Karpov_Panin_Matematicheskoe_modelirovanie_i_raschet_elementov_stroitelnykh_konstruktsiy2013

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Физические соотношения при нелинейно-упругом деформировании материала конструкции на основе деформационной теории пластичности запишутся так [11, 14]:

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

Интенсивность деформаций можно представить в виде:

где b1 = ε2x + ε2y +εxεy + 14 γ2xy ;

b2 = 2εxχ1 + 2εyχ2 + εxχ2 +εyχ1 + γxyχ12 ;

b3 = χ12 +χ22 +χ1χ2 +χ122 .

4.6. Теория прочности хрупких материалов

Разработанонесколькотеорийпрочности, относящихсяк хрупкимматериалам[6,8,14].Какизвестно,характернымобразцомхрупкого материала является бетон.

Одна из теорий прочности хрупких материалов связана с главными напряжениями σ1,σ2 ,σ3 , которые задаются на трех взаимно

перпендикулярныхплощадках, на которыхкасательные напряжения равны нулю.

При сложном напряженном состоянии в каждой точке оболочкиизвестно напряженно-деформированное состояние, т.е. известны

напряжения σх,σу,τху. Главные напряжения можно найти из уравнения [14]:

Касательными напряжениями τxz ,τyz пренебрегают, ввиду их малости для тонких оболочек. Главные напряжения располагают в порядке убывания σ1 > σ2 > σ3 , одно из которых будет равно нулю.

Построение так называемых предельных поверхностей прочности и разрушения требует проведения для бетона большого количества довольно сложных экспериментов. Поэтому на практике используются критерии прочности – упрощенные гипотезы наступления предела прочности или разрушения при сложном напряженном состоянии. Они позволяют определить условия наступления текучести или разрушения при сложном напряженном состоянии на осно-

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

вании результатов испытания образцов при некоторых простейших напряженных состояниях (обычно – растяжении, сжатии, изгибе).

Любое сложное напряженное состояние σ1,σ2 ,σ3 приводится к эк-

вивалентному одноосному с напряжением σэкв.

Основываясь на анализе разных теорий прочности хрупких материалов, была выбрана наиболее подходящая для использования в программном комплексе расчета оболочек теория Кулона – Мора. В соответствии с ней условия прочности и условия разрушения для бетона (или критерии прочности и разрушения, соответственно) записываются в следующем виде [2]:

где σ1,σ3 − главныенапряжения(среднее главноенапряжение σ2 не учитывается, что составляет незначительный недостаток теории); Rb , Rbt – расчетные сопротивления бетона осевому сжатию и осевому растяжению, соответственно (призменные прочности); k – нор-

мативный коэффициент запаса прочности (k = 2...4).

В формулах (4.37), (4.38) используются номинальные напряжения (от «единых» нагрузок) и единый коэффициент запаса прочности. Целесообразно при расчетах конструкций подходить к выбору коэффициентов запаса прочности дифференцированно, как, например, в действующих нормах делается выбор коэффициентов надежности g. Так, если коэффициенты запаса прочности назначать для каждого вида нагрузок, можно получать расчетные напряжения

S 1 , S 2 , S 3 . Тогда условие прочности Кулона – Мора приобретает более универсальный вид [2, 28]:

где m – «коэффициент однородности», учитывающий естественный разброс прочности от среднего значения.

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

4.7. Приведенный модуль упругости железобетона

Бетон – хрупкий материал, по-разному сопротивляющийся сжатию и растяжению (причем это различие велико: прочность на сжатие в 10–30 раз превосходит прочность на растяжение). В железобетонныхконструкцияхбетонпреимущественноиспользуетсядля восприятия сжимающих напряжений. Поэтому за основную характеристику (эталон) прочностных свойств бетона принята его проч-

ность на осевое сжатие. Временное сопротивление сжатию σu эта-

лонных кубов принимают за кубиковую прочность бетона. Классами по какому-либо признаку называют среднестатичес-

кие значенияосновныхконтрольныххарактеристик бетона, задаваемых при проектировании. Различают следующие классы бетона:

В – по прочности на сжатие (кубиковая прочность);Bt – по прочности на осевое растяжение. Под классом бетона по прочности на сжатие понимаютсреднестатистическоезначениевременногосопротивленияBm

(в МПа) сжатию эталонных образцов (кубы 15 15 15 см), изготовленных и испытанных через 28 сут, в соответствии с ГОСТом [25, 26].

