Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Karpov_Panin_Matematicheskoe_modelirovanie_i_raschet_elementov_stroitelnykh_konstruktsiy2013

.pdf

Скачиваний:

338

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Приравнивая полученную вариацию к нулю, придем к выражению (2.37). Данный результат известен как вариационный принцип Лагранжа: среди всех возможных перемещений, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, действительные перемещения приводят к стационарности полной потенциальной энергии:

δЭ = 0.

(2.42)

При решении нелинейно-упругих задач применяется итерационный процесс метода упругих решений А. А. Ильюшина. При этом на каждой итерации решается линейно-упругая задача с добавочными членами в уравнении равновесия, и в выражениях для напряже-

ний (2.23), (2.28), (2.30) величина ω(εi ) считается известной. Тогда

для выполнения принципа возможных перемещений полную энергию деформации следует задавать:

для стержня

				l	h /2		l
		Э =	1	∫	∫(σ	Уx −σПx	)εxz dxdz − ∫q(x)wdx;	(2.43)
			2	0 −h /2			0
				0 −h /2			0
	для пластины и оболочки
Э =	1	∫∫a b h∫/2[(σУx	−σПx )εxz			+(σУy	−σПy )εzy + (τУxy − τПxy )γxyz	]dxdydz −
	2	0 0 −h /2
		0 0 −h /2
						a b
					− ∫∫q(x,y)wdxdy .			(2.44)
						0 0

При решении задачи ползучести в уравнениях равновесия будут присутствовать интегральные члены. Решение интегральных уравненийвызываетбольшиесложности.Чтобыизбежатьэтого,вре-

меннойинтервал [t0 ,tk ] разбиваетсянаэлементарныеотрезки [t j −1,t j ]

j =1,2, ,k длиной t j −t j−1 = ∆t =1 сут. Временные интегралы в выражениях для напряжений (2.34), (2.36) заменяют приближенной

b	k
формулой метода прямоугольников ∫ f (x)d x ≈ ∑ f (x j−1) ∆x,
a	j=1

Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...

t	k
σС(tk ) = ∫Eε(τ)R1(t,τ)dτ = ∑Eε(t j −1)R1		(tk ,t j −1)∆t .
t0	j =1

Прирешениизадачиползучестиприменяетсяитерационныйпроцесс по временной координате и на k-й итерации величины ε(t0 ), ...,

ε(tk −1)считаются уже известными. Тогда в соответствии с принципом возможных перемещений выражение полной энергии деформации в момент времени tk принимают в виде

для стержня

Э(tk ) =	1	∫l h∫/2(σУx (tk )εxz	(tk )−2σСx (tk )εxz (tk ))dxdz − ∫l q w dx ; (2.45)
	2	0 −h /2	0
		0 −h /2	0

для пластины и оболочки

Э(tk ) = 12 ∫∫a b h∫/2[(σУx (tk )− 2σСx (tk ))εzx (tk )+(σУy (tk )− 2σСy (tk ))εzy (tk )+

0 0 −h /2

+ (τУxy (tk )−2τСxy (tk ))γxyz (tk )]dV − ∫∫a b q(x, y)wdxdy .	(2.46)
0 0

Принцип минимума полной энергии деформации конструкции положен в основу вывода уравнений равновесия и приближенных методоврасчетаэлементовконструкцийсучетомразличныхсвойств материала.

2.8. Уравнения равновесия

2.8.1. Линейно-упругие задачи

Функционал полной энергии деформации стержня, находящегося под действием распределенной нагрузки q(x) [МПа], для ли- нейно-упругой задачи имеет вид (2.38), или с учетом (2.6), (2.13)

	1	l	l
Э =	1	∫EIχ2 dx −∫qwdx .		(2.47)
	2	0	0
		0	0

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Найдем первую вариацию и приравняем к нулю

l	l
δЭ = ∫EI χδχ dx −∫qδw dx = 0 .		(2.48)

Преобразуем первый0 интеграл в0(2.48), дважды интегрируя по частям и заменяя χ на − w′′ по формуле (2.7):

∫EI χδχ dx =

l				l
= ∫EI w′′δw′′ dx =[EI w′′δw′]l0 −∫EI w′′′δw′ dx =
0				0
= [EI w′′δw′]l0 −[EI w′′′δw]0l				l
= [EI w′′δw′]l0 −[EI w′′′δw]0l				+ ∫EI w(4)δw dx .
				0
В результате уравнение (2.48) принимает вид
l	d 4w				l	l	= 0 . (2.49)
∫ EI	dx	4	− q δw dx +[EI w′′δw′]		0	−[EI w′′′δw]0	= 0 . (2.49)
0	dx

Так как δw – произвольные (не могут равняться нулю на отрезке [0; l]), то выражение, стоящее под знаком интеграла в скобках, должно равняться нулю:

EI	d 4w		−q = 0	,
	dx4
или

				d 2 M	+q = 0,	(2.50)
				dx2
где M равно (2.18).

Из равенства нулю оставшихся членов уравнения (2.49) полу-
чают краевые условия на концах стержня при x = 0 и x =l :
EI w′′		= 0 или w′ = 0;

EI w′′′ = 0 или w = 0 .

Будемрассматривать два способа закрепленияконцовстержня: 1) жесткая заделка

w(0) = 0, w(l) = 0 , w′(0) = 0, w′(l) = 0;

(2.51)

Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...

2) шарнирное закрепление
w(0) = 0, w(l) = 0, w′′(0) = 0, w′′(l) = 0.	(2.52)

Полная энергия деформации прямоугольной пластины при изгибе имеет вид (2.39), где εzx , εzy , γzxy имеют вид (2.8), (2.9). Выраже-

ние потенциальной энергии деформации пластины можно представить в виде

1 a b

∂2w h /2

= −

∫∫

∂x

∫σx zdz +

∂y

∫σy zdz +

0 0

−h /2

∂

h /2

+ 2

τxy zdz + 2qw dxdy =

∂x∂y

−h∫/2

1 a b

∂2w

= −

∫∫ M x

+ M y

+ 2M xy

+ 2qw dxdy . (2.53)

∂x

∂y

∂x∂y

0 0

Здесь учтено, что напряжения σx , σy , τxy , τyx создают изгиба-

ющие M x , M y и крутящие M xy , M yx моменты (2.19).

Выведемуравненияравновесия,исходяизвариационногопринципаЛагранжа,длячегонайдемпервуювариациюфункционала(2.53) и приравняем ее к нулю:

a b	2	w2		2	w2		2	w
δЭ = −∫∫ M xδ	∂		+ M yδ	∂		+ 2M xyδ	∂		+ qδw dxdy = 0	. (2.54)
							∂x∂y
0 0	∂x			∂y

Полученноеуравнение нужнопреобразоватьтак,чтобы подзнаком двойного интеграла не было вариаций от производных функций

w(x,y). Для этого применяем формулы интегрирования по частям:

a b

∂2 w

∂w

x=a

a b

∂M

∂w

∫∫M xδ

∂ 2

dxdy = ∫M x δ

∂x

dy −∫∫

∂x

dxdy =

∂x

0 0

x=0

0 0

∂w

x=a

∂M

x=a

a b

∂2M

= ∫M x δ

dy −∫

δw

dy + ∫∫

δw dxdy ,

∂x

x=0

∂x

x=0

∂x

0 0

a b

∂2 w

∂w

y=b

a b

∂M y

∂w

∫∫M yδ

dxdy = ∫M y δ

dx −∫∫

dxdy =

∂x

∂y

y=0

∂y

0 0

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

∂w

y=b

a ∂M y

y=b

a b

∂2M y

= ∫M y

dx −∫

δw

dx ++∫∫

δw dxdy,

∂y

y=0

0 0

a b

∂2w

∂w

x=a

a b

∂M xy

∂w

∫∫M xyδ

dxdy = ∫M xy δ

dy − ∫∫

dxdy =

∂x∂y

∂y

∂x

∂y

0 0

x=a

y=b

∂M xy

x=a

= M xyδw

−

∫

δw

dy −

x=0

y=0

∂y

x=0

y=b

∂M xy

a b

∂2M xy

−∫

δw

dx + ∫∫

δw dxdy,

∂x

∂x∂y

y=0

0 0

y=b

∂M xy

a b

∂2w

∂w

a b

∂w

∫∫M xyδ

dxdy = ∫M xy δ

dx −∫∫

dxdy =

∂x∂y

∂x

y=0

∂y

∂x

0 0

x=a

y=b

∂M xy

y=b

= M xyδw

−

∫

δw

dx −

x=0

y=0

∂x

y=0

x=a

∂M xy

a b

∂2 M xy

−∫

δw

dy + ∫∫

δw dxdy.

