- •Экзаменационный билет № 01
- •Экзаменационный билет № 02
- •Экзаменационный билет № 03
- •Экзаменационный билет № 04
- •Экзаменационный билет № 05
- •Экзаменационный билет № 06
- •Экзаменационный билет № 07
- •Экзаменационный билет № 08
- •Экзаменационный билет № 09
- •Экзаменационный билет № 10
- •Экзаменационный билет № 11
- •Экзаменационный билет № 12
- •Экзаменационный билет № 13
- •Экзаменационный билет № 14
- •Экзаменационный билет № 15
- •Экзаменационный билет № 16
- •Экзаменационный билет № 17
- •Экзаменационный билет № 18
- •Экзаменационный билет № 19
- •Экзаменационный билет № 20
Экзаменационный билет № 06
1. Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях.
2. Формула Пуассона (с доказательством).
3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса. ГУ:.
4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выпадений герба при десяти подбрасываниях монеты.
1. Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:
, ,,
граничные условия: ;
начальные условия: ,.
Сначала найдем общее решение однородного уравнения при нулевых граничных условиях. Для этого воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнениябудем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, ,
: ,
, ,.
Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений
, .
Из граничных условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид
.
Из краевого условия получаем:, т.е..
Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения ,;
собственные функции ,.
Разложим функции ,,в ряды Фурье на отрезкепо системе собственных функций:
,
,
,
где
,
,
так как .
Решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения будем искать в виде ряда
,
где функции ,, подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальным условиям. Заметим, что функцияпри любом выборе функций,, точно удовлетворяет однородным граничным условиям. Находим производные
, ,
,
и подставляем их в неоднородное уравнение :
,
,
откуда получим, что функции ,, удовлетворяют уравнениям
.
Из начальных условий получаем:
,
,
откуда
, .
Итак, функции ,, являются решениями задачи Коши
,
, .
Найдем её решение методом вариации. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
.
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Находим :
.
Положим
.
Тогда
.
Находим :
.
Подставляем в уравнение:
,
.
Итак, для определения иполучим систему линейных уравнений
,
.
Решаем её по формулам Крамера
,
, .
Тогда
, .
Из начальных условий ,получим
,
.
Интегрируя от 0 до , получим
, ,
,
, ,
.
Тогда
.
Окончательно получим решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения при нулевых граничных условиях в виде
.
2. Теорема Пуассона. Если в схеме Бернулли ,, причем, где– некоторая положительная постоянная (), то
при любом постоянном ,.
Доказательство. Обозначим . Тогда
.
Поскольку постоянно, то все сомножители, начиная с третьего пристремятся к единице; второй же сомножитель пристремится к(второй замечательный предел). Тогда
.
Таким образом, если число испытаний по схеме Бернулли велико, а вероятность успехав одном испытании достаточно мала, то вероятность того, что виспытаниях успех появится ровнораз, может быть приближенно посчитана по формуле
.
3. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса ставится следующим образом:
при ,
,
где – оператор Лапласа в полярных координатах,(,). Граничное условие преобразуем в полярные координаты:
.
Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности
.
Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.
Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде
,
Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
,
откуда
,
.
Из условия периодичности следует, что
, .
Таким образом, для получаем задачу на собственные значения
,
.
Если , то
.
Применяем условие периодичности:
.
Отсюда, ,,.
Если , то
.
Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.
При ненулевых периодических решений нет.
Окончательно имеем
, .
Чтобы решить уравнение для при, сделаем замену. Получим
, ,
откуда
,
т.е.
, .
При получим.
Таким образом, функции
,
являются частными решениями уравнения . Составим функцию
,
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.
Поскольку задача рассматривается во внешности круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области, т.е.
, ,.
Итак, в области имеем
.
Для нахождения ,,,, воспользуемся граничным условием:
,
откуда
, ,,,,
, .
Тогда в ряде для ненулевыми являются только коэффициенты
, .
По условию , поэтому окончательно решение заданной внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа вне круга имеет вид
.
4. Здесь мы имеем дело с испытаниями по схеме Бернулли, где «успех» – выпадение герба при подбрасывании монеты, вероятность «успеха» , всегоиспытаний. Случайная величина– число выпадений герба при десяти подбрасываниях монеты – имеет биномиальное распределение. Поскольку для биномиального распределения
, ,
то математическое ожидание и дисперсия числа выпадений герба при десяти подбрасываниях монеты равны
, .