В зависимости от вида и условий работы железобетонных конструкций нормами установлены следующие классы бетона по прочности на сжатие: В7,5–В60 [25, 26]. Высокие классы бетона (В30–В60) особенно целесообразно использовать в элементах предварительно напряженных конструкций и конструкций, работающих главным образом на сжатие, так как в этих случаях достигается существенный экономический эффект.

Для оценочного анализа НДС железобетонных оболочек в программном комплексе расчета оболочек можно задаваться приведенным начальным модулем упругости железобетона Еm:

Em = Eb V V−Vs + Es VVs ,

где Еb – модуль упругости бетона; Еs – модуль упругости арматур-

ной стали.

Если переписать этуформулу через соответствующие площади сечения единицы длины оболочки (единичной полосы) и площади сечения арматуры в ней для какой-то плоскости оболочки, ортого-

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

нальной расположению рабочих стержней одного направления, получим более точное значение приведенного начального модуля упругости железобетона для этой плоскости:

Em = Eb A −AAs + Es AAs ,

где А – площадь единицы длины сечения оболочки; As – площадь

сечения арматуры в границах площади единицы длины сечения оболочки А.

4.8. О краевых условиях на контуре оболочки

Если в рассматриваемой задаче не нужно учитывать поперечные сдвиги, то уравнения равновесия (1.33) и функционал полной энергии деформации Э (1.27)будут содержать тринеизвестных функции U , V , W . На каждом краю оболочки задаются по четыре краевых условия: в перемещениях (геометрические условия) и усилиях (статические условия).

Если края оболочки опираются шарнирно неподвижно, то геометрические и статические краевые условия имеют вид:

при x = 0 и x = a U = V = W = 0; M x = 0;

при y = 0 и y = b U = V = W = 0; M y = 0 .

При жестком закреплении краев оболочки геометрические и статические краевые условия принимают вид:

при x = 0 и x = a U = V = W = 0; ∂∂Wx = 0; при y = 0 и y = b U = V = W = 0; ∂∂Wy = 0 .

4.9. Алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния пологих ребристых оболочек при учете нелинейности деформирования и ползучести бетона

Уравнения равновесия пологих ребристых оболочек с учетом нелинейности деформирования и развития деформаций ползучести представляют собой громоздкую систему интегро-дифференциаль-

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

ных уравнений восьмого порядка. Решение поставленной задачи вызывает существенные математические трудности.

Так как в функционале полной энергии деформации оболочки порядок производных искомыхфункций вдва раза ниже, чемв урав-

ненияхравновесия,токфункционалам Э= Эy −Эп или Э= Эy −Эc ,

записанным в безразмерных параметрах, применяется метод Ритца и находится система нелинейных алгебраических или интегроалгебраических уравнений. Нелинейность уравнений заключается в том, что напряжения нелинейно зависят от деформаций.

Применяется методика решения задачи, основанная на методе итераций [18]:

для уточнения начального упруго-линейного решения и получения нелинейно-упругого решения при каждом значении параметра нагрузки;

для нахождения деформаций ползучести при каждом значении параметра нагрузки и известном начальном решении линейноупругой задачи при последовательном изменении времени t.

4.9.1. Функционал полной энергии деформации пологой ребристой оболочки в безразмерных параметрах при учете нелинейности деформирования и ползучести бетона

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

Эc = ∫∫1 1 ∫t {[(1+ F )(εx2 + a1ε2y + a2εxεy )+

00 t0

+S (2εxχ1 + a2εx χ2 + a2χ1εy + a6χ2εy )+

+1 + J (χ2 + a χ2 + a χ χ )]R (t,τ)+

12 1 1 2 2 1 2 1

Запишем размерные параметры Ik в виде: