Ефимов А.Д. Физика

1 Электрическое поле в вакууме . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

.

4

1.6

Электрический диполь во внешнем электрическом поле

Мак13

1.1

Электрические заряды и закон Кулона . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

.

4

1.2

Напряженность электрического поля . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

.

6

1.3

Потенциал электрического поля . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

.

7

1.4

Связь между напряженностью E и потенциалом ϕ .

. . . .

.

9

1.5

Поле электрического диполя . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . .

11

.

1.7

Поток вектора, теорема Гаусса

О

16

. . . . . . .

. . . . . .

1.8

Примеры применения теорема Гаусса . . .

С. . . . . . . . . . . . .

. . .

18

2 Проводники в электрическом поле

. . . .

24

. . . . .

3 Энергия системы заряженных частиц и проводника. .

. . . .

27

4 Энергия электрического поля . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . .

28

адмирала

29

5 Диэлектрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . .

5.1

Поляризованность или вектор поляризации P .

. . . . .

. . . .

31

5.2

Связь векторов P è E . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

32

5.3

Теорема Гаусса для вектора P . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . .

32

5.4

Связь ε è χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . .

33

5.5

Условия возникновения объемных связанных зарядов ρ′

34

5.6

Вектор смещения D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . .

35

5.7

Граничные условия для P . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

38

5.8 Граничные условия на границе диэлектриков для E è D 39

5.9

Преломление силовых линий E è D . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

40

5.10 Условие на границе проводник-диэлектрик . . . .

. . . . .

. . .

42

6 Электрический ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

43

имени

44

6.1

Закон Ома для участка цепи . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . .

6.2

Закон Ома для неоднородного участка цепи . . . .

. . . . .

. . .

45

6.3

Закон Джоуля-Ленца и смысл ε . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

47

6.4

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

47

6.5

Эквивалентные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

49

7 Задачи и их решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

52

7.1

Взаимодействие двух электрических диполей . .

. . . . .

. . . .

52

7.2

Примеры расчета полей около проводников . . . .

. . . . .

. . . .

54

Ф

7.3

Задачи, связанные с диэлектриками . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

61

Литература7.4 Задачи, связанные. . . . . . . . . . .с. .электрическими. . . . . . . . . . . . . . . . .цепями. . . . . . . . ......

..........

.......

7578

Электричество

Мак

.

.О

С

В данном пособии выводятся основные уравнения электростатики.

Подробно описано поле электрического диполя, а также поведение

последнего в однородных и неоднородных полях. Рассмотрена тео-

адмирала

рема Гаусса и ее применение. Отдельно рассмотрено влияние про-

водников на формирование результирующего электрического по-

ля. Наиболее сложным разделом в данном пособии является тот,

что посвящен электрическим свойствам диэлектриков. Рассмотре-

ны основные законы, связанные со стационарными электрическими

токами. Достаточно много места уделено рассмотрению решения,

разбор которых позволит вникнуть в нюансы рассматриваемого ма-

териала.

1 Электрические поля в вакууме

1.1 Электрический заряд и закон Кулона

имени

Физические явления, связанные с электростатикой, вызывают силь-

ное впечатление на человека, впервые с ними столкнувшегося. На-

пример, после расчесывания волос к расческе и притягиваются мел-

кие сухие бумажки, причем бумажки и расческа не касаются друг

друга. Это объясняется наличием электрических зарядов, каждый

из которых формирует вокруг себя поле, которое и взаимодействует

с другими зарядами. Исторически заряд определялся через элек-

Ф

трический ток. Если по проводнику течет ток силой 1 A, то за

заряд имеет квантованную природу, проявляющуюся в том, что за-

÷èíà e называется элементарным зарядом и равна 1.602 · 10−19 Êë.

Существуют элементарные частицы, кварки, заряд которых кратен

1/3e, но наблюдаться могут только системы типа кварк-антикварк,

Мак

что относится к мезонам, либо системы из трех кварков, что пред-

ставляет собой в частности и нейтрон, и протон. Исходя из этого,

под зарядом в один кулон можно понимать заряд в 1/1.602 · 1019

раз больше, чем заряд протона.

Силы взаимодействия двух неподвижных зарядов направлены

.

.О

вдоль линии, соединяющей эти заряды. Данные силы являются ли-

бо силами притяжения, либо силами отталкивания, что описыва-

ется наличием зарядов двух типов, двух знаков (противоположное

С

проявление одного качества). В тех случаях, когда заряды одного

знака, силы между ними будут силами отталкивания, если заря-

ды разного знака, то силами притяжения. Под направлением тока

Определим направлениеадмиралданной силы.а F12

F21

принято движение положительных зарядов, это приводит к тому,

что знак заряда электрона оказывается отрицательным, а протона

положительным.

Данные эксперимента показывают, что силы взаимодействия меж-

ду зарядами (закон Кулона), пропорциональны произведению заря-

дов взаимодействующих частиц и обратно пропорциональны квад-

рату расстояния между ними. В системе СИ сила взаимодействия

между зарядами равна

F =

1

|q1q2|,

(1)

4πε0

r2

ãäå ε0 = 0.885 · 10

−11Ф/м электрическая постоянная, соответ-

9ì/Ô.

имени

ственно 1/(4πε0) ≈ 9 · 10

Для этого будем понимать под вектором

F 12 силу, действующую на первую ча-

R21

стицу со стороны второй. Под r21 будем

понимать вектор, проведенный от первой

R1

R2

частицы, ко второй. Так, что r21

= r2 −

r1 (см. рис.1). Силы на рис. 1 изобра-

Ф

жены для случая притяжения, когда за-

Ðèñ. 1:

ряды разных знаков. Естественно r12 =

−r21 è F 21 = −F 12. Это дает возможность написать математиче-

ское выражение для силы Кулона как векторной величины

F 12 =

1 q1q2

r12.

(2)

4πε0

r123

В случае, если на частицу с номером 1 действует множество ча-

ñòèö 2, 3, 4, ..., òî

сила, действующая на нее (F 1), будет равна сумме векторных ве-

личин

1

q2

q3

F 1 = F 12 + F 13 + ... =

q1

(

r12 +

r13 + ...).

(3)

4πε0

r123

r133

Здесь и далее под жирными буквами будем понимать вектора.

Мак

1.2 Напряженность электрического поля

.

Пусть имеется произвольная система зарядов q1, q2, , qn. Î íà-

.О

личии этих зарядов и созданного ими электрического поля можно

узнать с помощью так называемого пробного заряда q. Ïðè ýòîì

сила, действующая на этот заряд, будет пропорциональна заряду

С

q. Именно поэтому данную силу нельзя использовать для характе-

ристики поля, так как оно не зависит от пробного заряда q. Чтобы

избавиться от этого произвола, заряд q принимается равным 1 Кл.

Таким образом вводится понятие напряженности электрического

ïîëÿ

E = F (q) .

(4)

q

Èòàê,

напряженность электрического поля это сила,

действующая со стороны этого поля на единичный поло-

жительный заряд. Величина E образует векторное поле, т.е. век-

тор, имеющий возможные значения в каждой точке пространства,

адмирала

определенной радиус-вектором. Это дает возможность графическо-

го представления рассматриваемой величины с помощью силовых

линий, как это представлено на рис. 2.

Смысл этих линий следующий, во-первых, касательная к линии

в каждой точке дает направление напряженности в данной точ-

ке, во-вторых, величина напряженности пропорциональна плотно-

сти этих линий. Соответственно, если в произвольную точку в про-

странстве, определяемую радиус-вектором r

поместить заряд q, òî

именисила, действующая на него определяется выражением

Ф

F (r) = qE(r).

(5)

E =

1 q

er ,

(6)

4πε0

r2

E(R)

из которых создает напряженность Ei, òîМакîá-

ãäå er = r/r единичный вектор, проведенный из точки расположе-

ния заряда q до точки, в которой нас интересует напряженность

ïîëÿ.

Если мы имеем систему зарядов, каждый

E =

Ei,

.

.О

(7)

щая напряженность будет определяться век-

торной суммой

X

С

i

адмирала

что носит название принципа суперпозиции

Ðèñ. 2:

для напряженности электрического поля.

1.3

Потенциал электрического поля

Еще одна характеристика электрического поля связана с потенци-

альной энергией взаимодействия заряженных тел. Рассмотрим два

заряда, один, q, поместим в начало координат и для удобства бу-

дем считать массу тела, на котором этот заряд находится, доста-

точно большой. В начальный момент времени второе тело с заря-

äîì q′ и с малой массой имеет координаты, определяемые радиус-

вектором r1. Оно в силу инерции и под действием электрической

силы за малый промежуток времени перемещается по вектору

l.

имени

При этом работа, совершаемая электрическим полем равна скаляр-

ному произведению (F ,

l) = 1/(4πε

0

)qq′

/r2

(e

r

,

l). Заметим, что

1

(er ,

l) = r, т.е. равно изменению расстояния между частица-

ми. Так, если перемещение второй частицы будет перпендикулярно

вектору r1, соединяющему две частицы, то работа будет равна ну-

ëþ è r = 0. Таким образом, работа, совершаемая электрическим

полем при перемещении второй частицы от r1 äî r2, будет равна

Ф

криволинейному интегралу второго рода

A12 =

Z1

F (r)(er , dl) =

Z1

F (r) dr =

4πε0 Zr1

r2

= 4πε0

( r1 − r2 ).

2

2

qq′

r2

dr

qq′

1

1

1

qq′

W =

.

(8)

4πε0 r

Если мы хотим характеризовать поле, создаваемое зарядом q,

то пробный заряд q′ естественно принять за 1 Кл. Под потенци-

алом будем понимать потенциальную энергию единичного

Мак

положительного заряда, помещенного в электрическое по-

ëå. Для точечного заряда

.

.О

ϕ =

1

q

,

(9)

4πε0 r

ãäå r длина радиус-вектора r, проведенного от заряда до рассмат-

риваемой точки.

С

В общем случае под потенциалом ϕ(r) будем понимать по-

тенциальную энергию взаимодействия единичного поло-

жительного заряда, помещенного в точку, определенную

радиус-вектором r с наличным электрическим полем. Èìåí-

но поэтому потенциальная энергия взаимодействия произвольного

заряда q с электрическим полем будет равна

W = qϕ(r).

(10)

Потенциал образует скалярное поле, т.е. каждой точке простран-

ства соответствует скаляр. Графически такие поля представляются

адмирала

в виде линий равного уровня, где для всех точек, принадлежащих

одной линии, будут соответствовать равные значения потенциала

ϕ(r). Относительно потенциальной энергии чаще всего нужно знать

ее разность, поэтому вводят понятие напряжения поля между про-

извольными точками пространства u = ϕ2

− ϕ1. Поэтому разность

потенциальной энергии между ними для заряда q åñòü W = qu.

Еще один смысл ϕ это работа, которая совершает поле при

удалении единичного заряда на бесконечность вне действия данно-

ãî ïîëÿ.

имени

По сказанному выше размерность ϕ, ò.å. [ϕ] åñòü ÄæÊë è íàçû-

Ф

вается вольтом, т.е. [ϕ] = Â =

ÄæКл , а напряженность [E] =

mB

.

единицу энергии, эВ, которая соответствует энергии, приобретае-

мой частицей с зарядом электрона или протона при прохождении

разности потенциалов в 1 В, что численно будет в точности равно

заряду электрона. Таким образом, 1 эВ=1.602 10−19

Äæ, 1 êýÂ=103

ýÂ, 1 ÌýÂ=106 ýÂ, 1 ÃýÂ=109 ýÂ, 1 ÒýÂ=1012· ýÂ.

Потенциал, создаваемый системой зарядов 1, 2, ... есть алгебра-

ическая сумма потенциалов, создаваемых каждым зарядом

Мак

ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ... + ϕn.

Если у нас система точечных зарядов, то

.

О

ϕ =

1

qi

,

4πε0

ri

i

X

ãäå qi значение каждого заряда, ri расстояние от этого заряда

С

до точки, в которой мы оцениваем потенциал ϕ.

1.4 Связь между напряженностью E и потенци-

àëîì ϕ

Данная связь устанавливается на том основании, что сила F è ñâÿ-

занная с ней потенциальная энергия W , соотносятся как

F = − W,

(11)

где оператор градиента, имеющий в декартовых координатах

представление

∂

∂

∂

адмирала

= i

∂x

+ j

∂y + k

∂z .

Градиент применим лишь к скалярным функциям. Смысл гра-

диента есть производная по направлению максимального возраста-

ния функции. При этом получается вектор, направленный в сторо-

ну максимального возрастания этой функции.

Подставляя в (11) выражение для F èç (5) è W èç (10) è, ñî-

кращая на заряд q, получаем

имени

E

= − ϕ,

(12)

Ф

то есть напряженность электрического поля есть градиент потен-

циала, взятый с обратным знаком, и Ex = −∂ϕ/∂x; Ey = −∂ϕ/∂y;

Чтобы сказанное обрело конкретный смысл, рассмотрим следу-

ющие примеры.

Пример 1. Пусть имеются две пластины конденсатора, расстояние

ãäå x расстояние от первой пластины в направлении второй

ÝòîМак

между которыми d. Первая имеет потенциал ϕ1

, вторая ϕ2. Между

ними потенциал меняется линейно, т.е.

ϕ(x) = ϕ1 +

ϕ2 − ϕ1

x,

d

.

приводит к

С

E

=

ϕ2 − ϕ1

; E

= E

=

0.

.О

x

−

d

y

z

Пример 2. Имеется точечный заряд q, помещенный в начало коор-

адмирала

динат. Его потенциал

ϕ =

q

1

.

4πε0

p

x2 + y2 + z2

Частные производные по координатам имеют вид

∂ϕ

q

x

= −

q

x

= −

;

∂x

4πε0

(x2 + y2 + z2)3/2

4πε0

r3

∂ϕ

q

y

∂ϕ

q

z

= −

;

= −

.

∂y

4πε0

r3

∂z

4πε0

r3

Окончательно

имени

q r

q 1

q xi + yj + zk

E =

4πε0

r3

=

4πε0 r3

=

4πε0

r2

er ,

что совпадает с формулой (6).

Çíàÿ E(r), можно найти разность потенциалов между любыми

Ф

двумя точками

q (E, dl) = q Z1

(E, dl) = q(ϕ1 − ϕ2);

A12 = Z1

2

2

ϕ1 − ϕ2 = Z1

2

(E, dl).

(13)