Экзаменационный билет № 14

1. Уравнение Лапласа. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга.

2. Правило трёх сигм (с доказательством).

3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения

, ,

ГУ: ;

НУ: .

4. Найти вероятность того, что при восьми подбрасываниях двух монет два герба появятся ровно 4 раза.

1. Уравнением Лапласа называется уравнение вида

,

где – оператор Лапласа.

Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса ставится следующим образом:

при ,

,

где – оператор Лапласа в полярных координатах,(,),– заданная функция.

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

.

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

,

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

,

откуда

,

.

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

,

.

Если , то

.

Применяем условие периодичности:

.

Отсюда, ,,.

Если , то

.

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при, сделаем замену. Получим

, ,

откуда

,

т.е.

, .

При получим.

Таким образом, функции

,

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

,

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Поскольку задача рассматривается во внешности круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области, т.е.

, ,.

Итак, в области имеем

.

Для нахождения ,,,, воспользуемся краевым условием. Разложим функциюв тригонометрический ряд Фурье в промежутке:

,

где ,,,.

Тогда краевое условие дает равенство

,

откуда

, ,,.

Окончательно решение внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа вне круга имеет вид

.

2. Пусть случайная величина распределена нормально с параметрамии. Тогда вероятность попадания её в промежутоквычисляется по формуле

,

где , причем– нечетная функция:.

Найдем вероятность того, что нормальная случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, меньшую по модулю, чем три среднеквадратических отклонения, т.е. найдем вероятность .

Поскольку

,

то по приведенной выше формуле получим

.

Поскольку , то

.

Это т.н. «правило трёх сигм» – с вероятностью (т.е. практически достоверно) значения нормальной случайной величины лежат в интервале.

3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий ,получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е..

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,;

собственные функции ,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

, .

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Для нахождения коэффициентов ,,, воспользуемся начальными условиями,.

Разложим функцию на отрезкев ряд Фурье по системе:

,

где

.

Находим

,

при

,

при

.

Итак,

.

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, ,.

Находим :

.

Тогда начальное условие дает

,

откуда

, .

Тогда решение задачи есть ряд

.

4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – выпадение при подбрасывании двух монет двух гербов. Поскольку при подбрасывании двух монет возможно четыре исхода – ГГ, ГР, РГ и РР (Г – выпадение герба, Р – выпадение решки), то вероятность «успеха» равна . Проведеноиспытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 4 раза (т.е. при восьми подбрасываниях двух монет два герба появятся ровно 4 раза), равна

.