Второй замечательный предел:

.

На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+, а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:

	1/2	1/3	1/4	0.01	0.001
	2.25	2.37…	2.44…	2.7047…	2.7169…

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

БИЛЕТ 17. Бесконечно малые функции. Определение и свойства (без док-ва). Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.

Определение: Функция  называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при  (или в

точке  ), если .

Основные свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2. Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3. Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4. Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5. Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6. Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая.

Верно и обратное.

Бесконечно малые функции одного порядка:

Пусть   и   - две б.м. функции при .

Если  , то  является б.м. более высокого порядка при , чем ,

а  - б.м. более низкого порядка по сравнению с  :  при .

Пример:

 и . Предел отношений: 2 => одного порядка

Бесконечно малые функции более низкого и высокого порядков:

Определение 1:

Если  , то  является б.м. более высокого порядка при , чем ,

а  - б.м. более низкого порядка по сравнению с  :  при .

Пример: и , Предел отношений равен 0

Определение 2:

Если  , то  - б.м. низшего порядка малости при  по сравнению с 

Пример: и , Предел отношений равен бесконечности

Определение 3:

Если  , то  называется б.м. порядка  по сравнению

с  при .

Пример: и , k=2, предел отношений равен: 1. А 1 не равен 0. Что и требовалось доказать.

Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции:

Если , то б.м.

функции  и  называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при :  при .

Пример:  и  являются эквивалентными б.м. в точке  т.к. предел отношений при x->1 равен 1, также предел a(x) при x->1 равен 1 и предел b(x) при x->1 тоже равен 1.

БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквива­лентные.

Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.

Теорема (критерий эквивалентности):

Пусть ,-бесконечно малые функции при .

-. Тогда ~ при .

Доказательства:

(). Пусть ~, , то есть .

=0,

то есть .

()..,.

=1.

Теорема (о замене на эквивалентные):

Пусть функция ~, ~ при и существует , тогда существует и =. То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.

=**=.

1 1

БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства не­прерывных функций.

Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .

Определение 3: Функция непрерывна в точке , если

.

Свойства непрерывных функций:

Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .

Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда

. .

Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда:

1). непрерывна в точке .

2). непрерывно в точке .

3). Если , то непрерывно в точке .

БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.

Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .