Доказательство: (метод деления пополам).

I). Проведем построение системы отрезков.

ограниченная .

Рассмотрим точку - середину отрезка .

1) В отрезке содержится бесконечное число элементов .

Тогда , .

2) В противном случае , , -содержит бесконечное число элементов .

Рассмотрим точку - середину и так далее.

1.

2. в содержится бесконечное число элементов .

3. .

II). Выбор подпоследовательности

По лемме о вложенных отрезках:

1) произвольный элемент из

2) элемент из :

………………………………………………….

k) элемент из :

Докажем, что .

0 ().

.

БИЛЕТ 11. Критерий Коши сходимости последовательности.

Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие необходимости и достаточности (<=>).

1) Необходимость: (=>).

Пусть . Возьмем произвольный Тогда .

. Обозначим, тогда

.

фундаментальна.

2) Достаточность: (<=).

1. фундаментальна => ограниченная .

Возьмем , , тогда .

Обозначим . .

ограничена.

2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

ограниченная => - сходящаяся. Обозначим

3. Докажем, что

Возьмем произвольный . фундаментальная => .

Обозначим и выберем

1. k>K

2. 

Тогда .

. То есть

БИЛЕТ 12. Два определения предела функции. Эквивалентность определений.

Пусть определена в некоторой выколотой окрестности т.

Определение 1 (Гейне): , если , ,

Замечание:

Определение 2 (Коши): , если .

.

Замечание: , то есть .

Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.

Имеем . .

Возьмем произвольную = => .

Обозначим . Тогда 0<.

Т.обр.

., то есть

БИЛЕТ 13. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.

Теорема: Пусть и , тогда .

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , :

.

.

Возьмем Тогда .

Теорема: Пусть , и . Тогда

Возьмем произвольный , , , причем .

(по теореме о предельном переходе в неравенство) .

Теорема: Пусть , и

. Тогда существует . Возьмем произв. ,

, , причем

сущ. .

Теорема (об отделимости от нуля): Пусть , : .

Доказательство:

.

Возьмем , тогда

, , .

БИЛЕТ 14. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами. Теорема об арифметике пределов функций.

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , :

.

.

Возьмем Тогда .

Теорема: Если существуют и , то:

1). .

2). = (- постоянная).

3). *.

4). , если .

Доказательства:

Доопределив по непрерывности функции и в точке , положив = и = (это изменение функций не влияет на их пределы). В точке будут непрерывны функции , , , (так как =. Поэтому в силу равенства=получим:

1). =.

2). ==

3). =*.

4). =.

БИЛЕТ 15. Разные виды пределов функции: бесконечно большие функции, пределы функции на бесконечности, односторонний предел. Теорема о связи односторонних пределов с пределом функции.

Определение 1: Функция  называется бесконечно большой в точке , если для любого  существует такое, что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство: . В этом случае пишут: 

Определение 2: Число  называется пределом функции  на бесконечности или при , если для любого существует число  такое, что для всех  из того, что , выполняется неравенство .

Определение 3: Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число  называется правым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число  называется левым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 2). Левый предел обозначается 

Теорема: Чтобы функция имела предел в точке , необходимо и достаточно чтобы она имела в этой точке оба односторонних предела и чтобы они были равны.

Функция называется непрерывной в точке , если .

Если в этом определении раскрыть определение предела на языке «», то получим определение: функция называется непрерывной в точке , если .

Если же раскрыть определение предела на языке последовательностей, то приходим к определению: функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , соответственная последовательность значений функции сходится к .

Иногда удобно формулировать определение непрерывности функции на языке приращений. Разность называют приращением аргумента в точке , а разность называют приращением функции в точке .

Функция называется непрерывной в точке , если приращение функции в точке стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента, т.е. .

БИЛЕТ 16. Первый замечательный предел (с доказательством). Второй замечательный предел (без доказательства).

Первый замечательный предел:

Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим

или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0;), верно для любого из интервала (-;) в силу четности функций, входящих в это неравенство.

Докажем, что

() при

А раз и , то .

Кроме того: =1