
- •Экзаменационный билет № 01
- •Экзаменационный билет № 02
- •Экзаменационный билет № 03
- •Экзаменационный билет № 04
- •Экзаменационный билет № 05
- •Экзаменационный билет № 06
- •Экзаменационный билет № 07
- •Экзаменационный билет № 08
- •Экзаменационный билет № 09
- •Экзаменационный билет № 10
- •Экзаменационный билет № 11
- •Экзаменационный билет № 12
- •Экзаменационный билет № 13
- •Экзаменационный билет № 14
- •Экзаменационный билет № 15
- •Экзаменационный билет № 16
- •Экзаменационный билет № 17
- •Экзаменационный билет № 18
- •Экзаменационный билет № 19
- •Экзаменационный билет № 20
Экзаменационный билет № 01
1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой. Формула Даламбера.
2. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Вероятность противоположного события.
3. Найти решение смешанной задачи
,
,
ГУ:
;
НУ:
.
4. В хлопке 75% длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу трёх волокон окажутся 2 длинных волокна?
1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой имеет вид:
,
,
,
начальные
условия:
,
.
Решение задачи будем искать в виде суммы прямой и обратной бегущих волн:
.
Воспользуемся
для нахождения функций
и
начальными условиями:
:
,
:
.
Интегрируя
уравнение
в пределах от
до
,
получим
.
Тогда из системы
,
,
находим
,
.
Значит,
.
Итак, решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой имеет вид
.
Это формула Даламбера.
2.
Теорема сложения вероятностей. Если
события
и
совместны, то
.
Доказательство.
Пусть
– числе всех равновозможных исходов
испытания, в результате которого могут
появиться события
и
.
Пусть
– число тех исходов, которые благоприятствуют
событию
,
– число тех исходов, которые благоприятствуют
событию
,
– число тех исходов, которые благоприятствуют
произведению событий
.
Тогда событию
благоприятствуют исходы числом
.
Значит, по формуле классической
вероятности
.
Следствие.
Если события
и
несовместны, то
и
.
Для
трех событий
,
и
теорема сложения имеет вид
.
Для
событий теорема сложения имеет вид
.
Противоположные
события
и
несовместны и в сумме дают достоверное
событие, поэтому
,
откуда получаем формулу для вероятности противоположного события
.
3.
Для решения задачи воспользуемся методом
Фурье (разделения переменных). Нетривиальные
решения уравнения
будем искать в виде
.
Подставляем в уравнение и разделяем
переменные:
,
,
:
,
,
,
.
Тогда
функции
и
являются соответственно решениями
уравнений
,
.
Из
граничных условий
,
получаем краевые условия для функции
:
,
,
значит,
,
.
Таким образом, для определения
и
получаем задачу Штурма-Лиувилля
:
,
,
.
Поскольку
(при
задача имеет только тривиальные решения),
то общее решение уравнения
имеет вид
.
Из
краевого условия
получаем:
,
т.е.
.
Из
краевого условия
получаем:
.
Поскольку
и
,
то
и равенство
возможно тогда и только тогда, когда
,
откуда получаем
,
,
т.е.
,
.
Тогда получим
,
.
Таким образом, получили решение задачи
Штурма-Лиувилля:
собственные
значения
,
;
собственные
функции
,
.
Теперь
при каждом
решаем уравнение для
:
,
.
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для
нахождения коэффициентов
,
,
воспользуемся начальным условием
.
Начальное
условие
дает
,
откуда
,
,
.
Тогда решение задачи есть
.
4.
Мы имеем дело с последовательностью
независимых испытаний по схеме Бернулли,
где событие «успех» – появление при
выборе длинного волокна. По условию
вероятность «успеха» равна
.
Проведено
испытаний. Тогда по формуле Бернулли
вероятность того, что «успех» появится
ровно 2 раза (т.е. среди взятых наудачу
трёх волокон окажутся 2 длинных волокна),
равна
.
Экзаменационный билет № 02
1. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения на всей прямой.
2. Формула полной вероятности (с доказательством). Формула Байеса.
3. Найти решение смешанной задачи
,
,
ГУ:
;
НУ:
.
4.
Плотность вероятности случайной величины
имеет вид
,
.
Найти вероятность того, что
попадет на
.
1. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения на всей прямой имеет вид:
,
,
,
начальные
условия:
,
.
Для решения этой задачи разобьем её на две:
Тогда
.
Функцию
можно записать по формуле Даламбера
.
Для
нахождения
строим вспомогательную задачу
,
,
,
при
этом
.
Функция
также может быть записана по формуле
Даламбера
,
а потому
,
и, таким образом,
2.
События
образуют полную группу попарно
несовместных событий, если:
а)
они являются попарно несовместными,
т.е.
при
;
б)
.
Теорема.
Пусть
– некоторое событие, а события
образуют полную группу попарно
несовместных событий. Тогда имеет место
формула полной вероятности
.
Доказательство.
Заметим, что событие
можно представит в виде суммы попарно
несовместных событий (рис.):
.
Рис.
Используя теорему сложения, получим
.
Применяя к слагаемым последней суммы теорему умножения
,
получим
.
События
называют гипотезами.
Часто
бывает, что событие
может происходить при двух взаимоисключающих
условиях
и
.
Если
,
то события
и
образуют полную группу событий и формулу
полной вероятности можно записать в
виде
.
Теорема.
Пусть события
удовлетворяют условиям, сформулированным
в условии теоремы о формуле полной
вероятности и
.
Тогда справедлива формула Байеса
.
Доказательство. Используя определение условной вероятности, получим
,
откуда
.
Далее,
расписав в знаменателе
по формуле полной вероятности, получим
формулу Байеса.
Вероятности
гипотез
называют еще априорными вероятностями,
а вероятности
– апостериорными вероятностями (
– до опыта,
– после опыта).
Если
гипотезы две –
и
,
то формулы Байеса для апостериорных
вероятностей имеет вид
,
.
3.
Для
решения задачи воспользуемся методом
Фурье (разделения переменных). Нетривиальные
решения уравнения
будем искать в виде
.
Подставляем в уравнение и разделяем
переменные:
,
,
:
,
,
,
.
Тогда
функции
и
являются соответственно решениями
уравнений
,
.
Из
граничных условий
,
получаем краевые условия для функции
:
,
,
значит,
,
.
Таким образом, для определения
и
получаем задачу Штурма-Лиувилля
:
,
,
.
Поскольку
мы имеем дело со второй краевой задачей,
то
является собственным значением, а
– соответствующей ему собственной
функцией.
Пусть
теперь
(при
задача имеет только тривиальные решения).
Общее решение уравнения
имеет вид
.
Тогда
.
Из краевого условия
получаем:
,
,
т.е.
и
.
Из
краевого условия
получаем:
.
Поскольку
и
,
то
и равенство
возможно тогда и только тогда, когда
,
откуда получаем
,
,
т.е.
,
.
Тогда получим
,
.
Таким образом, получили решение задачи
Штурма-Лиувилля:
собственные
значения
,
,
;
собственные
функции
,
,
.
Теперь
при каждом
решаем уравнение для
:
,
.
При
получим уравнение
,
откуда
.
При
общее решение этого уравнения имеет
вид
.
Тогда
.
Для
нахождения коэффициентов
,
,
воспользуемся начальным условием
.
Из начального условия получаем:
,
откуда
,
,
,
,
.
Тогда решением задачи является функция
.
4.
Вероятность того, что
попадет на
найдем, интегрируя плотность
от
до
:
.