Karpov_Panin_Matematicheskoe_modelirovanie_i_raschet_elementov_stroitelnykh_konstruktsiy2013

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

W

Рис. 4.5. График «нагрузка Р – прогиб W » для оболочки варианта III

На приведенных рисунках кривые с номером 1 соответствуют оболочке без ребер, кривые 2 – оболочке, подкрепленной шестью ребрами, 3 – оболочке, подкрепленной 18 ребрами. Кривые без индекса соответствуют прогибу в центре оболочек, с верхним индексом 1 – в четверти оболочки.

Какпоказалирасчеты, наличиеребервоболочкахсущественно понижаетвеличинуих прогиба.Приподкреплении оболочки18ребрамиснижение еепрогибовпосравнениюспрогибамиоболочкибез ребер при одной и той же нагрузке составляет для оболочек разных вариантов: варианта I – на 55 %, вариантаII –на 65 %, вариантаIII –

на 40 %.

Приведенный начальный модуль упругости железобетона Еm принимается в виде (см. параграф 1.9):

где As – площадь сечения арматуры в границах площади единицы длины сечения оболочки А; А – площадь единицы длины сечения

оболочки, A = h s ; s– размерячейки арматурной сетки; h – толщина оболочки.

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

Армирование железобетонныхоболочек толщиной до 5см, как правило, осуществляется одной сеткой; при толщине оболочки 5 см и более – сетками, расположенными в двух уровнях.

Например, при толщине железобетонной оболочки 3 см при одноуровневом расположении арматурной сетки из проволоки клас-

са Вр-I диаметром 3 мм (Es =1,7 105МПа) с размером ячейки сетки 100 мм приведенный модуль упругости железобетона составит (при бетоне класса В30 с Eb = 3,25 104 МПа).

Em = (0,071 10−4 17,0 +(0,03×0,1−0,071 10−4)3,25)104 =

0,03 0,1

= 3,283 104МПа.

При толщине оболочки 9 см и двухуровневом расположении арматурной проволочной сетки (Ж 4 мм, размер ячейки – 100 мм) условный приведенный модуль упругости железобетона составит:

Em = (2 0,13 10−4 17,0 +(0,09 0,1−2 0,13 10−4)3,25)104 =

0,09 0,1

= 3,294 104МПа.

Как следует из анализа полученных результатов, значение приведенного начального модуля железобетона Em незначительно пре-

восходит начальный модуль упругости бетона Eb . Соответственно,

для оценочного анализа НДС железобетонных оболочек можно впрограммном комплексе расчета оболочекзадаваться прочностными характеристиками бетона.

Дляанализапрочностибетонаоболочекприменяетсякритерий (условие прочности) Кулона – Мора

Главные напряжения σ1 и σ3 определяются в бетоне на верхней поверхности оболочки при z = −h /2. Обобщенный коэффициент запаса прочности принимается k = 2. Левая часть критерия Ку-

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

лона –Мораобозначаетсятак: σg = σ1 − Rbt σ3 ипредставляетсобой

Rb

максимальное рабочее напряжение в рассматриваемой точке. По результатам расчетов становится целесообразно строить графики

распределения (эпюры) таких напряжений σg по полю оболочек с це-

льюграфическойиллюстрацииизменениянапряженногосостоянияоболочек для различных величин нагрузок (см., например, рис. 4.6–4.10).

Для проведения анализа НДС оболочек значения Rb и Rbt для

бетона принимаются согласно табл. 4.4.

С использованиемформулыперехода к безразмернымпарамет-

рам для напряжения σ = a 2σ, определяются безразмерные значения

E

допускаемых напряжений σдоп для различных вариантов оболочек при разных классах бетона. Выборочные значения допускаемых напряжений σдоп приведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5

Безразмерныедопускаемыенапряжения дляразныхвариантов оболочек и разныхклассов бетона

Для оболочек вариантов I, II, IIIнаходим допускаемуюнагрузку qдоп из условия потери прочности бетона оболочек с использова-

нием формулы перехода qдоп = EPa 4доп . В табл. 4.6 представлены не-

которые результаты расчета допускаемой размерной нагрузки qдоп и допускаемой безразмерной нагрузки Рдоп (цифры в скобках) для

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

оболочек вариантов I, II, III при классах бетона В55, В40 и В30 соответственно [19].

Наоснованиианализарезультатоврасчетадопускаемойнагрузки (см. табл. 4.6) считаем обоснованными выводы о том, что наличие ребер жесткости оказывает существенное влияние на напряжен- но-деформированное состояние оболочек, приводит к увеличению значений допускаемых нагрузок на них, в сравнении с допускаемыми нагрузками на гладкие оболочки. Подкрепление оболочек ребрами жесткости позволяет значительно увеличивать несущую способность оболочек.

Так, увеличение допускаемых нагрузок на оболочки варианта I, подкрепленных шестью ребрами, составляет 75 %, на оболочки варианта II – 55 %, варианта III – 60 %. Аналогично, увеличение допускаемых нагрузок на оболочки при подкреплении их 18 ребрами составляет: для оболочек варианта I – 150 %, для оболочек варианта II – 222 %, для варианта III – 220 %.

Какпоказалипроведенныерасчеты,наличиеребервоболочках существенно понижает величину их прогиба. Например, при подкрепленииоболочки18 ребрамиснижение прогиба в центреоболочки, посравнению с прогибомоболочки без реберпри одной итой же величине нагрузки, составляет: для оболочек варианта I – 55 %,

II – 65 %, III – 40 %.

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

4.11.3. Анализ распределения прогибов и напряжений по полю оболочки

На рис. 4.6–4.8 представлены функции прогиба W

и σg = σ1 − Rbt σ3 (названные на рисунках функциями интенсивнос-

Rb

ти) для оболочки варианта I при соответствующих нагрузках (Р =10 000 соответствует q = 2,25 10−3 МПа, Р = 40 000 соответ- ствует q = 9 10−3 МПа, Р = 70 000 соответствует q =1,62 10−2 МПа, Р = 20 000 соответствует q = 4,5 10−3 МПа, Р =120 000 соответ-

ствует q = 2,8 10−2 МПа).

На рис. 4.6 представлены результаты расчета для гладкой оболочки, на рис. 4.7 – для оболочки, подкрепленной шестью ребрами, на рис. 4.8 – то же, подкрепленной 18 ребрами. Как видно из этих рисунков, максимум напряжений находится в угловых точках оболочки.

Рис. 4.6. Функции прогиба W и σg для гладкой оболочки варианта I

144

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

Рис. 4.7. Функции прогиба W и σg для оболочки варианта I с шестью ребрами

Рис. 4.8. Функции прогиба W и σg для оболочки варианта I с 18 ребрами

145

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Чтобы снизить напряжения в угловых точках, подкрепим оболочку двумя парами контурных ребер высотой 5h и шириной 12h. На рис. 4.9 представлены функции «W –σg »для оболочки вариантаI.

Из этого рисунка видно, что произошло не только перераспределение напряжений, но и существенное снижение уровня напряжений.

Рис. 4.9. Функции прогиба «W –σg » для оболочки варианта I с контурными ребрами шириной 12h

Какпоказалирасчеты, наличиеребервоболочкахсущественно влияет на ее НДС, повышает величину допускаемой нагрузки относительно оболочек без ребер. Например, при подкреплении оболочек 18 ребрами ее прогибы при одной и той же нагрузке снижаются от40до 65%относительнопрогибовоболочки безребер. Величины допускаемых нагрузок на ребристые оболочки повышаются от 150 до 220 % по сравнению с гладкими оболочками.

Таким образом, используя полученные результаты, можно подобрать соответствующую толщину проектируемой оболочки, размер и число подкрепляющих оболочку ребер, надлежащее армирование по полю оболочки.

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

Для достижения приемлемого времени расчета на ЭВМ одного варианта оболочек, не теряя существенно точности расчета, достаточно брать девять членов разложения перемещений в ряды, т. е.,

принимать N = 9 в формуле (4.48).

4.12. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при длительном нагружении

В результате развития деформаций ползучести материала во времени начинается бурный рост прогибов оболочек (в 10…15 раз превышающихпрогибыоболочекпри t = 0 ).Время,прикоторомэто

наступает, принимается за критическое время tкр.

На рис. 4.10, 4.11 представлены графики «W −t », полученные при различных значениях нагрузки для оболочки варианта I(о вариантах оболочек см. табл. 4.3).

На рис. 4.10 приведены зависимости «W (0,25;0,25)−t » для не подкрепленной ребрами оболочки. Кривая 1 соответствует нагрузке Р = 20 103, кривая 2 – нагрузке Р = 25 103 , кривая 3 – Р = 30 103 , кривая 4 – Р = 35 103 , кривая 5 – Р = 40 103.

На рис. 4.11 даются зависимости «W (0,5; 0,5)−t » для оболочки, подкрепленной 18 ребрами. Кривая 1 соответствует нагрузке Р = 50 103 , кривая 2 – нагрузке Р = 60 103 , кривая 3 – Р =80 103 , кривая 4 – Р =100 103 , кривая 5 – Р =120 103 .

1,5

1

0,5

0

t

Рис. 4.10. Зависимость «W (0,25;0,25) −t » для гладкой оболочки

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

2

1,5

1

0,5

0

t

Рис. 4.11. Зависимость «W (0,5;0,5)−t » для оболочки, подкрепленной 18 ребрами

На рис. 4.12 для нагрузки Р = 30 103 представлен характер изме-

нения во времени прогиба W и напряжения σg = σ1 − Rbt σ3 , обозна-

Rb

ченного как функция интенсивности напряжений, для неподкрепленнойребрамиоболочки. Нарис. 4.13представленыаналогичныерезультатыдляоболочки,подкрепленной18ребрами,принагрузкеР =80 103 .

Как видно из этих рисунков, при развитии деформаций ползучести материала оболочки со временем происходит не только рост прогибовинапряжений,ноиперераспределениенапряженийпополю оболочки. Так, например, максимум напряжений из угловых точек оболочки смещается по всему наружному контуру оболочки.

Для рассматриваемых тонких оболочек (h = 600a ) потеря прочности происходит при t > tкр.

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

T = 30

T = 70

T = 100

T = 118

Рис. 4.12. Функции прогиба W и σg для гладкой оболочки, при Р = 30 103

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

T = 20

T = 30

T = 40

T = 48

Рис. 4.13. Функции прогиба W и σg для оболочки, подкрепленной 18 ребрами, при Р =80 103

150

Кривая 1 на рис. 4.14 соответствует оболочке без ребер, кривая 2 – оболочке, подкрепленной 18 ребрами.

ДлянеподкрепленнойребрамиоболочкивариантаIIнарис.4.15 представленызависимости«W (0,5; 0,5)−t »,полученныеприразлич-

3

W 1,5

1

0,5

0

t

Рис. 4.15. Зависимости «W (0,5;0,5)−t » для гладкой оболочки варианта II

151

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

ных значениях нагрузки: кривая 1 соответствует нагрузке Р =1500, кривая 2− Р = 2000, кривая 3 – Р = 2500, кривая 4 – Р = 2700, кри-

вая 5 – Р = 2800. На рис. 4.16 – зависимости «W (0,25;0,25)−t » для оболочки, подкрепленной 18 ребрами.

3

5 4 3

2,5

2

2

W 1,5

1

1

0,5

0

t

Рис. 4.16. Зависимости «W (0,25;0,25)−t » для оболочки варианта II, подкрепленной 18 ребрами

На рис. 4.16 кривая 1 соответствует нагрузке Р = 4000, кривая 2− Р = 5000, кривая 3 – Р = 6000, кривая 4 – Р = 7000, кривая 5 –

Р =8000.

На рис. 4.17 при Р = 2500 представлен характер изменения во

времени прогиба W и напряжения σg = σ1 − Rbt σ3 , обозначенного

Rb

как функция интенсивности, для неподкрепленной ребрами оболочки. На рис. 4.18 представлены аналогичные результаты расчета при

Р = 6000 для оболочки, подкрепленной 18 ребрами.

Из рисунков видно, что и для варианта оболочки II при развитии деформаций ползучести бетона оболочки со временем происходит рост и перераспределение напряжений по полю оболочки. Для

варианта оболочки II потеря прочности произойдет при t < tкр (примерно при 0,75tкр).

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

T = 25

T = 40

T = 60

T = 66

Рис. 4.17. Функции прогиба W и σg для гладкой оболочки, при Р = 2500

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

T = 50

T = 130

T = 180

T = 206

Рис. 4.18. Функции прогиба W и σg для оболочки, подкрепленной 18 ребрами, при Р = 6000

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

В табл. 4.8 приведены зависимости «Р−tкр»для варианта оболочки II.

Для не подкрепленной ребрами оболочки варианта III на рис. 4.20 представлены зависимости «W (0,5; 0,5)−t », полученные при различных значениях нагрузок: кривая 1 соответствует нагрузке Р = 300, кривая 2 – Р = 350, кривая 3 – Р = 400, кривая 4 – Р = 500, кривая 5 – Р = 510.

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

3

2,5

4

W 1,5

1

0,5

0

t

Рис. 4.20. Зависимости «W (0,5;0,5)−t » для гладкой оболочки варианта III

На рис. 4.21 представлены зависимости «W (0,5; 0,5)−t » для оболочки, подкрепленной шестью ребрами. Кривая 1 соответствует

нагрузке Р = 450, кривая 2 – Р = 600, кривая 3 – Р = 700, кривая 4 –

Р =870, кривая 5 – Р = 970.

3

2

1

1,5

W

1

0,5

0

t

Рис. 4.21. Зависимости «W (0,5;0,5)−t » для оболочки варианта III, подкрепленной шестью ребрами

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

На рис. 4.22 представлены зависимости «W (0,5; 0,5)−t » для оболочки, подкрепленной 18 ребрами. Кривая 1 соответствует на-

грузке Р = 700, кривая 2 – Р =800, кривая 3 – Р = 900, кривая 4 – Р =1000, кривая 5 – Р =1400.

2

2

W 1,5

1

1

0,5

0

t

Рис. 4.22. Зависимости «W (0,5;0,5)−t » для оболочки варианта III, подкрепленной 18 ребрами

На рис. 4.23 при Р = 400 представлен характер изменения во

времени прогиба W и напряжения σg = σ1 − Rbt σ3 для неподкреп-

Rb

ленной оболочки.

На рис. 4.24 приведены аналогичные результаты расчета при Р = 700 для оболочки, подкрепленной 6 ребрами, а на рис. 4.25 –

результатырасчетапри Р = 900 дляоболочки,подкрепленной18ребрами.

Из рисунков видно, что и для варианта оболочки III при развитии ползучести материала оболочки со временем происходит рост и перераспределение напряжений по полю оболочек. Потеря проч-

ности происходит при t < tкр (примерно при 0,6tкр).

В табл. 4.9 приведены зависимости «Р−tкр» для оболочки варианта III.

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

T = 30

T = 70

T = 100

T = 125

Рис. 4.23. Функции прогиба W и σg для гладкой оболочки при Р = 400

158

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

T = 50

T = 130

T = 180

T = 200

Рис. 4.24. Функции прогиба W и σg для оболочки, подкрепленной шестью ребрами, при Р = 700

159