∂y

∂x∂y

x=0

0 0

После подстановки полученных равенств в (2.54) и преобразования, получаем:

a b

∂2M

∂2M y

∂2M xy

δЭ = −∫∫

2 x +

+ 2

+ q δwdxdy +

∂x

∂y

∂x

∂y

0 0

∂M x

∂M

∂w

x=b

+ 2

δw − M

∂y

∂x

∫

∂x

x=0

∂M y

∂M xy

∂w

y=a

x=a

y=b

∫

+ 2

δw −M yδ

dx −2M xyδw

= 0. (2.55)

∂y

∂x

∂y

y=0

x=0

y=0

Так как вариации δw произвольные и не равны нулю в области 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b, получаем уравнение равновесия пластины:

Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...

∂2M

x +

∂2M y

+ 2

∂2M xy

+ q = 0

(2.56)

∂x2

∂y2

∂x∂y

или с учетом (2.19) и (2.9)

∂4w

∂4w ∂4w

+ 2

= q .

∂x

∂y

2 +

∂y

(2.57)

Из равенства нулю одномерных интегралов в (2.55) приходим

к краевым условиям на контуре плиты:

при x = 0 , x = a

∂M

x + 2

∂M xy

= 0 или w = 0

;

∂x

∂y

M x = 0 или ∂∂wx = 0; при y = 0 , y = b

∂M∂xy +2 ∂M∂xxy = 0 или w = 0;

M y = 0 или ∂∂wy = 0.

Кроме того, в угловых точках контура

M xy = 0 или w = 0.

В работе в качестве граничных будем рассматривать два вида условий:

1) жесткая заделка

при x = 0, x = a w = 0,			∂w			= 0;
			∂x
при y = 0,	y = b w = 0 ,			∂w		= 0.		(2.58)
				∂y

2) шарнирно-неподвижная опора
при x = 0,	x = a w = 0 ,		∂2w				= 0	;
			∂x		2

при y = 0,	y = b w = 0 ,	∂2w					= 0.	(2.59)
			∂y2

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Рассмотрим далее пологие оболочки малого прогиба, находящиеся под действием поперечной нагрузки q(x, y) (рис. 2.7).

Для пологих оболочек деформации в срединной поверхности принимают вид [5]

ε x

∂u −k x w ;

∂x

ε y

∂v −k y w ;

∂y

γxy = ∂u

+ ∂v .

(2.60)

∂y

∂x

Деформации в слое,

отстоящем на z

от срединной поверхно-

сти, имеют вид (2.11), где

χ = −∂2w ,

χ2 = −

∂2w

, χ = −

∂2 w

(2.61)

∂x2

∂y

∂x∂y

Вводя усилия и моменты (2.20), функционал полной энергии

деформации для оболочки (2.39) можно записать в виде

Э = П− А=

1 a b

{[ε x N x +ε y N y + γ xy N xy +

2 ∫∫

0 0

+ χ1M x +χ2M y + 2χ12M xy ]}dxdy.

(2.62)

Исходя из принципа возможных перемещений, вариационное

уравнение для этого функционала будет иметь вид

δЭ = ∫∫a b {[Nxδεx + N yδεy + Nxyδγxy + M xδχ1 + M yδχ2 + 2M xyδχ12 ]−

0 0

−qδw}dxdy = 0.

(2.63)

Преобразуя уравнения (2.63) (применяем дважды интегрирова-

ние по частям) и учитывая (2.60), (2.61), получим

a b

∂N

∂Nxy

∂N y

∂Nxy

∂y

∂x

δЭ = −∫∫

∂x

δu + ∂y +

δv +

0 0

Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...

∂2M

∂2M xy

∂2M y

+ k

x + 2

+ q

δw dxdy +

∂x2

∂x∂y

∂y2

+ ∫ Nxδu + N xyδv

+ ∫ N yxδu + N yδv

	∂M	x		∂M xy		∂w x=a
			+2		δw −M xδ		dy +

+	∂x			∂y
						∂x x=0
∂M y				∂M xy		∂w y=b
			+2		δw − M yδ		dx −

+	∂y			∂x
						∂y y=0

− M xyδw	x=a	y=b	(2.64)


	x=0	= 0.
		y=0

Приравнивая сомножители при δu , δv , δw в двойном интеграле нулю, получим уравнения равновесия [5]

∂N

x +

∂N xy

= 0

;

∂y

∂x

∂N y

∂Nxy

= 0

;

∂y

∂x

kx Nx +ky N y +

∂2 M

∂2M xy

∂2M y

+q = 0 .

(2.65)

∂x2

∂x∂y

∂y2

Из равенства нулю одномерных интегралов получим краевые условия на контуре оболочки:

при x = 0, x = a

Nx = 0 или u = 0 ; Nxy = 0 или v = 0;

∂M∂xx +2 ∂M∂yxy = 0 или w = 0; M x = 0 или ∂∂wx = 0; при y = 0, y = b

Nxy = 0 или u = 0; N y = 0 или v = 0 ;

∂M∂yy +2 ∂M∂xxy = 0 или w = 0; M y = 0 или ∂∂wy = 0 .

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Такимобразом,есликраяоболочки,например,закрепленышар- нирно-неподвижно, то

при x = 0, x = a u = v = w = 0 , M x = 0;

при y = 0, y = b u = v = w = 0 , M 2 = 0.

2.8.2. Нелинейно-упругие задачи

Получим уравнения равновесия на основе принципа возможных перемещений при учете физической нелинейности для стержня плиты и оболочки [11].

Для стержня физические соотношения имеют вид (2.23). Интегрируя напряжения по z в пределах от − h /2 до h /2, получим изгибающий момент в виде

M = M У − M П = EIχ− EI

)χ,

(2.66)

χ = E(I − I

где

I = h3 , I

h /2

= ∫z2ω(εi )dz .

(2.67)

−h /2

Для функционала полной энергии деформации стержня, нахо-

дящегося под действием поперечной нагрузки q(x)

(2.43), с учетом

(2.66) будет справедливо выражение

Э = 1

h /2

∫

∫(σУx εxz

−σПx εxz )dxdz − ∫q(x)wdx =

0 −h /2

∫l (EI χ2

− EI

χ2 )dx −∫l

q(x)wdx .

(2.68)

Если при варьировании величина I не изменяется, то вариационное уравнение примет вид

δЭ = ∫l ((EIχ− EIχ)δχ−q(x)δw)dx =

= ∫l ((M У − M П)δχ− q(x)δw)dx = 0.

Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...

Преобразуя это вариационное уравнение двукратным интегрированием по частям и приравнивая сомножитель при δw в интегральном члене к нулю, приходим к уравнению

d 2 M	+q = 0	,	(2.69)
dx2

где M имеет вид (2.66).

Дляплитыизнелинейно-упругогоматериала(работающейтоль- ко на изгиб) моменты можно представить в виде

Mx = MxУ −MxП, M y = M yУ − M yП, M xy = M xyУ − M xyП , (2.70)

где MxУ, M yУ, M xyУ определены формулами (2.19), а моменты, соот- ветствующие пластическим деформациям, равны

M П =

(χ +µχ

)

;

1−µ2

M ЯП =

(χ

+µχ )

;

1−µ2

M П

(2.71)

1+µ

12 .

Здесь через I обозначен интеграл (2.67).

Функционал полной энергии деформации Э при изгибе прямоугольнойпластины(2.44)сучетом(2.70)можнопредставитьввиде

Э= 1 ∫∫a b ((M xУ − M xП )χ1 + (M yУ − M yП )χ2 +

2 0 0

+ 2(M xyУ − M xyП )χ12 −2qw)dxdy.

(2.72)

Исходя из принципа минимума функционала полной энергии деформациииучитывая, чтовеличина I неизменяетсяприварьировании деформаций, получим уравнения равновесия в том же виде, как и для линейно-упругих задач (2.56), но с учетом (2.19) и (2.71) моменты будут иметь вид (2.70).

Для оболочек, когда физические соотношения принимают вид

σx =σУx −σПx , σy = σУy −σПy , τxy = τУxy −τПxy ,

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

где составляющие с индексом с индексом «у» имеют вид (2.15), а составляющие с индексом «п»имеют вид (2.30), усилияи моменты можно представить в виде

Nx = NxУ − NxП, Ny = NyУ − NyП, Nxy = NxyУ − NxyП ;

M x = M xУ −M xП, M y = M yУ − M yП, M xy = M xyУ − M xyП , (2.73)

где составляющие с индексом «у» имеют вид (2.28), а составляющие с индексом «п» записываются в виде

N П

(ε

+µε

)+ I

(χ +µχ

)]

1−µ2

;

N П =

(ε

+µε

)+ I

(χ

+µχ )];

1−µ2

N П =

[I γ

+ 2I

];

2(1+µ)

2 12

M П =

(ε

+µε

)+ I

(χ +µχ

)];

1−µ2

M П =

(ε

+µε

)+ I

(χ

+µχ )];

1−µ2

+ 2I χ ]

(2.74)

2(1+µ)

3 12 .

Здесь

h /2

∫zk −1ω(εi )dz , k =1, 2,3.

(2.75)

−h /2

Функционал полной энергии деформации оболочки (2.44) после интег-

рирования по z

в пределах от − h /2

до h /2

в усилиях и моментах будет

иметь вид

Э = 1

∫∫a b

{[(NxУ

− NxП )εx + (N yУ − N yП )εy +(NxyУ − NxyП )γxy +

0 0

− 2qw }dxdy .

+ (M xУ − M xП )χ1 + (M yУ − M yП )χ2 + 2(M xyУ − M xyП )χ12 ]

(2.76)

Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...

Находя первую вариацию функционала (2.76) (с учетом, что величины Ik неменяютсяприварьированиидеформаций)иприрав-

нивая ее нулю, получим уравнения равновесия в усилиях и моментах такого же вида, как и для линейно-упругих задач (2.65), но усилияимоментыбудутзаданыравенствами(2.73)сучетом(2.28),(2.74).

2.8.3. Задачи ползучести

Для стержня, когда физические соотношения при учете ползучести материала имеют вид (2.33), (2.34) изгибающий момент равен

M = M У − M С,

(2.77)

где M У имеет вид (2.18), а M С имеет вид [10]

t
M C (t) = EI ∫χ(τ)R(t,τ)dτ.	(2.78)

Если применяется итерационныйt0 процесс по временной координате t , то и отрезок интегрирования [t0 , t] разбивается на части

точками t0 , t1, …, tk , …с шагом ∆t = t j −t j −1 =1 сут, можно приближенно записать

k
M C (tk ) = EI ∑χ(t j −1)R1	(tk ,t j −1)∆t .	(2.79)

j =1

Функционал полной энергии деформации стержня при длительном нагружении и учете ползучести материала (2.45) после интегри-

рованияпоz в пределах от− h /2 до h /2 и с учетом (2.77), примет вид

		l	l
Э(tk ) =	1	∫(M У(tk )−2M C (t j −1))χ(tk ) dx − ∫q wdx ,
	2	0	0
		0	0
		j =1,2, ,k .	(2.80)

Используя правила вариационного исчисления, найдем и приравняем нулю первую вариацию функционала (2.80).

l	l
δЭ(tk ) = ∫(M У(tk )−M C (t j−1))δχ(tk )dx −∫q δw(t)dx = 0 .
0	0

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

После преобразованияэтого вариационногоуравнения (применяем два раза интегрирование по частям) получим уравнение равновесия в виде (2.50), где момент M задан формулой (2.77).

