Свойства симметричной матрицы

Матрица будет симметричной тогда и только тогда, когда для любых вектор-столбцоввыполняется

Действительно,

Утверждение. Если - симметричная матрица с действительными элементами размера тогда все собственные числа матрицы действительны.

Доказательство. Пусть - собственное число матрицы - вiдповидний собственный вектор, т.е.

Рассмотрим вектор-столбец с комплексно сопряженными координатами, принимая во внимание, что матрицаимеет действительные элементы ():

Итак, вектор-столбец является собственным вектором матрицысоответствующий собственному числуМы два равенства:

Поскольку матрица симметрична, то

Итак, имеем:

и так как то 

Утверждение. Собственные векторы симметричной матрицы соответствующие различным собственным числам взаимно ортогональны.

Доказательство. Пусть - различные собственные числа матрицы-собственные векторы, которые им соответствуют, то есть

Тогда, 

Отнимая, получаем

Поскольку  то 

Самосопряжённых оператор в евклидовом пространстве

Пусть  линейный оператор , которому в ортонормированном базисе отвечает матрица

Оператор называетсясопряженным к оператору если для любых вектороввыполняется

Выясним какая матрица соответствует сопряженное оператору. Если - матрица оператораа матрица- матрица сопряженного оператора то имеем

Итак сопряженных оператору соответствует транспонированная матрица .

Оператор называется самоспряжених , если самоспряжених оператору соответствует симметричная матрица 

Собственные числа матрицы - это собственные значения оператора и

где вектор-столбец соответствует вектору

Поскольку между линейными операторами и их матрицами в некотором базисе существует изоморфизм, то свойства собственных чисел и собственных векторов симметричной матрицы являются свойствами собственных чисел и собственных векторов самосопряжённого линейного оператора.

Утверждение.   Пусть  самосопряжённыхлинейный оператор , тогда все собственные числа действительны, а собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

Итак, если все собственные числа самосопряжённого линейного оператора разные, тогда в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора.

Действительно, мы имеем различных действительных собственных чисел, каждому из них соответствует ненулевой собственный вектор. Все собственные векторы между собой ортогональны, нормируем их и получаем орто \ -нор \ -мований базис

Остается вопрос, что происходит, если собственное число как корень характеристического полинома имеет кратность больше единицы? Оказывается, что размерность подпространства собственных векторов, соответствующих собственному числу равна кратности корняв характеристическом полиноме. Наша задача доказать, что для самосопряжённого оператора существуетортогональный базис из собственных векторов.

Напомним, что подпространство называется ортогональным дополнением подпространства подпространстваиобразуют прямую сумму

Лема. Пусть самосопряжённыхлинейный оператор , - инвариантный подпространство в отношении этого оператора, то естьтогда ортогональное дополнениетакже инвариантным подпространством относительно

Доказательство. По определениями ортогонального дополнения, инвариантного подпространства и самосопряжённого оператора имеем:

Итак, имеем

что означает, что есть инвариантным подпространством относительно 

Теорема . Пусть самосопряжённыхлинейный оператор , тогда в пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора

Доведения.   Все собственные числа самосопряжённого оператора действительны. Пусть - различные собственные числа кратность которых в характеристическом полиноме может быть больше единицы.

Пусть - соответствующие собственные подпространства (подпространства из собственных векторов). Доказано, что эти подпространства между собой ортогональны, так что они образуют прямую сумму.

Докажем, что

Предположим обратное

Подпространство состоит из собственных векторовследовательно он инвариантным подпространство водноосно этого оператора, по лемме ортогональное дополнение также инвариантным подпространством относительноРассмотрим ограничениясамосопряжённого линейного операторана инвариантный подпространство 

Два оператора иотличаются лишь областью определения. Итак оператортакже самосопряжённых, он действует на ненулевом пространстве, следовательно имеет хотя бы одно собственное число 

Но  значитявляется собственным числомоператора аявляется собственным вектороместьСиследует, что- противоречие. Итак,есть

В каждом из подпространств мы можем выбратьортогональный базис и получить ортогональный базис всего пространства Теорема доказана.

Так что для самосопряжённого оператора существует ортогональный базис из собственных векторов и матрица оператора в этом базисе имеет диагональный вид. Напомним, что матрица перехода (ее столбики- это координаты новых базисно их векторов) от ортонормированного базиса к ортонормированного является ортогональной:

Если - симметричная матрица самосопряжённого линейного оператора в некотором базисе, - матрица перехода к ортонормированного базиса из собственных векторов то в новом базисе мы диагональную матрицу 

Благодаря изоморфизма между линейными операторами и матрицами мы имеем такую ​​теорему.

Теорема. Для любой симметричной матрицы с действительными элементами размерасуществует ортогональная матрицатакая, что

где - диагонально матрица с действительными элементами.

Или короче, любая симметричная матрица ортогонально подобная диагональной .