Экзаменационный билет № 19

1. Общие свойства гармонических функций. Теорема о среднем. Теорема о максимуме и минимуме гармонической функции. Теорема о единственности решения задачи Дирихле.

2. Формула Бернулли (с доказательством).

3. Найти решение задачи Коши для волнового уравнения

,

НУ: .

4. Производится два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными ,. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

1. Функция называется гармонической в области, если она в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е.

для всех точек области .

Рассмотрим основные свойства гармонических функций. Их вывод основан на формуле Грина

.

Свойства гармонических функций:

1. Если – гармоническая в областифункция,– граница области, то.

Доказательство. Во второй формуле Грина возьмем – гармоническая вфункция (т.е.), а(тогда,) и получим.

2. Формула среднего значения (теорема о среднем). Если – гармоническая в областифункция, то

,

где – сфера радиусас центром в точке.

3. Принцип максимального значения. Если функция непрерывна в замкнутой областии гармоническая внутри, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на поверхности.

Отсюда вытекают еще три свойства гармонической функции.

4. Если гармоническая в области функция и удовлетворяет на границе области условию, то она удовлетворяет этому условию и внутри области.

5. Если гармоническая в области функция и принимает на границе области постоянное значение, то она постоянна и во всей области. В частности, если, тов.

6. Если функции игармоничны в области, то выполнимость на границе области неравенствавлечет за собой выполнимость этого неравенства и внутри области.

Теорема о единственности решения задачи Дирихле. Решение внутренней задачи Дирихле

в ,

,

непрерывное в замкнутой области , единственно.

Доказательство. Пусть две функции иявляются решением этой задачи. Тогда их разностьудовлетворяет уравнению Лапласа в области, а на границепринимает значение, равное нулю. В силу свойства 5 гармонической функции имеем, чтовсюду в.

2. Схемой Бернулли (или последовательностью независимых испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям:

1) в каждом испытании возможны лишь два исхода – появление некоторого события (которое мы будем называть "успехом") или его не появление, т.е. осуществление события(в этом случае мы будем говорить, что испытание закончилось "неудачей");

2) испытания являются независимыми, т.е. исход -го испытания не зависит от исходов всех предыдущих испытаний;

3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна .

Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим через :.

При рассмотрении схемы Бернулли основной задачей является нахождение вероятности события, состоящего в том, что в испытаниях успех появится ровнораз,. Обозначим эту вероятность через.

Теорема. Вероятность того, что виспытаниях по схеме Бернулли произойдет ровноуспехов, определяется формулой Бернулли

, .

Доказательство. Обозначим событие "появление успеха" через У, а событие "появление неудачи" через Н. Тогда элементарными исходами последовательности из независимых испытаний будут всевозможные цепочки длины, состоящие из событий У и Н. Всего существуетразличных цепочек такого вида. Посчитаем вероятности элементарных исходов. В силу независимости испытаний события У, Н, Н, ..., У, У являются независимыми и согласно теореме умножения вероятность того, что виспытаниях успех появилсяраз, равна,. Поскольку всего существуетспособов расположить«успехов» средииспытаний, то.

3. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой

, ,,

, .

представляется формулой Даламбера

.

У нас ,,. Тогда

.

Для построения решения нарисуем на фазовой плоскости линии характеристик,,,,,,,. Эти линии разбивают фазовую плоскость на 15 областей, в каждой из которых нужно найти решение.

Область I: ,. Тогда в I,ипри. Значит,

.

Область II: ,. Тогда вII ,ипри. Значит,

.

Область III: ,. Тогда вIII ,ипри. Значит,

.

Область IV: ,. Тогда вIV ,ипри,при. Значит,

.

Область V: ,. Тогда вV ,иприи,при. Значит,

.

Область VI: ,. Тогда вVI ,ипри. Значит,

.

Область VII: ,. Тогда вVII ,ипри. Значит,

.

Область VIII: ,. Тогда вVIII ,ипри,при. Значит,

.

Область IX: ,. Тогда в IX ,иприи,при. Значит,

.

Область X: ,. Тогда вX ,ипри. Значит,

.

Область XI: ,. Тогда вXI ,ипри,при. Значит,

.

Область XII: ,. Тогда вXII ,иприи,при. Значит,

.

Область XIII: ,. Тогда вXIII ,ипри. Значит,

.

Область XIV: ,. Тогда вXIV ,ипри,при. Значит,

.

Область XV: ,. Тогда вXV ,ипри. Значит,

.

4. Сначала составим ряд распределения случайной величины – общее число попаданий в цель при двух выстрелах. Случайная величинаможет принимать значения 0, 1, 2. Введем в рассмотрение события

–в цель попали первым выстрелом;

–в цель попали вторым выстрелом.

Тогда

, ,.

По условию

, .

Значит, вероятности промахов

, .

Находим ряд распределения (считая, что стрелки независимо друг от друга попадают в мишень или промахиваются)

,

,

.

Проверим условие нормировки:

.

Ряд распределения приведен в таблице:

	0	1	2
	0,42	0,46	0,12

Находим математическое ожидание:

.