационный билет № 11

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях.

2. Вывести формулу для нахождения вероятности попадания случайной величины в промежуток, если.

3. Найти решение задачи Коши для волнового уравнения

,

НУ: .

4. Имеется два ящика, содержащих по десять деталей. В первом из них 8, а во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными.

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:

, ,,

граничные условия: ;

начальное условие: .

Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то является собственным значением, а– соответствующей ему собственной функцией.

Пусть теперь (призадача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравненияимеет вид

.

Тогда . Из краевого условияполучаем:,, т.е.и.

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,,;

собственные функции ,,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

, .

При получим уравнение, откуда

.

При общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Для нахождения коэффициентов ,, воспользуемся начальным условием.

Разложим функцию на отрезкев ряд Фурье по системе:

,

где

,

,

так как .

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, .

Тогда решением задачи является ряд

.

2. Теорема. Если , томожет быть вычислена по формуле

,

где .

Доказательство. Если , то её плотность распределения вероятности равна

.

Тогда

.

Сделаем в интеграле замену

, ,,,.

Тогда

.

3. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой

, ,,

, .

представляется формулой Даламбера

.

У нас ,,. Тогда

.

Для построения решения нарисуем на фазовой плоскости линии характеристик,,,. Эти линии разбивают фазовую плоскость на шесть областей, в каждой из которых нужно найти решение.

Область I: ,. Тогда в I,ипри. Значит,

.

Область II: ,. Тогда в II,ипри,при. Значит,

.

Область III: ,. Тогда в III,иприи,при. Значит,

.

Область IV: ,. Тогда в IV ,ипри. Значит,

.

Область V: ,. Тогда вV ,ипри,при. Значит,

.

Область VI: ,. Тогда вVI ,ипри. Значит,

.

Таким образом,

4. Введем в рассмотрение события:

–из первого ящика достали стандартную деталь,

–из второго ящика достали стандартную деталь.

По формуле классической вероятности

, .

Считая события инезависимыми, находим вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными:

.