Ефимов А.Д. Физика
.pdf
|
R |
R |
|
|
|
|
|
Rb |
R4 |
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
Ra |
|
|
|
|
|
|
|
a |
R3 |
a ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
a ' |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мак |
||
|
R2 |
R5 |
|
|
|
|
|
Rc |
R5 |
|
||
|
Ðèñ. 29: |
|
|
|
|
Ðèñ. 30: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольника трех левых сопротивлений перейдем к звездочке, не |
||||||||||||
меняя конфигурацию двух правых сопротивлений (рис. 30). |
. |
|||||||||||
Это позволяет получить выражение для полного сопротивления |
||||||||||||
|
|
|
(Rb + R4)(Rc + R5) , |
|
|
.О |
|
|||||
|
|
R = Ra + |
|
С |
|
|
||||||
|
|
|
Rb + Rc + R4 + R5 |
|
|
|
|
|||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ra = R1R2 ; Rb = R1R3 ; Rc = R2R3 ; R = R1 + R2 + R3. |
|
|
||||||||||
|
R |
R |
|
|
R |
.e |
|
|
|
|
|
|
В частности, если все |
|
, òî |
R = r |
|
|
|
|
|
|
|||
|
e |
e Ri = r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||
имени |
адмирала |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 Задачи и их решения
|
7.1 Взаимодействие двух электрических диполей |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мак |
|
|
p1 |
r |
|
− r |
|
p2 |
В соответствии с рис. 31, две частицы с из- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
вестными массами mi, моментами инерции Ji, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r1 |
|
|
r2 |
|
произвольно ориентированными в пространстве |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
дипольными моментами pi, находятся в точ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ках, определяемых радиус-векторами ri |
ñîîò- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветственно. Напряженность, создаваемая пер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ðèñ. 31: |
|
|
|
вым диполем в точке расположения второго рав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
на в соответствии с (18) |
|
С |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε0 ½−|r2 − r1|3 |
|
|
|r2 |
− r1|5 |
¾ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
E |
(r |
|
) = |
|
1 |
|
|
|
|
p1 |
|
+ |
3(p1, r2 |
− r1) |
(r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
) |
|
. |
|
(96) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Ïðè |
|
|
|
|
|
|
|
адми∂x2 рала− 2 − 1 | |
|
2 |
− |
|
|
1| |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
этом сила, действующая на второй диполь в соответствии с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(23), равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ p2y ∂y2 |
+ p2z ∂z2 |
¾E1(r2). (97) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
F 2 = (p2, (r2))E1(r2) = ½p2x ∂x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для расчета соответствующих частных производных сделаем про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
межуточные выкладки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|r2 − r1|−n = µ(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2¶−n/2, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имен2y ∂yи2 2 |
|
4πε0 ½ |r2 − r1|5 |
|
|
|
|r2 − r1 |
|5 |
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂|r2 − r1|−n |
= n(x |
x ) r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
−n−2, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(p1, r2 − r1) = p1x(x2 − x1) + p1y (y2 − y1) + p1z (z2 − z1), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
∂ E(r |
|
) = |
|
p2x |
3p1(x2 − x1) |
|
+ |
|
3p1x |
|
|
(r |
|
|
|
|
|
r |
) |
+ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2x ∂x2 |
|
|
2 |
|
|
4πε0 ½ |
|
|r2 − r1|5 |
|
|
|
|r2 − r1|5 |
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
1 |
1 |
¾ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|r2 − r1|5 |
− |
|r2 |
− r1|7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3(p1, r2 |
− r1) |
i |
|
|
15(p1, r2 |
