Экзаменационный билет № 10

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях.

2. Математическое ожидание случайной величины, его свойства. Вывести формулу для нахождения математического ожидания случайной величины, подчиненной биномиальному закону распределения вероятностей.

3. Решить задачу Неймана для уравнения Лапласа вне круга радиуса. ГУ:.

4. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора является стандартной.

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:

, ,,

граничные условия: ;

начальное условие: .

Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е..

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,;

собственные функции ,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

, .

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Для нахождения коэффициентов ,, воспользуемся начальным условием.

Разложим функции на отрезкев ряд Фурье по системе:

,

где

,

так как .

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, .

Тогда решением задачи является ряд

.

2. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины , принимающей значенияс вероятностями, называется ряд (в предположении, что он абсолютно сходится)

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью, называется интеграл (в предположении, что он абсолютно сходится)

.

Математическое ожидание показывает какое значение в среднем принимает случайная величина.

Свойства математического ожидания:

1) ,;

2)

3) ;

4) если случайные величины инезависимы, то.

Найдем математическое ожидание биномиального распределения. Пусть случайная величина имеет биномиальное распределение, т.е. она принимает значения от 0 дос вероятностями

, ,

и является числом успехов в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха,. Рассмотримбернуллиевых случайных величин, которые принимают два значения: 1 с вероятностью, если соответствующее испытание закончилось успехом, и 0 с вероятностьюв противном случае. Тогда

, .

Кроме того, независимы и. Значит, по свойству 3) математического ожидания для биномиального распределения получим

.

3. Внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа вне круга радиуса ставится следующим образом:

при ,

,

где – оператор Лапласа в полярных координатах,(,). Граничное условие преобразуем в полярные координаты:

.

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

.

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

,

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

,

откуда

,

.

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

,

.

Если , то

.

Применяем условие периодичности:

.

Отсюда, ,,.

Если , то

.

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при, сделаем замену. Получим

, ,

откуда

,

т.е.

, .

При получим.

Таким образом, функции

,

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

,

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Поскольку задача рассматривается во внешности круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области, т.е.

, ,.

Итак, в области имеем

.

Для нахождения ,,,, воспользуемся граничным условием.

Находим

.

Тогда условие даёт:

,

откуда

, ,

, .

Тогда в ряде для ненулевыми являются только коэффициенты

, .

У нас , поэтому окончательно решение заданной внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа вне круга имеет вид

.

4. Воспользуемся формулой полной вероятности. Событие

–взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора является стандартной.

Введем гипотезы:

–для извлечения детали был выбран первый набор;

–для извлечения детали был выбран второй набор.

Считая выбор любого набора равновероятным, вероятности гипотез

, .

Условные вероятности ,, по условию задачи равны

, .

Тогда по формуле полной вероятности

.