Экзаменационный билет № 18

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при (не)нулевых граничных условиях ,.

2. Функция распределения случайной величины, её свойства. Доказать, что неубывающая.

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце. ГУ:.

4. Дана схема:

.

Найти вероятность того, что цепь выйдет из строя, если – вероятность выхода из строя любого элемента цепи.

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при ненулевых граничных условиях имеет вид:

, ,,

граничные условия: ,;

начальное условие: .

Прежде, чем применить метод Фурье сделаем замену, сводящую к задаче с однородными краевыми условиями. Замена имеет вид:

,

где – новая неизвестная функция.

Находим

, ,,

: ,

: ,

:

.

Итак, для функции получим смешанную задачу

, ,,

, ,

.

Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е..

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,;

собственные функции ,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

, .

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Для нахождения коэффициентов ,, воспользуемся начальным условием.

Разложим функции на отрезкев ряд Фурье по системе:

,

где

,

так как .

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, .

Тогда решением задачи для является ряд

.

Значит,

,

где

.

2. Определение. Функцией распределения случайной величины называется определенная на всей числовой оси функция

.

Основные свойства функции распределения:

1) для всех ;

2) ,;

3) – неубывающая на, т.е. для любыхиз того, чтоследует, что.

Докажем последнее свойство. Пусть ,– произвольные действительные числа, причем. Тогда

,

откуда

,

то есть .

Кроме того, при доказательстве была получена формула

,

которая позволяет проводить расчет вероятностей для случайной величины, если известна её функция распределения.

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце. ГУ:.

3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце ставится следующим образом:

при ,

,

где – оператор Лапласа в полярных координатах,(,). Граничные условия преобразуем в полярные координаты:

,

.

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

.

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

,

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

,

откуда

,

.

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

,

.

Если , то

.

Применяем условие периодичности:

.

Отсюда, ,,.

Если , то

.

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при, сделаем замену. Получим

, ,

откуда

,

т.е.

, .

При получим.

Таким образом, функции

,

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

,

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Для нахождения ,,, воспользуемся граничными условиями.

Из условия имеем:

,

откуда

, ,,,

, ,

,

Из условия имеем:

,

откуда

, ,,,

, ,

,

Из системы

, ,

находим ,.

Из системы

, ,

находим ,.

Из системы

, ,

находим ,.

Из системы

, ,

находим ,.

Из систем

, ,,

находим ,,.

Из систем

, ,,

находим ,,.

Тогда в ряде для ненулевыми являются только коэффициенты

, ,,,,,,.

Окончательно решение заданной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце имеет вид

.

4. Обозначим события – вышел из строя-й элемент,(рис.). Дана схема:

По условию

.

Пусть событие – выход из строя цепи. Событиепроисходит тогда и только тогда, когда выйдет из строя элемент 3 или хотя бы один из элементов 1 и 2, т.е.

.

Считая, что выход элементов из строя происходит независимо друг от друга, по теореме умножения и теореме сложения находим

.