− r1)(r2 |
− r1) |
(x |
|
|
|
|
|
|
x ) |
|
|
|||||||||||||||||||
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
p |
|
|
∂ |
E(r ) = |
p2y |
|
|
3p1(y2 − y1) |
+ |
|
3p1y |
|
|
(r r ) + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|r2 − r1|5 |
|
− |
|r2 |
− r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − |
|
1 |
¾ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3(p1, r2 |
− r1) |
j |
|
|
|
15(p1, r2 − r1)(r2 |
− r1) |
(y |
|
|
|
|
|
y |
) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
p |
|
|
∂ |
|
|
E(r |
) = |
|
|
p2z |
½ |
3p1(z2 − z1) |
+ |
|
3p1z |
|
|
|
(r |
2 − |
r |
|
) + |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4πε0 |
|
|
|
|
|r2 − r1|5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2z ∂z2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|r2 − r1|5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
¾ |
Мак |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|r2 |
− r1|5 |
|
− |
|
|r2 − r1|7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − |
|
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3(p1, r2 − r1) |
k |
|
|
|
15(p1, r2 |
− r1)(r2 |
− r1) |
(z |
|
z |
|
) . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
F 2 |
= |
|
4πε0 |
½ |r2 − r1|5 (p2, r2 − r1) + |r2 − r1|5 (r2 − r1) + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ýòî |
äàåò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(p2, p1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|r2 |
− r1|5 |
|
|
2 − |
|
|
|r2 |
− r1|7 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 − |
|
1 |
¾ |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3(p1, r2 |
− r1) |
p |
|
|
15(p1 |
, r2 − r1) |
(p |
, r |
|
|
|
r |
)(r |
|
|
r |
|
) . .(98) |
||||||||||||||||||||||||||
Момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
силы, действующий на второй диполь в соответствии с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(21), M 2 |
= [p2, E1(r2)] è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
½− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 − 1 |
|
|
¾ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4πε0 |
|
|r2 − r1 |
|3 |
|
|
|r2 |
− r1 |
|5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
M |
|
= |
1 |
|
|
|
адмирала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(99) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[p2, p1 |
] |
|
|
+ 3(p1, |
r2 − r1) |
[p |
, С(r r )] . |
В соответствии с третьим законом Ньютона сила, действующая |
|||||||||||||
на первый диполь, равна F 1 |
= −F 2. Момент силы, действующий |
||||||||||||
на первый диполь, получается из соотношения (98) перестановкой |
|||||||||||||
индексов 1 и 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M |
|
= |
1 |
|
[p1, p2] |
+ |
3(p2, r1 − r2) [p |
|
, (r |
|
r |
)] |
. (100) |
|
4πε0 ½− |
|r2 − r1|3 |
|
1 − |
|||||||||
 |
1 |
|
|
|r2 − r1|5 |
1 |
|
|
2 |
¾ |
||||
общем случае аналитическое решение данной системы немыс- |
|||||||||||||
лимо, но поведение каждого из диполей можно получить с помо- |
|||||||||||||
щью численного моделирования. Зная в момент времени t ïîëî- |
|
жение, скорости и ориентации диполей, можно найти эти харак- |
|||||||||
|
теристики в следующий момент времени, мало отличающийся от |
|||||||||
|
предыдущего t + |
t, тогда |
|
|
|
|
||||
имени |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a2 = F 2/m2, v2 |
(t + t) = v2(t) + a2 |
t, |
|||||||
|
r2(t + t) = r2(t) + v2(t)Δt + a2(Δt)2/2, |
|||||||||
Ф |
ε2 = M 2/J2, ω2(t + t) = ω2(t) + ε2 |
t, |
||||||||
ϕ |
(t + t) = ϕ |
(t) + ω |
(t)Δt + ε (Δt)2/2, |
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
a1 = F 1/m1, v1(t + t) = v1(t) + a1 |
t, |
||||||||
|
r1(t + t) = r1(t) + v1(t)Δt + a1(Δt)2/2, |
|||||||||
|
ε1 = M 1/J1, ω1(t + t) = ω1(t) + ε1 |
t, |
||||||||
|
ϕ |
|
(t + t) = ϕ |
|
(t) + ω |
|
(t)Δt + ε (Δt)2 |
/2. |
||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
