Экзаменационный билет № 12

1. Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях.

2. Функция Лапласа . Доказать нечетность этой функции. Связь между функциямии.

3. Привести к каноническому виду

.

4. Найти вероятность того, что при шести подбрасываниях двух игральных кубиков четыре очка в сумме появятся ровно 3 раза.

1. Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:

, ,,

граничные условия: ;

начальное условие: .

Сначала найдем общее решение однородного уравнения при нулевых граничных условиях. Для этого воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнениябудем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е..

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,;

собственные функции ,.

Разложим функции ,в ряды Фурье на отрезкепо системе собственных функций:

,

,

где

,

так как .

Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности будем искать в виде ряда

,

где функции ,, подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальному условию. Заметим, что функцияпри любом выборе функций,, точно удовлетворяет однородным граничным условиям. Находим производные

, ,

и подставляем их в неоднородное уравнение :

,

,

откуда получим, что функции ,, удовлетворяют уравнениям

.

Из начального условия получаем:

,

откуда

.

Итак, функции ,, являются решениями задачи Коши

,

.

Найдем её решение методом вариации. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

.

Решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Находим :

.

Подставляем в уравнение:

,

,

.

Из начального условия получим

.

Интегрируя от 0 до , получим

, ,

.

Тогда

.

Окончательно получим решение смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности при нулевых граничных условиях в виде

.

2. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрамии. При расчете вероятностей, связанных с нормальными случайными величинами используют функциии. Они определяются следующими равенствами:

, .

Функция называется функцией Лапласа.

Графики этих функций имеют вид:

Свойства функции :

1) ;

2) возрастает на всей числовой оси;

3) – нечетная функция, т.е. для любого.

Докажем свойство 3):

.

Функции исвязаны равенством

.

3. У нас ,,. Определим тип уравнения. Поскольку, то во всей плоскости уравнение является эллиптическим. Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид

, ,

решаем его:

, ,.

Для приведения к каноническому виду сделаем в уравнении замену

, .

Выражаем частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным:

,

,

,

,

.

Значения производных подставляем в заданное дифференциальное уравнение:

,

,

,

–каноническая форма эллиптического уравнения.

4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – выпадение при подбрасывании двух игральных кубиков в сумме четырёх очков. Поскольку при подбрасывании двух игральных кубиков возможно всего исходов, а сумме 4 может появиться тремя способами:,,, то вероятность «успеха» равна. Проведеноиспытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 3 раза (т.е. при шести подбрасываниях двух игральных кубиков четыре очка в сумме появятся ровно 3 раза), равна

.