Доказательство:

Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (1)

А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (2)

Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.

БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.

Определение: -точка разрыва функции , если в точке функцияне является непрерывной.

Определение: точка-точка устранимого разрыва функции , если существует , но не определена в точке , либо .

Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:

- непрерывна в точке .

Пример: .

, - точка устранимого разрыва .

Если не существует, то -точка неустранимого

разрыва .

Определение: Пусть точка-точка неустранимого разрыва функции , тогда:

1. если существует , то .

2. если, то -точка разрыва функции 1-го рода.

3. если, то -точка разрыва функции 2-го рода.

Примеры:

1). .

,

- точка разрыва 1-го рода.

2). .

,

- точка разрыва 2-го рода.

3).

,

- точка разрыва 2-го рода.

4).

не существует точка - точка разрыва 2-го рода.

, . Точка - точка разрыва 2-го рода.

БИЛЕТ 22. Теорема о нуле непрерывной функции.

Определение: непрерывна на , если непрерывна в точке ,

непрерывна на , если непрерывна в точке , и

Существует , .

Теорема: Пусть определена на и , причем . Тогда

.

Пусть , . Используем метод деления отрезка пополам.

Обозначим: , .

Определим

1) =0.

2) < 0, .

3) > 0, и так далее.

.

.

По лемме о вложенных отрезках: , то есть .

непрерывна в точке

.

.

0 ()

.

.

0 ()

БИЛЕТ 23. Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда ограничена на.

Доказательство:

Докажем, что .

Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…

Получим :

1)

2)

Из этих определений получаем .

=> -подпоследовательность последовательности :

.

-непрерывна в точке => .

-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.

Замечание: Замкнутость по существу. , , но

Не является ограниченной на .

БИЛЕТ 24. Обратная функция. Примеры. Теоремы о существовании и непрерывности обратной функции (без доказательства).

Определение:  Пусть на множестве D определена функция у = f(x) и E –множество ее значений. Определим новую функцию, х = h(y), которая определена на множестве Е и каждому значению у ставит в соответствие то самое значение х из множества D, для которого у = f(x). Эта новая функция х = h(y) называется функцией, обратной к функции у = f(x). Таким образом, для нахождения функции, обратной к функции у = f(x), надо решить уравнение у = f(x) относительно х.

Примеры:

1. Найти функцию обратную для  :

1. Область определения функции: D(f) =(-∞;+∞), область значений функции: E(f)=(-∞;+∞)

2. Выразим x через y - . (По сути это и есть обратная функция, но следует записывать так:)

3. – это обратная функция функции и наоборот.

2. Найти функцию обратную для . :

1. Область определения функции: D(f)=ℝ, область значений функции: E(f)=(0;+∞)

2. Выразим x через y - . (По сути это и есть обратная функция, но следует записывать так:)

1. – это обратная функция функции и наоборот.

Теорема: Пусть функция f(x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [f(a),f(b)] определена обратная функция f(-1)(x), которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).

БИЛЕТ 26. Производная функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Геометрический смысл производной.

Производной  от функции  в точке  называется предел отношения

приращения функции  к приращению аргумента  :    при , если он

существует, то есть:

или

Определение: Пусть функция f(x) определена в окрестности точки .Если ее приращение можно представить в виде ,то говорят ,что f(x) дифференцируема в точке (иногда пишут -величина более высокого порядка, чем а это означает, что )

-линейная функция от .Она называется дифференциалом функции f(x) и обозначается

Пример:

Критерий дифференцируемости:

Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке.

Доказательство:

1.Необходимость. f(x) дифференцируема в точке это означает . Разделим это равенство на и перейдем к пределу ,т.е. существует , т.е. производная существует.

2.Достаточность. Пусть существует или

, т.е. f(x) дифференцируема в точке .

Итак, , т.е. .Отсюда следует новое обозначение производной и эту величину можно рассматривать как один символ, так и как частное дифференциалов.

Геометрический смысл производной.  

Рассмотрим график функции  y = f ( x ): 

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  

где   - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то   неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

БИЛЕТ 27. Дифференцирование сложной функции.