53
|
Полезным может оказаться и выражение для потенциальной |
|||||||||||
|
энергии двух электрических диполей. Применяя к настоящей си- |
|||||||||||
|
туации выражение (22) с учетом (96), имеем |
|
|
|
|
|||||||
|
W = −(p2, E1(r2)) = |
|
3(p1, r2 − r1)(p2, r2 − r1) |
¾ |
|
|
||||||
|
|
= |
|
1 |
(p1, p2) |
− |
. (101) |
|||||
|
|
|
4πε0 ½ |
|r2 − r1|3 |
|r2 − r1|5 |
|
Мак |
|||||
|
7.2 Примеры расчета полей около проводников |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
В общем случае решение данных задач осуществляется численным |
|||||||||||
|
способом на основе уравнения Пуассона (26) с ρ = 0 и с исполь- |
|||||||||||
|
зованием граничных условий на границе проводника, потенциал |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
||
|
которого одинаков. Однако для ряда случаев, характеризующихся |
|||||||||||
|
высокой степенью симметрии, решение может быть получено ана- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
литически. При этом используется метод изображений. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Суть этого метода заключа- |
||||
|
|
|
|
|
|
γ |
|
ется в том, чтобы подобрать си- |
||||
|
|
|
|
c |
|
r |
стему несуществующих зарядов |
|||||
|
|
|
|
|
|
и так их расположить, чтобы по- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
верхность проводника имела опре- |
||||
|
|
β |
|
|
|
|
деленный потенциал. При этом |
|||||
|
−q |
a |
|
|
a |
q |
|
сам проводник и его поверхност- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ные заряды как бы отсутству- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ют. Искомые несуществующие за- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ряды имитируют поверхностные |
||||
|
|
|
Ðèñ. 32: |
|
|
|
заряды, расположенные на про- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
воднике. Рассмотрим некоторые |
||||
|
из таких задач. |
адмирала |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача 1. Имеется точечный заряд q на расстоянии a от беско- |
|||||||||||
|
нечной проводящей плоскости. Найти потенциал и напряженность |
|||||||||||
|
в произвольной точке пространства и плотность поверхностного на- |
|||||||||||
|
веденного заряда на проводнике. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. Так как проводник бесконечен, то это эквивалентно |
|||||||||||
|
тому, что он заземлен и его потенциал ϕ равен нулю. Это условие |
|||||||||||
имени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф |
на поверхности вне вещества проводника осуществляется в том слу- |
|||||||||||
чае, если на расстоянии a по перпендикуляру от заряда q к поверх- |
||||||||||||
ности за границей расположен заряд −q. В соответствии с рис. 32 |
||||||||||||
|
произвольная точка, в которой будем искать поле, определяется |
|||||||||||
|
радиус вектором r, ϕ = β + γ. В соответствии с теоремой косину- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
ñîâ c2 = 4a2 + r2 + 4ar cos ϕ, а в соответствии с теоремой синусов |
|
||||||||||||||
|
sin β = r sin ϕ/c, что позволяет найти характеристики электриче- |
|
||||||||||||||
|
ского поля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos β¶, |
|
|
.Мак |
|||
|
|
|
|
q |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
Ex = |
4πε0 |
µ r2 |
cos ϕ − c2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
q |
|
|
1 |
|
|
1 |
sin β¶, |
|
|
|||
|
|
Ey = |
4πε0 |
µ r2 |
sin ϕ − c2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ϕ(r) = |
4πε0 |
µ r |
− c ¶. |
|
|
|||||
|
|
Вблизи поверхности r = c и потенциал ϕ(r) = 0, что соответ- |
|
|||||||||||||
|
ствует проводящей поверхности. При этом β = π − ϕ, .EОy = 0, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
2 cos ϕ |
|
|
С |
|
|
||
|
|
|
|
Ex = 4πε0 |
r2 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Если расстояние от перпендикуляра, проведен- |
|
|
|
|||||||||||
|
ного от заряда q до произвольной точки на по- |
