Экзаменационный билет № 03

1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на полупрямой.

2. Теорема умножения вероятностей (с доказательством).

3. Найти решение смешанной задачи

, ,

ГУ: ; НУ:.

4. Случайная величина принимает только 2 значения: 1 и (–1), каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на полупрямой имеет вид:

, ,,

начальные условия: ,

краевое условие: .

Рассмотрим сначала задачу на всей прямой и предположим, что функции ив начальных условиях нечетные, т.е.и. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой дается формулой Даламбера

.

Найдем :

(интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку интегрирования).

Итак, если в задаче Коши на прямой начальные данные – нечетные функции, то в любой момент времени будет выполнено .

Тогда решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на полупрямой записывается по формуле Даламбера

,

где ,продолженные нечётным образом на отрицательную часть осифункцииисоответственно, то есть

2. Обозначим условную вероятность – вероятность событияпри условии, что событиепроизошло.

Теорема. Для любых событий и,,

.

Доказательство. Пусть – числе всех равновозможных исходов испытания, в результате которого могут появиться событияи. Пусть– число тех исходов, которые благоприятствуют событию,– число тех исходов, которые благоприятствуют событию,– число тех исходов, которые благоприятствуют произведению событий. Тогда по формуле классической вероятности

.

Аналогично получаем

.

Из этих формул следует теорема умножения вероятностей:

.

События иназываются независимыми, если вероятность появления одного из них не меняется в зависимости от того, появилось другое событие или нет.

В этом случае:

.

Для трех событий ,итеорема умножения имеет вид

,

а для независимых событий

.

3. Уравнение задачи является неоднородным. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Рассмотрим соответствующее однородное уравнение . Его нетривиальные решения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий ,получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е..

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,;

собственные функции ,.

Тогда решение смешанной задачи для неоднородного уравнения будем искать в виде

,

где функции ,, подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальному условию. Заметим, что функцияпри любом выборе функций,, точно удовлетворяет однородным граничным условиям,. Находим производные

, ,

и подставляем их в неоднородное уравнение :

,

.

Тогда функции ,, удовлетворяют уравнениям

,

, .

Начальные условия для этих уравнений получим, подставив в начальное условие:

,

откуда получим начальные условия для :

, ,

Тогда для ,, получим задачи Коши

, ,

, ,

, ,.

Решаем эти задачи:

, ,

, .

Тогда

.

4. Ряд распределения по условию имеет вид

	–1	1
	0,5	0,5

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины находятся соответственно по формулам

, .

Тогда

математическое ожидание:

,

дисперсия:

,

среднее квадратическое отклонение:

.