Экзаменационный билет № 15

1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце.

2. Закон больших чисел (теорема о связи и, где,, …,– попарно независимые величины, дисперсии которых ограничены одной и той жеconst) (с доказательством).

3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения

, ,

ГУ: ;

НУ: .

4. Найти вероятность того, что при семи подбрасываниях двух игральных кубиков пять очков в сумме появятся ровно 3 раза.

1. Уравнением Лапласа называется уравнение вида

,

где – оператор Лапласа.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце ставится следующим образом:

при ,

, ,

где – оператор Лапласа в полярных координатах,(,),,– заданные функция.

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

.

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

,

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

,

откуда

,

.

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

,

.

Если , то

.

Применяем условие периодичности:

.

Отсюда, ,,.

Если , то

.

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при, сделаем замену. Получим

, ,

откуда

,

т.е.

, .

При получим.

Таким образом, функции

,

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

,

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Для нахождения ,,,,,,, воспользуемся краевыми условием,. Разложим функции,в тригонометрический ряд Фурье в промежутке:

,

,

где

, ,,,

, ,,.

Тогда краевое условие дает равенство

,

откуда

, ,,.

Краевое условие дает равенство

,

откуда

, ,,.

Тогда

из системы ,находим

, ;

из систем ,,, находим

, ,;

из систем ,,, находим

, ,.

Окончательно решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце имеет вид

.

2. Пусть – последовательность случайных величин, для которых определены математические ожидания,. Кроме того, пусть для любого

.

Математические теоремы, формулирующие условия такой сходимости, носят название закона больших чисел (ЗБЧ).

Рассмотрим закон больших чисел в форме Чебышева.

Введем обозначения

, .

Теорема Чебышева. Пусть – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожиданияи дисперсии, ограниченные в совокупности:при любом. Тогда для любого

.

Доказательство. Поскольку случайные величины независимы, то

,

Кроме того,

,

поскольку дисперсии ограничены в совокупности.

Применим к вероятности неравенство Чебышева и неравенство для:

.

Последнее при любом стремится к нулю при. Теорема доказана.

3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий ,получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то является собственным значением, а– соответствующей ему собственной функцией.

Пусть теперь (призадача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравненияимеет вид

.

Тогда . Из краевого условияполучаем:,, т.е.и.

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,,;

собственные функции ,,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

, .

При получим уравнение, откуда

.

При общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Для нахождения коэффициентов ,,, воспользуемся начальными условиями,.

Разложим функцию на отрезкев ряд Фурье по системе:

,

где

,

.

Находим

,

при

,

при

.

Итак,

.

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, ,,.

Находим :

.

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, .

Тогда решение задачи есть ряд

.

4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – выпадение при подбрасывании двух игральных кубиков в сумме пяти очков. Поскольку при подбрасывании двух игральных кубиков всего возможно исходов, а сумме 5 может появиться четырьмя способами:,,,, то вероятность «успеха» равна. Проведеноиспытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 3 раза (т.е. при семи подбрасываниях двух игральных кубиков пять очков в сумме появятся ровно 3 раза), равна

.