Задача к 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. Задача к 1а.

Точка В движется в плоскостиху (рис. К 1.0 – К 1.9, табл. К 1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями:х=f₁(t), у=f₂(t), гдех иу выражены в сантиметрах,t– в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1 с, определить скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость х=f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимостьу=f₂(t)дана в табл. К 1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачахC1С 4, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра; а номер условия в табл. К 1-по последней.

Задача к 1б.

Точка движется по дуге окружности радиуса R=2 м по законуs=f(t), заданному в табл. К 1 в столбце 5(s – в метрах,t – в секундах), гдеs=AM – расстояние точки от некоторого началаА, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времениt₁=1 с. Изобразить на рисунке векторы υ и, считая, что точка в этот момент находится в положенииМ, а положительное направление отсчетаsотА кМ.

Пример К 1а. По заданным уравнениям движения точкиМв координатной форме определить: траекторию её движения в заданный момент времениt=1c, найти скорость и ускорение.

(см),

(см).

Решение:

1. Определим траекторию движущейся точки М.

Для получения уравнения траектории движущейся точки исключим из заданных уравнений параметр времени t:

,

.

Полученные уравнения возведем в квадрат и суммируем:

.

Таким образом,

.

Данное выражение представляет собой траекторию движущейся точки М– уравнение эллипса с центром в точке с координатами (9; -4). Построим траекторию в координатных осяхху(рис.9).

Укажем положение точки Мна траектории в заданный момент времени, для этого подставим времяt=1с, в уравнения:

см,

см.

Тогда точка Мс координаты (12; -1,4).

Для указания положительного отсчета по траектории определим положение точки Мв начальный момент времени приt=0 с.

см,

см.

Тогда точка М₀имеет координаты (15; - 4).

Точки МиМ₀принадлежат траектории эллипса, следовательно, решение верно.

Направление положительного отсчета по траектории идёт от точки М₀в момент времениt =0c, к точкеМ, когдаt =1 с (против движения часовой стрелки).

2. Определим скорость точки Мв заданный момент времениt.

Известно, что скорость можно разложить по проекциям на координатные оси:

.

Определим проекцию скорости точки Мна осьОх:

.

В заданный момент времени t =1 с, проекция скорости составит:

см/с.

Так, как V_x=10,9<0, то вектор скоростинаправлен из точкиМпараллельно осиОхв сторону отрицательных значенийх, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе скоростей, указанных на схеме.

Определим проекцию скорости точки Мна осьОу:

.

В заданный момент времени t =1 с, проекция скорости составит:

см/с.

Так, как V_y=3,14>0, то вектор скоростинаправлен из точкиМпараллельно осиОув сторону положительных значенийу, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор .

Геометрическая сумма векторов и(по правилу параллелограмма) представляет собой вектор скороститочкиМв заданный момент времени, этот вектор должен быть направлен по касательной τ к траектории движения (рис.10). Численное значение скорости можно измерить, согласно указанному масштабу для векторов скоростей, либо определить по теореме Пифагора (так как вектораивзаимно перпендикулярны):

см/с.

3. Определим ускорение точки Мв заданный момент времени t.

Известно, что ускорение можно разложить по проекциям на координатные оси:

.

Определим проекцию ускорения точки Мна осьОх:

.

В заданный момент времени t =1с, проекция ускорения составит:

см/с².

Так, как <0, то вектор ускорениянаправлен из точкиМпараллельно осиОхв сторону отрицательных значенийх, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе ускорений, указанного на схеме.

Определим ускорение скорости точки Мна осьОу:

.

В заданный момент времени t = 1с, проекция ускорения составит:

см/с².

Так, как <0, то вектор ускорениянаправлен из точкиМпараллельно осиОув сторону отрицательных значенийу, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор.

Геометрическая сумма векторов и(по правилу параллелограмма) представляет собой вектор ускоренияточкиМв заданный момент времени:

см/с².

Определим касательное ускорение точки Мв заданный момент времениt, зная проекции скорости и ускорения на оси координат:

см/с².

Так, как , то вектор ускорениянаправлен из точкиМпо касательной к траектории движения в сторону направления вектора скорости(движение точки будет ускоренным), данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений.

Определим нормальное ускорение точки Мв заданный момент времениt, зная полное и касательное ускорения:

см/с².

Вектор ускорения направлен из точкиМпо нормалипк траектории движения к центру кривизны траектории, данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений.

Так, как векторная сумма ускорений справедлива, то решение верно.

Определим радиус кривизны траектории в заданный момент времениcучетом нормального (центростремительного) ускорения в заданный момент времени:

см.

Пример К 1б. Точка движется по дуге окружности радиусаR=2 м по закону(s-в метрах,t-в секундах), гдеsAM (рис. К 1б). Определить скорость и ускорение точки в момент времениt₁=1 с.

Решение.

Определяем скорость точки:

При t₁=1 с, получи м/с.

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

При t₁=1 с, получим, учитывая, чтоR=2 м,

Тогда ускорение точки при t₁=1 с, будет:

Изобразим на рис. К 1б векторы иучитывая знакиυ₁иа_1и считая положительным направление отА кМ.