2.3.4. Основное уравнение лопастных машин (уравнение Эйлера)

Уравнение Эйлера устанавливает зависимость между скоростями потока и энергией, сообщаемой жидкости.

Как известно из гидромеханики, если скорость жидкости или газа, протекающего по какому-либо каналу, меняется по величине или направлению, то на стенки канала действует сила Р, которая равна изменению количества движения в единицу времени:

.

Если жидкость протекает через вращающееся колесо, то на него действует момент, равный разности моментов количества движения входящего и выходящего потоков жидкости. Чтобы уравновесить этот момент количества движения, необходимо на колесо воздействовать равным моментом внешних сил, но в противоположном направлении.

Если через колесо протекает [кг/с] жидкости, то момент количества движения относительно оси вращения на радиусеr

.

В этом произведении .

Момент, с которым поток воздействует на вращающееся колесо (рис. 2.26), рассчитывается как

или,

тогда

.

Удельная работа, передаваемая рабочим колесом газу:

,

а теоретический напор, создаваемый рабочим колесом при бесконечном числе лопаток: .

Если газ входит радиально на лопатки рабочего колеса (), то уравнение для теоретического напора имеет следующий вид:

.

Уравнение Эйлера для центробежного насоса можно представить в иной форме. Из треугольников скоростей следует:

тогда теоретический напор

где – величина работы (напора), которая затрачивается в колесе на повышение давления вследствие действия на газ центробежных сил;– величина работы, которая затрачивается в колесе на повышение давления вследствие снижения относительной скорости сw₁доw₂; – величина работы, которая затрачивается на повышение кинетической энергии газа в колесе.

Рис. 2.26. Схема к выводу уравнения Эйлера

При сжатии без потерь статическое давление в рабочем колесе повышается на величину, соответствующую работе, называемой статическим напором:

,

тогда динамический напор

,

а уравнение для теоретического напора имеет вид

Отношение статического напора к теоретическому

называют степенью реактивности лопаточных машин, которая показывает, какую долю составляет потенциальная энергия в общей энергии, передаваемой газу в рабочем колесе.

При отсутствии предварительного закручивания на входе (С_1u= 0) и равенстве радиальных проекций абсолютных скоростей на входе и выходе из рабочего колеса (С_1r= С_2r= С₁)

==,.

Из треугольника скоростей на выходе следует:

,

тогда степень реактивности

.

С увеличением угла на выходе потока из рабочего колеса ₂ степень реактивности уменьшается, повышается доля динамической составляющей, что нежелательно. Степень реактивности характеризует форму лопаток с точки зрения создаваемого ими статического напора. Машины с малой степенью реактивности имеют более низкий КПД, чем насосы с большей степенью реактивности. Это объясняется тем, что у лопаток с малой степенью реактивности динамический напор больше статического и поэтому выходные скорости достаточно высоки. Для их снижения используются диффузоры, которые имеют низкий КПД.

По степени реактивности различают три типа колес:

• реактивные (0,5 < < 1);

• радиальные ( = 0,5);

• активные (0 < < 0,5).

Колеса центробежных насосов, как правило, выполняют с загнутыми назад лопатками, хотя они создают меньший напор. Это обусловлено тем, что в рабочих колесах радиального и активного типов (90) межлопаточный канал получается коротким с большим углом диффузорности, в связи с чем гидравлические потери в таких колесах значительно больше, чем в межлопаточном канале реактивного колеса. С увеличением углаформа рабочих характеристик приводит к неустойчивой работе насоса. В современных центробежных насосах лопатки выполняют загнутыми назад под углом 1830.