Аналогично, уравнения равновесия в усилиях и моментах для плит и оболочек не будут зависеть от проявляемых свойств материала и будут иметь тот же вид, что и для линейно-упругих задач, с учетом изменений в выражении усилий и моментов.

Так, для рассматриваемой плиты уравнение равновесия будет иметь вид (2.57), где

M x = M xУ −M xС, M y = M yУ − M yС, M xy = M xyУ − M xyС . (2.81)

Здесь M xУ, M yУ, M xyУ совпадают с (2.19), составляющие M xС, M yС, M xyС принимают вид

Eh3

(t j −1))R1(tk

M x

(t j −1)

+µχ

,t j −1)

∆

12(1

−µ

∑(

) j =1

M C

Eh3

k (χ

j −1

)+µχ

j −1

))R (t

j −1

)∆t ,

12(1

−µ

∑

) j =1

M xyC =

∑χ12

(t j −1)R2 (tk ,t j −1)∆t .

(2.82)

12(1+µ)

j =1

Дляоболочкиуравненияравновесиябудутиметьвид(2.65), где

Nx = NxУ − NxС, Ny = N yУ − N yС, Nxy = NxyУ − NxyС ;

M x = M xУ −M xС, M y = M yУ − M yС, M xy = M xyУ − M xyС . (2.83)

Здесьсоставляющиесиндексом«У»имеютвид(2.20),асоставляющие с индексом «С» можно представить в виде

N C =

(ε

)+µε

))R (t

)∆t

∑

j −1

;

1−µ

j =1

N C =

(ε

)+µε

))R (t

)∆t

∑

j −1

;

1−µ

j =1

Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...

NxyC =

∑γxy (t j −1)R2

(tk ,t j −1)∆t ;

2(1+µ)

j =1

M C =

Eh3

(χ (t

)+µχ

))R (t

)∆t ;

∑

j −1

12(1−µ

)

j =1

M C =

Eh3

(χ

)+µχ

))R (t

)∆t ;

∑

j −1

12(1−µ

)

j =1

M xyC =

∑χ12 (t j −1)R2 (tk ,t j −1)∆t .

(2.84)

12(1+µ) j =1

2.9.Критерии прочности

Впрактических расчетах инженерных конструкций на прочность основным и наиболее распространенным является метод расчета по допустимым напряжениям, при этом максимальное рабочее напряжение не должно превышать определенной величины, свойственной данному материалу и условиям работы конструкции [27]:

σmax < σnL ,

где σL – некоторое предельное для данного материала напряжение,

n –некотороечисло, большееединицы,называемоекоэффициентом запаса прочности.

Величина [σ]= σnL называется допускаемым напряжением.

Для того чтобы избежать в работающей конструкции образованиязаметных остаточных деформаций, за величину σL для пластич-

ных материалов принимается обычно предел текучести σт [27]. При сложном напряженном состоянии в каждой точке конст-

рукции при заданной нагрузке находится σx ,σy ,τxy ,τxz ,τyz .

Некоторые теории прочности основаны на главных напряжениях σ1,σ2 ,σ3 , которые находятся на трех взаимно перпендикулярных площадках, на которых касательные напряжения равны нулю.

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Главные напряжения можно найти, решив уравнение

σ 3 −(σ x +σ y )σ 2 +(σ x σ y −τ 2xy −τ 2xz −τ 2yz )σ−

−(2τyz τxz τxy −σxτ2yz

−σy τ2xz )= 0.

(2.85)

Это уравнение в общем случае имеет вид

σx −σ

τxy

τxz

= 0.

τyx

σy −σ

τyz

(2.86)

τzx

τzy

σz

−σ

В теории оболочек принимается σz = 0.

Для решения уравнения (2.85) применяется подстановка

σ = x + a1

(2.87)

и тогда уравнение (2.85), которое кратко запишем в виде

σ3 −a σ2 + a

σ−a

= 0,

переходит в уравнение

x3 +3 px +2q = 0,

(2.88)

где

p =

a2 −

q = −

a a

−

Корни уравнения (2.88) будут действительными, если будет

выполняться условие

p3 + q2 < 0 .

