2)Доказательство аналогично.

Достаточное условие строгого экстремума в терминах старшей производной.

Пусть в точке х0 у функции f(x) существует n производных, причём Тогда, если n=2k, то в точке х0 экстремум, и если Если n=2k+1 в точке х0 нет экстремума и точка х0 точка возрастания. Если и точка убывания, если .

Следствие. Если в точке х0 у функции f(x) существует , то, если >0, то в точке х0 минимум, <0,то в точке х0 максимум (k=1).

Доказательство.

Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора.

или знак определяется первым слагаемым, если n – четное, то знак зависит от знака . По этому, если то >0 – минимум. то <0 – максимум. Если n – нечетное, то знак зависит от и , т.е. при переходе через точку х0 знак меняется, следовательно в точке х0 экстремума нет.

Следствие.

. f’’(x0)>0, >0 – минимум; f’’(x0)<0, <0 – максимум.

БИЛЕТ 36. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Необходимое ус­ловие перегиба.

Выпуклости функции. Точка перегиба.

Опр. Функция f(x) на интервале (a,b) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз), если

()

Геометрически это означает что кривая y=f(x) лежит выше(ниже) прямой.

Достаточное условие строго выпуклости.

Теорема. Если на интервале (a,b) f’’(x)>0, то f(x) выпукло вниз, если f’’(x)<0, то f(x) выпукло вверх.

Доказательство

Рассмотрим разность х2-х1>0

а)Если выпукла вниз.

б) Если выпукла вверх.

Опр. Точка х0 для функции f(x) называется точкой перегиба, если она является концом интервала выпуклота вверх(вниз) и началом интервала выпуклота вниз(вверх)

Необходимое условие точек перегиба.

Если функция дважды непрерывна, дифференцируема в точке х0 и если точка х0 является точкой перегиба, то f’’(x0) = 0

Доказательство. Если бы f’’(x0)>0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вниз. Если бы f’’(x0)<0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вверх. Но это противоречит определению точке перегиба: точка перегиба не принадлежит ни какому интервалу выпуклости.

БИЛЕТ 37. Достаточные условия перегиба графика функции.

Достаточное условие точки перегиба.

Если функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точке х0 кроме, быть может, самой точки х0, но f(x) непрерывна в точке х0 и ее производная меняет знак при переходе через точку х0, то в точке х0 – точка перегиба.

Доказательство.

Т.е. в случае (1) точка х0 является концом интервала выпуклости вверх и началом интервала выпуклости вниз, следовательно точка х0 точка перегиба. В случае (2) точка х0 является концом интервала выпуклости вниз и началом интервала выпуклости вверх, следовательно х0 точка перегиба.

Замечание. Заметим, что если функция y=f(x) выпукла вниз, то ее график лежит выше касательной, если функция y=f(x) выпукла вверх, то ее график лежит ниже касательной.

Теорема. Пусть функция f(x) обладает следующим условием непрерывна в точке x0 и .n-четное y= f(x) выпукла вверх, если и выпукла вниз, если , n+1-нечетное- точка x0-точка перегиба.