Прямолинейные образующие на поверхности гиперболического параболоида

Рассмотрим уравнение гиперболического параболоида:

для удобства сделаем замену иТогда уравнение запишется в виде

Разложим на множители:

Аналогично с предварительными соображениями получаем уравнения двух семей прямолинейных образующих гиперболического параболоида:

     и     

Теорема. На поверхности гиперболического параболоида лежат две  семьи прямых, которые имеют следующие свойства:

• через любую точку гиперболического параболоида проходит ровно одна прямая с каждой семьи ;

• любые две образующие из разных семей пересекаются;

• любые две прямые с одной  семьи является скрещивающимися;

• любые три прямые с одной  семьи параллельные некоторой плоскости.

Доказательство можно посмотреть в методичке.

Пример. Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости и пересекает гиперболический параболоидпо двум прямолинейным образующим. Найдите канонические уравнения этих образующих.

Запишем уравнение параллельной плоскости Найдем ее пересечение с гиперболическим параболоидом.

Эта кривая второго порядка распадается на пару прямых, которые пересекаются, если естьИтак плоскость, которую мы ищем, имеет уравнениеДве прямые, лежат в этой плоскости и является пересечением с параболоидом:

   и    

или    и   

Уравнения этих прямых в пространстве:

  и  

Найдем канонические уравнения. Для первой прямой:

Для второй прямой:

Касательная плоскость

Воспользуемся некоторыми знаниями по математическому анализу.

Если поверхность задана неявным уравнением - точка на ней, то есть то уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке:

Здесь - частные производные по соответствующей переменной в данной точке   Вектор  - вектор нормали к поверхности в точке 

Найдем уравнение касательной плоскости к эллипсоида

в точке принадлежащей эллипсоида.

Найдем частные производные:

Воспользуемся уравнением касательной плоскости к неявно заданной поверхности:

поскольку точка принадлежит эллипсоида.

Аналогично можно записать уравнение касательных плоскостей к другим поверхностям второго порядка в точке принадлежащей поверхности:

	уравнение поверхности	уравнение касательной плоскости
эллипсоидной
однополостный гиперболоид
двуполостные гиперболоид
эллиптический параболоид
гиперболический параболоид

  Заметим, что с эллипсоидом, двуполостные гиперболоидом и эллиптическим параболоидом касательная плоскость имеет единую общую точку  - точку касания и поверхность находится по одну сторону от касательной плоскости. Касательная плоскость пересекает однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид по паре прямолинейных образующих; поверхность находится по разные стороны от касательной плоскости.

Пример. Через прямую проведите плоскости, касаются двуполостные гиперболоидаи определите точки соприкосновения.

Плоскости, проходящие через прямую, образуют пучок плоскостей. Запишем его уравнения: Запишем уравнение касательной плоскости к двуполостные гиперболоида в неизвестной точкепринадлежащей поверхности:

Нужно найти такую ​​точку на поверхности, в которой касательная плоскость принадлежит пучка плоскостей есть:

Поскольку точка принадлежит поверхности, то

Итак касающиеся плоскости имеют уравнения

соответствующие точки соприкосновения 

Ортогональная диагонализации матрицы квадратичной формы

Рассматриваем евклидово пространство с ортонормированным базисомКаждому векторус координатамипоставим в соответствие матрицуразмераили вектор-столбецпо правилу:

Скалярное произведение двух векторов ив ортонормированном базисе можно записать в виде

где ивектор-столбцы, образованные из координат соответствующих векторов.

Рассмотрим линейное пространство вектор-столбцов (матриц размера).Зададим в этом пространствескалярное произведение по формуле

Будем говорить, что вектор-столбцы ивзаимно ортогональны, если

Напомним несколько определений.

Пусть - матрица размера Число называется  собственным числом матрицы если существует ненулевой вектор-столбец такой что 

Вектор-столбец называетсясобственным вектором матрицы соответствующий собственному числу

Число является корнем характеристического уравнениякоторое является многочленом степениотносительноКорни этого многочлена могут быть комплексными. Но еслисимметричная матрица () с действительными элементами, то ситуация упрощается.