Karpov_Panin_Matematicheskoe_modelirovanie_i_raschet_elementov_stroitelnykh_konstruktsiy2013

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

I =1

N

W = ∑W1(I )X 3(I)Y 3(I)

I=1

иподставим в (3.41), в результате чего получим выражение

NN

Э= ∑∑[C1(I,J )U1(I)U1(J )+C2(I,J )U1(I )V1(J )+

I =1 J =1

+C3(I,J )U1(I )W1(J )+C4(I,J )V1(I )V1(J )+

+C5(I,J )V1(I )W1(J )+C6(I,J )W1(I )W1(J )]−

I =1

Здесь

С1(I,J ) = SX (1)SY (1)+µ1λ2SX (2)SY (2);

С2(I,J ) = 2µλ2SX (3)SY (3)+ 2µ1λ2SX (4)SY (4);

C3(I,J ) = −2k1SX (5)SY (5);

С4(I,J ) = λ4SX (6)SY (6)+µ1λ2SX (7)SY (7);

C5(I,J ) = −2k2λ2SX (8)SY (8);

C6(I,J ) = k3SX (9)SY (9)+121 [SX (10)SY (9)+

+ 2µλ2SX (11)SY (10)+λ4SX (9)SY (11)+ 4µ1λ2SX (12)SY (12)];

C7(J ) = 2(1−µ2 )SX (13)SY (13),

где

Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...

FX (12) = X 3 (I )X 3 (J ) ; FY (12) =Y3 (I)Y 3 (J );

FX (13) = X 3(J ) ; FY (13) =Y3(J ).

Системалинейныхалгебраическихуравненийдляопределения U1(I ), V1(I ), W1(I) будет иметь в соответствии с методом Ритца вид

(3.44). Для ее решения применяется метод Гаусса.

Рассмотрим первое приближение метода Ритца, т. е. одночленную аппроксимацию перемещений. Это возможно, так как рассматриваются малые перемещения (линейная задача). Итак, примем

U =U1 X1 Y1, V =V1 X 2 Y 2, W =W1 X 3 Y 3.

Теперь выражение (3.43) примет вид

Э=U12 C1 +U1V1C2 +U1W1C3 +V12 C4 +V1W1C5 +

+W12 C6 − PC7W1 ,

асистема Ритца будет системой трех уравнений относительно трех неизвестных U1, V1, W1:

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Решение системы (3.14) имеет вид

Если оболочка по контуру закреплена шарнирно-неподвижно, то должны выполняться условия:

при ξ = 0, ξ =1 U =V =W = ∂2W = 0;

∂ξ2

при η = 0, η =1 U =V =W = ∂2W = 0 .

∂η2

При этом X1 = sin 2πξ, X 2 = sin πξ, X 3 = sin πξ, Y1 = sin πη, Y 2 = sin 2πη, Y3 = sin πη.

В этом случае

SX (1) =19,74; SX (2) = 0,5; SX (3) = −1,3333;

SX (4) =1,3333; SX (6) = 0,5; SX (7) = 4,935; SX (13) = 0,637; SX (5) = SX (3); SX (8) = SX (6); SX (9) = SX (6);

SX (10) = π4SX (6); SX (11) = −π2 SX (6); SX (12) = SX (7);

SY (1) = SX (6); SY (2) = SX (7); SY (3) = SX (3); SY (4) = SX (4); SY (5) = SY (1); SY (6) = SX (1); SY (7) = SX (2); SY (8) = SX (3); SY (9) = SY (1);

SY (10) = −π2SY (1); SY (11) = π4SY (1); SY (12) = SY (2);

SY (13) = SX (13).

При λ =1, µ = 0,3 и произвольных значениях kξ,kη С1–С7 бу- дут иметь вид

Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...

C1 =10,734;C2 = 2,31;C3 =1,333(kξ +0,3kη );

C4 =10,734;C5 =1,333(0,3kξ + kη);

Теперь для различных значений kξ,kη , используя первую формулу (3.45), найдем значение прогиба оболочки, при этом вначале нужноопределить С3 , С5 , С6 , остальныезначения Ci неизменятся.

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Выберемтолщинуоболочкиизусловийжесткости Wдоп ≥Wmax . Для бетонной оболочки (E = 2,9 104 МПа) и снеговой нагрузки q = 3,8 10−3 МПа при линейном размере оболочки a = 20 м

и Wдоп = 0,0057h получим условие 0,0057h =W1 h , при qEa4 = 0,021 м4.

Кроме того, из равенства kξ = a2 выразим радиус кривизны hR

оболочки R и найдем значение стрелы подъема оболочки d . Все результаты сведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Результатырасчетапологихоболочекпрямоугольногоплана

Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...

Если рассматривается покрытие с линейным размером а = 60 м (большепролетные сооружения), то целесообразно использовать металлические оболочки (E = 2,1 105 МПа). При нагрузке

q = 3,8 10−3 МПа и Wдоп = 0,1h для оболочки с параметром кривизны kξ = kη =128 толщина оболочки будет h = 0,056м, а наибольший

прогиб составит 0,56 см.

Следует заметить, что размерные перемещения U , V будут на порядок меньше прогибов W.

Теперь нужно найти наибольшие значения напряжений и моментов, используя безразмерные соотношения

Пусть kξ = kη =16, из соотношений (5.18) найдем U1 и V1.

V1 = −0,0031P , U1 = −0,0031P .

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

В усилиях и моментах жесткостные характеристики берутся на единицу длины сечения.

При более точном решении задачи, т. е. беря в разложении перемещений (3.4) N = 9 и решая систему (3.6), получим:

при z = −h2 ;

при k =16 , Wmax = 0,00225P , ση a ,b = −0,0417P2 2

при z = −h2 ;

При a = 20 м, h = 0,313 м, E = 2,9 104 МПа, k =16, q = 3,8 10−3 МПа,σy = −0,647 МПа.

Глава 4. РАСЧЕТ ПОЛОГИХ РЕБРИСТЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ УЧЕТЕ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА

4.1. Основные соотношения для пологих ребристых оболочек

Будемрассматриватьпологиеоболочкидвоякойкривизны,прямоугольные в плане. Оболочки дискретно подкреплены со стороны вогнутости перекрестной системой ребер жесткости, параллельных осям координат (рис. 4.1). Срединная поверхность обшивки оболоч-

ки (толщиной h ) принимается за координатную поверхность. Оси x , y ортогональной системы координат направлены по линиям главных кривизн оболочки, ось z ортогональна координатной поверхности в сторону вогнутости оболочки.

Рис. 4.1. Общий вид пологой ребристой оболочки двоякой кривизны

Оболочка, закрепленная определенным образом по контуру, находится под действием статической равномерно распределенной

поперечной нагрузки q(x,y). Математическая модель деформирования оболочки состоит [9]:

–из геометрических соотношений (связи деформаций и перемещений);

–физических соотношений (связи напряжений и деформаций);

–уравнений равновесия или функционала полной энергии деформации оболочки.

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций

Геометрическиесоотношениявкоординатнойповерхностипри неучете геометрической нелинейности (так как для пологих железобетонных оболочек потеря прочности произойдет гораздо раньше потери устойчивости) принимают вид (2.60).

СогласногипотезеКирхгофавслое,отстоящемнарасстоянииz от координатной поверхности,

U z = U − z ∂∂Wx , V z = V − z ∂∂Wy , W z = W ,

поэтомувыражениядеформацийвслое,отстоящемна расстоянииz от срединной поверхности, принимают вид (2.11), где 1, 2, 12 – функции изменения кривизн и кручения, соответственно имеют вид (2.61).

Высоту и расположение ребер зададим функцией [9]

где h j ,rj ,m – высота и ширина ребер, параллельных оси y, и число реберэтогонаправления; hi ,ri ,n –аналогичнодляребер,параллель- ных оси x; hij = min{hi ,h j }; δ(x − x j )– единичная столбчатая функ-

x ; δ(y − yi ) –единичная столбчатаяфункция переменной y , равная

других значениях y .

4.2. Физические соотношения для упругих оболочек

Физические соотношения теории оболочек составляются в зависимости от того, какие свойства материала конструкции проявля-

Глава 4. Расчетпологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...

ются при ее деформировании (упругие, пластические, свойства ползучести и т. д.).

Физические соотношения при линейно-упругом деформировании оболочек задаются линейным законом (законом Гука) (2.15):

Усилия и моменты, приведенные к координатной поверхности и приходящиеся на единицу длины сечения оболочки [9], получают-

Здесь F , S , J – площадь поперечного или продольного сече- ния ребер жесткости, приходящаяся на единицу длины сечения оболочки, статический момент и момент инерции этого сечения:

В развернутом виде эти выражения приобретают вид [9]:

Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций