Задача д1.

Груз Dмассойm, получив в точкеАначальную скоростьV₀.движется в изогнутой трубеАВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 —Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q(ее направление показано на рисунках) и сила сопротивленияcредыR. зависящая от скорости V груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участкеАВпренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВСтрубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения

(коэффициент трения груза о трубу f= 0,2) и переменная силаF, проекция которойF_xна осьхзадана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=lили

время tдвижения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участкеВС, т. е.х = x(t). гдех = ВD.

Указания.

Задача Д1 — на составление и интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить векторное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, спроектировать это уравнение на координатную ось, направленную вдольАВ, и проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, учитывая начальные условия (вторая задача динамики точки). Затем, зная время движения груза на участкеАВили длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участкеВС.

Посте этого нужно составить векторное уравнение движения точки на участке ВСи спроектировать это уравнение на 2 координатные оси, направленные вдоль ВС и перпендикулярноВС. Затем проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участкеВСтоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точкеВ, и полагая в этот моментt= 0. При интегрировании уравнения движения на участкеАВв случае, когда задана длинаlучастка, целесообразно перейти в уравнении от переменныхV_x , tк переменнымV_х, x, учитывая, что

Груз Dмассойm, получив в точкеАначальную скоростьυ₀, движется в изогнутой трубеABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1).

На участке АВна груз кроме силы тяжести действуют постоянная силаQ(ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления средыR, зависящая от скоростиυгруза (направлена против движения) ; трением груза о трубу на участкеАВпренебречь.

В точке Вгруз, не изменяя своей скорости, переходит на участокВСтрубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная силаF, проекция которойF_xна ось хзадана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=lили времяt₁ движения груза от точкиАдо точкиВ, найти закон движения груза на участкеВС, т. е.х=f(t), гдех=BD.

Пример Д1.

На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на грузD массойт действуют сила тяжести и сила сопротивленияR; расстояние от точкиА, гдеυ=υ₀, до точкиВ равноl. На наклонном участкеВС на груз действуют сила тяжести и переменная силаF=F(t), заданная в ньютонах.

Дано:m=2 кг,R=υ²,где=0,4 кг/м,υ₀=5 м/с,l=2,5 м,Fx=16sin(4t).

Определить: х=f(t)-закон движения груза на участкеВС.

Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участкеАВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силыР=mg иR. Проводим осьАz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

Далее находим Р_z=Р=mg, R_z=-R=-υ², подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, чтоυ_z=υ, получим

Введем для сокращения записей обозначения

где при подсчете принято g=10 м/с². Тогда уравнение (2) можно представить в виде

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

По начальным условиям при z=0υ=υ₀, что даетС₁=ln(υ²₀-п) и из равенства (5) находимln(υ²-п) =-2kz+ln(υ²₀-п) или 1n(υ²-п)-ln(υ²₀-n)=-2kz. Отсюда

В результате находим

Полагая в равенстве (6) z=l= 2,5 м и заменяяk ип их значениями (3), определим скоростьυ_B груза в точкеВ (υ_о=5 м/с, числое=2,7):

2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скоростьυ_В будет для движения на этом участке начальной скоростью (υ₀=υ_В). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силыР=mg,N,F_тр иF. Проведем из точкиВ осиВх иBy и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на осьВх:

или

где F_тp=fN. Для определенияN составим уравнение в проекции на осьB_y. Так кака_у=0, получим 0=N-mgcos, откудаN=mgcos. Следовательно,F_тр=fmgcos; кроме того,F_x=16sin(4t) и уравнение (8) примет вид

Разделив обе части равенства на т, вычислимg(sin-fcos)=g(sin30°-0,2cos30°)=3,2;и подставим эти значения в (9). Тогда получим

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

υ_x=3,2t-2cos(4t)+C₂

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот моментt=0. Тогда приt=0υ=υ₀=υ_B, гдеυ_B даётся равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим

C₂=υ_B+2cos0=6,4+2=8,4

При найденном значении С₂уравнение (11) дает

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

x=1,6t²+8,4t+C₃

Так как при t=0х=0, тоС₃=0 и окончательно искомый закон движения груза будет

x=1,6t²+8,4t+0,5sin(4t)

где х-в метрах,t-в секундах.