Экзаменационный билет № 16

1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике.

2. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Вероятность противоположного события.

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса. ГУ:.

4. Найти закон распределения числа попаданий в мишень при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8.

1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике имеет вид

, ,

, ,

, .

Эту задачу разобьем на две задачи, каждая из которых имеет однородные граничные условия по одной из переменных. Пусть

,

где иявляются соответственно решениями таких задач в прямоугольнике:

Рассмотрим сначала задачу для . Согласно методу Фурье будем искать решения в виде

.

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из краевых условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку , то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е.. Тогда из краевого условияполучаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,;

собственные функции ,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

: ,.

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Граничные условия иприводят к равенствам:

, .

Пусть

и ,

где

,

– соответствующие ряды Фурье функций ипо системе функций,. Тогда

,

,

откуда

, ,,

и

, ,.

Тогда

.

Аналогично решается задача для :

,

где

, .

Значит, решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике

.

2. Теорема сложения вероятностей. Если события исовместны, то

.

Доказательство. Пусть – числе всех равновозможных исходов испытания, в результате которого могут появиться событияи. Пусть– число тех исходов, которые благоприятствуют событию,– число тех исходов, которые благоприятствуют событию,– число тех исходов, которые благоприятствуют произведению событий. Тогда событиюблагоприятствуют исходы числом. Значит, по формуле классической вероятности

.

Следствие. Если события инесовместны, тои

.

Для трех событий ,итеорема сложения имеет вид

.

Для событий теорема сложения имеет вид

.

Противоположные события инесовместны и в сумме дают достоверное событие, поэтому

,

откуда получаем формулу для вероятности противоположного события

.

3. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса ставится следующим образом:

при ,

,

где – оператор Лапласа в полярных координатах,(,). Граничное условие преобразуем в полярные координаты:

.

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

.

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

,

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

,

откуда

,

.

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

,

.

Если , то

.

Применяем условие периодичности:

.

Отсюда, ,,.

Если , то

.

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при, сделаем замену. Получим

, ,

откуда

,

т.е.

, .

При получим.

Таким образом, функции

,

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

,

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Поскольку задача рассматривается во внешности круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области, т.е.

, ,.

Итак, в области имеем

.

Для нахождения ,,,, воспользуемся граничным условием:

,

откуда

, ,,,

, .

Тогда в ряде для ненулевыми являются только коэффициенты

, .

По условию , поэтому

, .

и окончательно решение заданной внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа вне круга имеет вид

.

4. Здесь мы имеем дело с испытаниями по схеме Бернулли, где «успех» – попадание по мишени, вероятность «успеха» , всегоиспытаний. Случайная величина– число попаданий в мишень при четырёх выстрелах – имеет биномиальное распределение. Тогдапринимает значенияс вероятностями

Находим:

,

,

,

,

Итак, закон распределения числа попаданий в мишень при четырёх выстрелах имеет вид

	0	1	2	3	4