Лабораторная работа №7

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева).

Цель работы:

Используя модель Леонтьева, вида X=AX+Y, где

А – матрица прямых затрат;

Y– вектор конечного продукта;

X– вектор валового выпуска;

научиться определять:

1. Зная (или задавая) объемы валовой продукции всех отраслей X, объемы конечной продукции всех отраслей Y по формуле: Y = (E – A)X;

2. Задавая величины конечной продукции всех отраслей Y, величины валовой продукции каждой отрасли: X = (E – A)^-1Y→X=BY

3. Задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

4. Матрицу полных материальных затрат B = (E–A)^-1, которая показывает, сколько всего необходимо произвести продукции вi-ой отрасли, для выпуска в сферу конечного потребления единицы продукции отраслиj.

5. Продуктивность матрицы A по вычисленной матрице B. Так если эта матрица Bсуществует и все ее элементы неотрицательны, то матрица A продуктивна.

Ход работы:

Самостоятельное задание №11.

Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица прямых затрат Aи вектор конечного продуктаYизвестны.

Определить:

1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B

2) Проверить продуктивность матрицы A

3) Вектор валового выпуска X

4) Межотраслевые поставки продукции x_ij

Исходные данные:

А			Y
0,36	0,12	0,24	100
0,34	0,70	0,35	300
0,18	0,14	0,32	420

Решение.

Модель Леонтьева имеет вид: X=AX+Yили ,i= 1, 2,…,n.

Где AXназывается продуктивной моделью.

Матрица полных материальных затрат равна: B = (E–A)^-1. Для проверки продуктивности матрицы A достаточно существования обратной матрицы B = (E–A)^-1с неотрицательными элементами, где матрица E – единичная матрица.

Вектор валового выпуска X рассчитывается по формуле: X=BY

А межотраслевые поставки продукции x_ijвычисляются как: x_ij=a_ijx_j.

Решение данной задачи сводиться к выполнению следующих этапов:

1. Задание исходных данных задачи

Введем матрицу A в ячейки с адресами А2:С4 и вектор Y в ячейки с адресами Е2:Е4.

2. Вычисление матрицы коэффициентов полных материальных затрат B.

2.1. Введем единичную матрицу Е.

2.2. Вычислим матрицу Е–А как разность двух матриц Е и А, для этого введем формулу =А7-А2 в ячейку A12 и скопируем эту формулу в остальные ячейки результирующей матрицы.

2.3. Вычислим матрицу B = (E–A)^-1, являющейся обратной по отношению к матрице Е – А. Для этого выделим диапазон ячеек матрицы В, выберем функцию «МОБР», введем диапазон матрицы Е – А в рабочее полеМассив и нажмемCtrl+Shift+Enter.

3. Проверка продуктивности матрицы А.

Так как все элементы полученной матрицы В неотрицательны, то матрица А – продуктивна.

4. Вычисление вектора валового выпуска X.

Вычислим вектор X=BYс помощью операции умножения матрицыBи вектораY, для этого выделим диапазон ячеек вектора Х, выберем функцию «МУМНОЖ», введем диапазон матрицыBв рабочее полеМассив 1и диапазон вектора Y вМассив 2, нажмемCtrl+Shift+Enter.

5. Вычисление межотраслевых поставок продукции x_ij

Межотраслевые поставки продукции x_ijвычислим по формуле: x_ij=a_ijx_{j ,} где:

a_ij– элементы исходной матрицыA,

x_j – элементы найденного вектора Х

Вычислим сначала транспонированный вектор Х^тотносительно вектораX. При этом вектор-столбец Х станет вектором-строкой Х^т. Для этого выделим ячейки вектора Х^ти выберем функцию «ТРАНСП», затем введем диапазон вектора Х в рабочее полеМассив и нажмемCtrl+Shift+Enter.

6. Вычисление межотраслевых поставок продукции x_ij.

Для этого нужно в ячейке, где будет располагаться значение x₁₁ ввести формулу =A2*E12, которая означает, что x₁₁=a₁₁x₁, затем скопировать введенную формулу в остальные ячейки первой строки. В ячейку x₂₁введем формулу =A3*E12 и повторим аналогичную процедуру для ячеек А24:С24.

Вывод:

В результате всех вычислений мы получили:

• матрицу коэффициентов полных материальных затрат B, с помощью которой проверили продуктивность матрицы A;

• вектор валового выпуска X:

• матрицу межотраслевых поставок продукции x_ij.

9