|
|
|
||||||||||||
|
верхности, обозначитü çà ρ, êàê íà ðèñ. 33, òî |
|
ρ |
r |
|
|||||||||||
|
cos ϕ = −a/r = −a/pq |
a2 |
|
|
2 è |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+ ρ2a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
q |
||||||
|
|
Ex = −4πε0 (a2 + ρ2)3/2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
В силу того, что плотность реального поверх- |
Ðèñ. 33: |
|
||||||||||||
|
ностного заряда определяется полным полем, то |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2aq |
|
|
|
|
||
|
òî |
σ(ρадмира) = ε0Ex(ρ) = −4π(лаa2 + ρ2)3/2 |
, |
|
|
|
||||||||||
|
есть наведенный поверхностный заряд противоположен знаку |
|
||||||||||||||
|
заряда q. Сила, действующая на заряд q, будет направлена к по- |
|
||||||||||||||
|
верхности, а ее величину можно определить с использованием зер- |
|
||||||||||||||
|
кального вымышленного заряда −q, ò.å. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
имени |
|
|
|
|
|
1 |
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F = 4πε0 4a2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф |
|
Задача 2. Как и в предыдущей задаче имеется бесконечная про- |
|
|||||||||||||
водящая плоскость. Около нее располагается произвольно ориенти- |
|
|||||||||||||||
|
рованный электрический диполь p на расстоянии a от поверхности. |
|
||||||||||||||
|
Найти силу и момент силы, действующие на диполь. |
|
|
|
55
Решение. В соответствии с методом изображений, удовлетворяя условию нулевого потенциала поверхности, следует воображаемый
|
диполь, обозначенный как p1, расположить так, как это обозначе- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мак |
|
но на рис. 34. Реальный диполь обозначим как p2. Естественно, |
||||||||||||||||||
|
p1 = p2 и оба вектора лежат в одной плоскости. Для решения зада- |
||||||||||||||||||
|
чи воспользуемся соотношением (98), где F 2 в данном случае есть |
||||||||||||||||||
|
сила, действующая на рассматриваемый диполь p2. В соответствии |
||||||||||||||||||
|
ñ ðèñ. 34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
||
|
|
|
r2 − r1 = 2an; (p2, r2 − r1) = 2ap cos α; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
(p2, p1) = p2 cos 2α; (p1, r2 − r1) = 2ap cos α. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|||
|
Подстановка этих выраже- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ний в (98) дает выражение |
|
|
|
|
|
|
p2 |
α |
|
|||||||||
|
|
|
[p2, |
адr2 −миралr1] = [p2, n]2a = 2аap sin α l, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
1 3p |
|
(1 + cos |
2 |
|
|
|
|
p1 α |
|
n |
|
|
|
||||
|
F 2 = −4πε0 16a4 |
|
α)n, |
|
|
|
l |
|
|||||||||||
|
которое показывает, что при лю- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
бой ориентации диполя он бу- |
|
Ðèñ. 34: |
|
|
|
|||||||||||||
|
дет притягиваться к металлу (n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
единичный вектор, направленный от поверхности металла). |
|
|||||||||||||||||
|
Для расчета момента силы воспользуемся соотношением (99). |
||||||||||||||||||
|
Учтем что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[p |
2 |
, p |
1 |
] = p2 sin 2α l; |
|
|
|
|
|
|
||||
имени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ãäå l единичный вектор, направленный за плоскость рисунка. В |
||||||||||||||||||
|
результате мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 = |
|
16a3 sin 2α l. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4πε0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ф |
У диполя будет два устойчивых положения равновесия отно- |
||||||||||||||||||
будет стремиться повернуться по направлению к поверхности. Та- |
сительно поворотов: если −π/2 < α < π/2, то диполь будет стремилься сориентироваться от поверхности, при других углах диполь
ким образом, максимально неустойчивая ориентация реализуется при α = ±π/2, устойчивое положение дают углы α = 0 и α = π.
