Экзаменационный билет № 20

1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка. Приведение уравнений с постоянными коэффициентами к каноническому виду.

2. Неравенство Чебышёва (с доказательством).

3. Найти потенциал в центре квадрата со стороной , если на трёх сторонах квадрата потенциал равен нулю, а на четвертой стороне задается формулой

.

4. Масса пойманной рыбы подчинена нормальному закону с параметрами г,г. Найти вероятность того, что масса пойманной рыбы будет от 300 г до 425 г.

1. Для уравнения второго порядка от двух независимых переменных

принята такая классификация:

- если в некоторой области , то уравнение называется гиперболическим в;

- если в области, то уравнение называется эллиптическим в;

- если во всех точках области, то уравнение называется параболическим в.

В каждом классе уравнений есть простейшие уравнения, которые называются каноническими.

Уравнения

,

называют соответственно первой и второй каноническими формами гиперболического уравнения.

Уравнение

называется канонической формой эллиптического уравнения.

Уравнение

называется канонической формой параболического уравнения.

Дифференциальные уравнения

или

(если )

называются дифференциальными уравнениями характеристик.

Если в уравнении постоянные коэффициенты, т.е. для уравнения

,

решением уравнений характеристик есть

Если уравнение гиперболического типа (), то с помощью замены переменных

,

уравнение сводится к первой канонической форме.

Для уравнения эллиптического типа () к канонической форме сводит замена

, .

Для уравнения параболического типа () к канонической форме сводит замена

, .

2. Для любой случайной величины и любого положительного числасправедливо неравенство Чебышева

.

Доказательство проведем для случая, когда – непрерывная случайная величина. Пусть– плотность случайной величины, а, тогда

,

так как события инесовместны.

Итак,

,

то есть

.

Неравенство Чебышева доказано.

Для дискретных случайных величин неравенство Чебышева доказывается аналогично (вместо интегралов будут суммы рядов).

Следствие. Поскольку , то

.

3. Если – искомый потенциал, то он является решением задачи

при ,,

, .

Для решения краевой задачи воспользуемся методом Фурье. Нетривиальные решения уравнения Лапласа будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из краевых условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку , то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е.. Из краевого условияполучаем:. Поскольку, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

Собственные значения ,;

Собственные функции ,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

: ,.

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Краевые условия ,дают:

:

; ;,;

:

, .

Итак, для определения ,,, получили системы

Решая их, получим

, ,

, ,.

Тогда

,

, .

Окончательно, потенциал равен

.

Значение потенциала в центре квадрата со стороной , т.е. в точке,, равно

.

4. Для расчета вероятностей попадания нормальной случайной величины с математическим ожиданиеми среднеквадратическим отклонениемв промежутокиспользуется формула

,

где , причем– нечетная функция:.

Пусть случайная величина – масса пойманной рыбы. Приг,г получим

.