Экзаменационный билет № 08

1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях.

2. Нормальный закон распределения. Доказать, что, если , то.

3. Найти решение смешанной задачи для волнового уравнения на полупрямой

, ,

ГУ: ;

НУ: .

4. Из 100 лампочек 20 изготовлены на первом заводе, 30 на втором, а остальные на третьем. Первый завод выпускает 1% брака, второй – 0,5%; третий – 0,6%. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется бракованной?

1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:

, ,,

граничные условия: ;

начальные условия: ,.

Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

При (призадача имеет только тривиальные решения) общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:,, т.е.и.

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,;

собственные функции ,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

, .

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Для нахождения коэффициентов ,,, воспользуемся начальными условиями,.

Разложим функции ина отрезкев ряды Фурье по системе:

,

,

где

,

,

так как

.

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, .

Находим :

.

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, ,.

Тогда решением задачи является ряд

.

2. Нормальным распределением с параметрами ,называется распределение вероятностей с плотностью (,)

, .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле

.

Для нормального закона

.

Сделаем в интеграле замену , откуда,, если, то, если, то. Тогда

,

так как

,

.

3. Для смешанной задачи для волнового уравнения на полупрямой

, ,,

, ,.

решение записывается по формуле Даламбера

,

где ,продолженные нечётным образом на отрицательную часть осифункцииисоответственно, то есть:

У нас ,,. Тогда

,

и решение задачи имеет вид

.

4. Воспользуемся формулой полной вероятности. Событие

–наудачу взятая лампочка оказалась бракованной.

Введем гипотезы:

–лампочка произведена на первом заводе;

–лампочка произведена на втором заводе;

–лампочка произведена на третьем заводе.

Поскольку всего изготовлено 100 лампочек, то вероятности гипотез

, ,.

Условные вероятности ,, по условию равны

, ,.

Тогда по формуле полной вероятности

.

Экзаменационный билет № 09

1. Уравнение теплопроводности. Задача Коши для уравнения теплопроводности на всей прямой. Формула Пуассона.

2. Дисперсия случайной величины, свойства. Вывести формулу для нахождения дисперсии случайной величины, подчиненной биномиальному закону распределения вероятностей.

3. Решить задачу Коши для неоднородного волнового уравнения

, ,,

НУ: .

4. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами 5 см и (0,9 см)². Найти вероятность того, что отклонение диаметра наудачу взятой детали от её математического ожидания будет меньше 2 см.

1. Уравнение теплопроводности имеет вид:

,

где – температура тела в точкев момент времени,– коэффициент температуропроводности.

Задача Коши для уравнения теплопроводности на всей прямой имеет вид

, ,

начальное условие: – температура в начальный момент времени.

Получим её решение. Возьмем . Тогда

, ,.

Подставив в уравнение, получим

,

,

откуда . Тогда

,

.

При получим

.

С помощью обратного преобразования Фурье

.

Тогда

.

Меняя порядок интегрирования, получим

Приведем экспоненту к виду :

.

Тогда

,

так как

.

Значит,

.

Обозначим

.

Тогда получим формулу Пуассона, которая дает решение задачи Коши для уравнения теплопроводности на всей прямой:

.

2. Определение. Дисперсией случайной величиныназывается математическое ожидание квадрата отклонения от:

.

Дисперсия служит мерой рассеяния значений случайной величины около среднего значения (математического ожидания).

Свойства дисперсии:

1) ;

2) тогда и только тогда, когда;

3) ;

4) для любых ;

5) если случайные величины инезависимы, то.

Докажем свойство 3):

.

Для дискретных и непрерывных случайных величин дисперсия вычисляется соответственно по формулам:

,

.

Найдем дисперсию биномиального распределения. Пусть случайная величина имеет биномиальное распределение, т.е. она принимает значения от 0 дос вероятностями

, ,

и является числом успехов в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха,. Рассмотримбернуллиевых случайных величин, которые принимают два значения: 1 с вероятностью, если соответствующее испытание закончилось успехом, и 0 с вероятностьюв противном случае. Тогда

, ,.

Кроме того, независимы и. Значит, по свойству 5) дисперсии дисперсия биномиального распределения равна

.

3. Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения

, ,,

, ,

будем искать в виде

,

где – решение задачи

, ,,

, ,

а – решение задачи

, ,,

, .

Функцию находим по формуле Даламбера

.

Функция находится по формуле

.

Тогда

.

4. Для расчета вероятностей попадания нормальной случайной величины с математическим ожиданиеми среднеквадратическим отклонениемв промежутокиспользуется формула

,

где , причем– нечетная функция:.

Пусть случайная величина – размер диаметра детали. При,получим

.