56
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мак |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
||
ϕ = 0 |
|
|
|
a2 |
b |
|
q '= − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 35: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 3. Рассмотрим систему из точечного заряда q и прово- |
||||||||||||||||||||||||||||
дящей сферы радиусом a, расстояние между зарядом и центром |
||||||||||||||||||||||||||||
сферы b, ðèñ. 35. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Пусть сначала потенциал сферы равен нулю, что |
||||||||||||||||||||||||||||
осуществляется простым ее заземлением. Для решения этой зада- |
||||||||||||||||||||||||||||
чи, в соответствии с рис. 36 на расстоянии c от центра шара рас- |
||||||||||||||||||||||||||||
положим заряд q′. Чтобы потенциал поверхности был равен ну- |
||||||||||||||||||||||||||||
лю должно выполняться условие q/r1 + q′/r2 |
|
= 0, которое при |
||||||||||||||||||||||||||
фиксированных зарядах дает условие постоянства отношений r1 |
||||||||||||||||||||||||||||
è r2. Из рис. 36 для двух треугольников соответственно имеем |
||||||||||||||||||||||||||||
r12 = r22 +(b |
− |
c)2 |
− |
2r2(b |
− |
c) cos α è 2r2 cos α = (a2 |
− |
r22 |
− |
c2)/c. Комби- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
br |
2 |
|
|
|
2 |
bc |
|
ba |
2 |
|
|
2. |
|||||||
нируя эти два соотношения, получаем r |
|
|
/c+b |
|
− |
− |
|
/c+a |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
2 |
2 |
|
bc |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
= 0, |
|||
Из требования r1/r2 = const следует, что b |
|
|
|
− |
ba /c + a |
|
||||||||||||||||||||||
откуда для c и соответственно для q′ |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
адмирала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a |
r2 |
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
′ |
|
|
|
a |
||
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c = |
b ; q |
|
= −b q. |
||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
При этом заряд q |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
имени |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и заземленный шар |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будут испытывать |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
притяжение, сила |
||||||||||||||
|
Ðèñ. 36: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которого будет рав- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
F = |
1 |
a |
q2 |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4πε0 |
b (b − a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
/b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В том случае, если потенциал сферы нам задан, то смоделировать данную ситуацию можно, дополнительно поместив в центр шара заряд q′′, удовлетворяющий условию
q′′ = 4πε0aϕ.
Если же шар изолирован и его заряд Q, то для моделирования данной ситуации в центр следует поместить заряд
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
Мак |
||
|
|
|
|
q |
|
= Q − q |
|
= Q + |
|
|
q. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Сила взаимодействия между шаром с зарядом Q и точечным |
||||||||||||||||||||
|
зарядом q равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(a/b)q)q |
|
|
|
a |
q2 |
|
||||||||
|
F = |
|
µ |
(Q + |
|
|
|
|
− |
|
|
(b − a2/bС)2 ¶. |
|
||||||||
|
4πε0 |
|
b2 |
|
|
|
b |
|
|||||||||||||
|
Эта сила будет равна нулю, если между зарядами имеется соот- |
||||||||||||||||||||
|
ношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Q = aµ |
|
|
− |
|
¶q. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(b2 − a2)2 |
b |
|
|
|
||||||||||||||
|
При нейтральности шара и в дипольном приближении, т.е. Q = |
||||||||||||||||||||
|
0 è a b, сила будет равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
a3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
F = − |
|
b5 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2πε0 |
|
|
|
||||||||||||
|
Это принципиально новая функциональная зависимость, про- |
||||||||||||||||||||
|
порциональная 1/r5, ãäå r расстояние от точечного заряда до |
||||||||||||||||||||
|
|
|
адмирала |
|
|
||||||||||||||||
|
нейтрального металлического шара. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Задача 4. Рассмотрим более сложную задачу, решение которой |
||||||||||||||||||||
|
не может быть получено аналитически. Имеется два одинаковых |
||||||||||||||||||||
|
проводящих шара с радиусами a и одинаковыми зарядами q. Íàé- |
||||||||||||||||||||
|
ти силу взаимодействия между шарами, если расстояние между |
||||||||||||||||||||
|
íèìè b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Задача решается с помощью бесконечного количества |
||||||||||||||||||||
имени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ф |
изображений. Нулевое приближение соответствует расположению |
||||||||||||||||||||
зарядов q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рые будут симметричновцентры шароврасполагаться.Они создаютв каждомсвои изображения,из шаров. Изобракото-- |
жения создают новые изображения, данный итерационный процесс следует повторять до полного схождения результата.
