Экзаменационный билет № 13

1. Уравнение Лапласа. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге.

2. Неравенство Чебышёва (с доказательством).

3. Найти потенциал в центре квадрата со стороной , если на трёх сторонах квадрата потенциал равен нулю, а на четвертой стороне задается формулой

.

4. Найти функцию распределения случайной величины , заданной плотностью вероятности.

1. Уравнением Лапласа называется уравнение вида

,

где – оператор Лапласа.

Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круга радиуса ставится следующим образом:

при ,

,

где – оператор Лапласа в полярных координатах,(,),– заданная функция.

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

.

Кроме того, нужно поставить условие ограниченности решения в центре круга.

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

,

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

,

откуда

,

.

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

,

.

Если , то

.

Применяем условие периодичности:

.

Отсюда, ,,.

Если , то

.

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при, сделаем замену. Получим

, ,

откуда

,

т.е.

, .

При получим.

Таким образом, функции

,

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

,

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Поскольку задача рассматривается внутри круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными при, т.е.

, ,.

Итак, в области имеем

.

Для нахождения ,,,, воспользуемся краевым условием. Разложим функциюв тригонометрический ряд Фурье в промежутке:

,

где ,,,.

Тогда краевое условие дает равенство

,

откуда

, ,,.

Окончательно решение внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид

.

2. Для любой случайной величины и любого положительного числасправедливо неравенство Чебышева

.

Доказательство проведем для случая, когда – непрерывная случайная величина. Пусть– плотность случайной величины, а, тогда

,

так как события инесовместны.

Итак,

,

то есть

.

Неравенство Чебышева доказано.

Для дискретных случайных величин неравенство Чебышева доказывается аналогично (вместо интегралов будут суммы рядов).

Следствие. Поскольку , то

.

3. Если – искомый потенциал, то он является решением задачи

при ,,

, .

Для решения краевой задачи воспользуемся методом Фурье. Нетривиальные решения уравнения Лапласа будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из краевых условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку , то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е.. Из краевого условияполучаем:. Поскольку, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

Собственные значения ,;

Собственные функции ,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

: ,.

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Краевые условия ,дают:

:

; ,;

:

, .

Итак, для определения ,,, получили системы

Решая их, получим

, ,

, ,.

Тогда

,

, .

Окончательно, потенциал равен

.

Значение потенциала в центре квадрата со стороной , т.е. в точке,, равно

.

4. Функцию распределения найдем по формуле

.

Для заданной плотности получим:

при

;

при

,

при

.

Итак, функция распределения равна