Корни уравнения (2.88) представим в виде

x1 = 2

cosϕ,

x2 = 2

cos(ϕ+120°),

(2.89)

x3 = 2

cos(ϕ−120°),

где

ϕ = 1 arccos

−q

Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...

После этого находят σi = xi + 13 a1 и располагают их в следую-

щем порядке: σ1 < σ2 < σ3 .

Различают критерии прочности для хрупкого и пластичного материала.

Для хрупкого материала (бетон) может быть использован критерий Кулона – Мора, по которому условием прочности является неравенство

σ −	Rp	σ	3	≤	Rp	,	(2.90)

1	Rc				k

где Rp , Rc –призменнаяпрочностьбетонанарастяжение(Rp =2 МПа)

и сжатие (R c = 30 МПа);k –коэффициентзапасапрочности(k = 2 ÷5). Для пластичных материалов критерии прочности основаны на

установлении предельного упругого состояния. Может быть использован следующий критерий:

σ1 −σ 3	≤	σ T	,	(2.91)
		k

где в дополнение к уже введенным обозначениям σ T – предел текучести материала.

Втабл. 2.1 приведены для некоторых материалов значения σ T

иE , взятые из работы [2].

		Таблица 2.1

Материал	σ T , МПа	E , МПа
Сталь малоуглеродистая	250	2,1 105
Сталь 30 незакаленная	330	2,1 105
Сталь 30 закаленная	1030	2,1 105
Сталь 40 ХНВ закаленная	1720	2,1 105
Титан технический	520	1,1 105
Алюминий	50	0,7 105
Дюраль	340	0,75 105
Текстолит	75	0,03 105

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Дляпластичныхматериаловудобноприменятьэнергетический критерий прочности, связанный с энергией искажения формы (пол-

ная энергия Э разбивается на Эо – энергию изменения объема

и Эф – энергию изменения формы, т. е. Э=Эо +Эф). Энергия изменения формы может быть записана в виде

Эф =121G [(σx −σy )2 +(σy −σz )2 +(σz −σx )2 +6(τ2xy + τ2xz + τ2yz )].

Энергетический критерий приводит к критерию Мизеса – Хубера – Генки

σi ≤	σT ,	(2.92)
	k

где σi – интенсивность напряжений, вычисляемая по формуле

σi =

σ2x −σxσy +σ2y +3(τ2xy +τ2xz +τ2yz ).

(2.93)

Глава 3. АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ УЧЕТЕ РАЗЛИЧНЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА

3.1. Вариационные методы расчета элементов строительных конструкций

Математические модели, используемые при расчете НДС строительных конструкций, описаны в главе 2. Рассмотрим здесь только два метода: метод Ритца, позволяющий найти неизвестные функции перемещений из условия минимума функционала полной энергии деформации, и метод Бубнова – Галеркина, применяемый для решения уравнений равновесия. Оба эти метода дают практически совпадающие решения поставленных задач, но метод Ритца проще в реализации, так как в функционале полной энергии деформации порядокпроизводныхискомыхфункцийвдваразаниже,чемвуравнениях равновесия.

3.1.1. Метод Ритца

Рассмотрим функционал энергии

a b
J = ∫∫Φ(u(x, y),v(x, y),w(x, y)) dxdy .	(3.1)
0 0

Требуется найти минимум функционала (3.1), т. е. найти функции u(x, y), v(x, y), w(x, y) , заданные в некоторой области D ={0 ≤ x ≤ a;0 ≤ y ≤ b}, удовлетворяющие некоторым однородным

краевымусловиям на границе Γ, прикоторых функционал(3.1)имеет минимальное значение.

Приближенное решение поставленной задачи будем искать в виде

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

N N
u(x,y) = uN = ∑∑cij(1)ϕi(1)ψ(j1)		,
i=1 j=1
N N
v(x,y) = vN = ∑∑cij(2)ϕi(2)ψ(j2)			,
i=1 j=1
N N	(j3) .
w(x,y) = wN = ∑∑cij(3)ϕi(3)ψ	(j3) .
i=1 j=1

Чтобыизбежатьдвухиндексов,представимперемещенияввиде:

N
U (x, y) = ∑U (I )X1(I )Y1(I );
I =1
N
V (x,y) = ∑V (I )X 2(I )Y 2(I);	(3.2)

I =1

W (x, y) = ∑W (I )X 3(I )Y3(I ).

I =1

Здесь U (I ), V (I ), W (I ) – неизвестные числовые параметры;X1(I), X 2(I), X 3(I)– известные аппроксимирующие функции переменной x ,удовлетворяющиепри x = 0, x = a заданнымкраевым условиям; Y1(I ), Y 2(I ), Y3(I )– известные аппроксимирующие функции переменной y , удовлетворяющие при y = 0, y = b заданным

краевымусловиям.Функции X1(I )− X 3(I), Y1(I ) −Y 3(I) называют- ся базисными функциями.

Подставляя (3.2) в (3.1) и выполняя интегрирование от известных функций, сведем функционал (3.1) к функции

J = J (U (I ), V (I ), W (I ))

(3. 3)

параметров U (I), V (I), W (I),I =1, ,N .

Чтобы функция (3.3) имела минимум, ее частные производные попеременнымU (l),V (l),W (l),l =1, ,N должны обращаться в нуль:

∂J

= 0

∂J

= 0

(3.4)

∂U (l)

∂V (l)

∂W (l)

Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...

Система (3.4) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, для решения которой можно применять метод

Гаусса. Найденные значения параметров U (I ), V (I ), W (I ) подстав-

ляем в разложения (3.2) и получаем приближенное решение поставленной задачи. Существование минимума функционалов полной энергии деформации элементов строительных конструкций (стержень, плита, оболочка) доказано.

3.1.2. Метод Бубнова – Галеркина

Рассматриваетсякраеваязадача:найтирешениеуравненийравновесия (системы линейных дифференциальных уравнений)

L(u(x,y),v(x,y),w(x,y))− F = 0,	(3.5)
где L = (L1,L2 ,L3 ), F = (0, 0, f ), в некоторой	области

D ={0 ≤ x ≤ a;0 ≤ y ≤ b}, удовлетворяющее на границе Γ области однородным краевым условиям.

Возьмем приближенное решение в виде (3.2). Подставляя (3.2) в (3.5), получим невязку

L(uN ,vN ,wN )− F = δF .

Если uN , vN , wN – точное решение уравнения (3.5), то невязка

δf равна нулю. Если невязка близка к нулю, то можно считать, что

она ортогональна к аппроксимирующим функциям. Условие ортогональности имеет вид

a b

∫∫[L1 (uN ,vN ,wN )]X1(I )Y1(I)dxdy = 0;

0 0

a b
∫∫[L2 (uN ,vN ,wN )]X 2(I )Y 2(I )dxdy = 0	;
0 0
a b
∫∫[L3 (uN ,vN ,wN )− f ]X 3(I )Y3(I )dxdy = 0,		(3.6)
0 0

где I =1,2, ...,N.

Система (3.6) – система линейных алгебраических уравнений.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019175.5 Кб3Karin Kallmaker - Making Up for Lost Time.docx
#
28.08.2019288.12 Кб1Karin Kallmaker - Once Upon a Dyke.docx
#
28.08.2019205.06 Кб2Karin Kallmaker - Paperback Romance.docx
#
28.08.2019226.76 Кб3Karin Kallmaker - Unforgettable.docx
#
28.08.2019283.48 Кб4Karin Kallmaker - Warming Trend.docx
#
12.03.20162.37 Mб338Karpov_Panin_Matematicheskoe_modelirovanie_i_raschet_elementov_stroitelnykh_konstruktsiy2013.pdf
#
07.09.2019259.68 Кб2Kate Sweeney - Sea of Grass.docx
#
07.09.2019430.08 Кб1Katherine V. Forrest - Curious Wine.doc
#
07.09.2019288.5 Кб1Kathy Higgs - Yvonne 1 - Before You.docx
#
07.09.2019637.38 Кб1KG MacGregor - Anna and Lily Stories.docx
#
07.09.2019185.7 Кб3KG MacGregor - Just This Once.docx