58
|
|
Заряды изображения q′ вместе с зарядом q располагаются в уз- |
|||||||||||||||||
|
лах шаров на одном радиусе вдоль линии, соединяющей центры |
||||||||||||||||||
|
шаров. Начнем отсчет этих узлов с центра, считая его за нулевой. |
||||||||||||||||||
|
Расстояние от центра до n-го узла обозначим за δn, тогда, как мож- |
||||||||||||||||||
|
но догадаться |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
δn+1 = |
|
a2 |
ïðè |
δ0 = 0. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
b − δn |
|
|
|
||||||||||||
|
|
Обозначим за qn′ (δm) заряды изображения, полученные на n èòåМак- |
|||||||||||||||||
|
рации в m узле. Тогда, в соответствии со сказанным ранее,.íà n |
||||||||||||||||||
|
итерации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
a |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qn(δi) = −b − δi−1 qn−1(δi−1), |
i = 1, n. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
êàêНа этой итерации суммарный заряд в нулевом узле определится |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qn′ (δ0) = q − qn′ (δi), |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
а сила взаимодействия определится соотношением |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
n n |
q′(δk )q′(δm) |
. |
|
|||||||||
|
|
|
F = |
|
|
|
|
|
|
|
(b δk |
δm)2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4πε0 |
k=0 m=0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|||||
|
|
Приведем |
|
|
|
|
|
X X |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
конкретный пример соответствующего расчета. Пусть |
|||||||||||||||||
|
b = 2a = 2, то есть шары с единичным радиусом соприкасаются. Ре- |
||||||||||||||||||
|
зультаты для зарядов изображения после пяти итераций приведены |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
адмирала |
|
||||||||||||||
|
в таблице. При этом сила взаимодействия в единицах q2/(4πε0) â |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
δ(n) |
q′(δn)/q |
n |
δ(n) q′(δn)/q |
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
0.0000 |
1.4507 |
|
3 |
|
0.7500 |
|
-0.3542 |
|
|
|
|||||||
|
1 |
0.5000 |
-0.7160 |
|
4 |
|
0.8000 |
|
0.3000 |
|
|
|
|||||||
|
2 |
0.6667 |
0.4861 |
|
5 |
|
0.8333 |
|
-0.1667 |
|
|
|
|||||||
|
нулевом приближении будет 0.25, после представленных пяти ите- |
||||||||||||||||||
имени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф |
раций 0.1580, точный же результат 0.1549. |
|
|
||||||||||||||||
|
Задача 5. |
 |
однородное электрическое поле с напряженностью |
||||||||||||||||
|
E0 поместили металлический шар радиусом a. Найти результиру- |
ющее поле и плотность поверхностного заряда на шаре.
59
E0 направле-
но слева направо, и соответственно поверхностные заряды на ша- |
|
ре будут располагаться симметрично так, как это представлено на |
|
поверхности шара ϕ (ϑ) = −E0a cos ϑ. |
Мак |
ðèñ. 37. Îñü OX расположим по направлению слева направо и точ- ку O поместим в центр шара. Тогда значение x каждой точки на
поверхности будет определяться выражением x = a cos ϑ. Если потенциал однородного поля при x = 0 принять равным нулю, то
в любой точке пространства он будет равен |
ϕ |
(0) |
(x) = −E0x |
, à íà |
||||||||||||
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения поля поверхностных зарядов шара вне его мож- |
||||||||||||||||
но воспользоваться методом изображений. Для этого поверхност- |
||||||||||||||||
ные заряды представим диполем p в центре шара. Его потенциал |
||||||||||||||||
на поверхности шара в соответствии с формулой (17) |
.О |
|||||||||||||||
|
|
ϕø(ϑ) = |
1 |
|
p |
cos ϑ. |
|
|
С |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4πε0 a2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Потенциал |
поверхности должен быть постоянен, а при нашем |
|||||||||||||||
предположении относительно ϕ(0)(x) è â ñèëó òîãî, ÷òî ϕø(ϑ = |
||||||||||||||||
π/2) = 0, äàåò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(0)(ϑ) + ϕø(ϑ) = −E0a cos ϑ + |
1 p |
|
cos ϑ = 0, |
|
||||||||||||
|
a2 |
|
||||||||||||||
4πε0 |
|
|||||||||||||||
откуда p = 4πε0E0a3, а полное поле снаружи шара определяется |
||||||||||||||||
выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
p |
3p |
|
|
|
|
|
|
|||||
E(r)дмираа= 4πε0 µ−r3 + r4 лcos ϑаr¶ + E0. |
|
|
||||||||||||||
На поверхности шара нормальная компонента этого поля равна |
||||||||||||||||
1 |
|
p |
|
3p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En(a) = 4πε0 |
µ− |
|
cos ϑ + a3 cos ϑ¶ + E0 cos ϑ = 3E0 cos ϑ. |
|
||||||||||||
a3 |
|
|||||||||||||||
В силу соотношения (38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имени |
|
σ′ = 3ε0E0 cos ϑ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60