Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Ефимов А.Д. Физика

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
2 Mб
Скачать

веществ сегнетоэлектрики, например, для сегнетовой соли величи- на ε достигает 10 000. Это позволяет делать компактные конденса-

торы с емкостью в десятки и более мкФ.

 

 

Мак

 

 

 

 

 

В результате поляризации вещества тела на его поверхности и

в объеме появляются нескомпенсированные заряды σ

è ρ, êîòî-

рые называются поляризационными или связанными. Эти заряды

создают поле, которое, будучи усредненным по ряду молекул, име-

ет макроскопическое значение E, в результате полное поле имеет

 

 

 

 

.

выражение

 

.О

 

 

 

 

 

 

 

E = E0 + E,

С

 

(46)

 

 

 

 

 

ãäå E0 è Eсоответственно поле свободных и связанных зарядов.

P

 

адмиралP = n < p >, а

 

 

(48)

5.1 Поляризованность или вектор поляризации P

Под поляризованностью понимают объемную плотность дипольно-

го момента. Если взять физически бесконечно малый объем веще-

ñòâà

V , òî

 

 

 

 

 

 

 

=

V →0

P V

pi ,

 

 

 

P

 

lim

V

(47)

 

ãäå pi дипольный момент отдельно взятой молекулы. Дипольный

 

момент молекулы, усредненный по достаточно большому числу мо-

 

i=1 pi =< pi > N =< pi

> n

V , ÷òîP

 

 

лекул N , определим как < pi

 

N

 

 

>=

i=1 pi/N и соответственно

 

N

 

 

 

 

 

с учетом (47) дает

имени

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

ãäå n концентрация молекул.

 

 

 

 

 

Если положительные и отрицательные заряды нейтральной мо-

 

лекулы объемом V

сместили свои центры на вектор l, то диполь-

 

ный момент ее станет равен

 

p = ρ+

V l. Поляризуемость при

Ф

ýòîì

 

 

 

 

 

 

 

ãäå ρ+′ объемная плотность ñìåщенного положительного заряда.

 

 

 

P

=

p

= ρ+

l,

(49)

31

5.2 Связь векторов P è E

Опыт показывает, что поляризованность линейна напряженности Мак

электрического поля в самой среде E. Пропорциональность нару-

шается только в сильных полях, реализуемых, например, в мощных лазерах. Итак, в линейном случае принято

 

 

 

 

 

 

 

P = ε0χE,

 

(50)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.О

 

где χ безразмерная величина и называется диэлектрической вос-

 

приимчивостью. Для однородного и изотропного диэлектрика это

 

число, для неоднородного, но изотропного скалярное поле и χ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

χ(x, y, z), для однородного, но неизотропного постоянный тензор,

 

для неоднородного неизотропного тензорное поле, так что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

(52)

 

 

 

адмиралаIS (P , dS) = −qV′ ,

 

 

 

 

 

Pi

= ε0

χij Ej ,

 

(51)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

где индексы i и j пробегают значения 1, 2, 3, соответствующие ин-

 

дексам координат x, y, z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3 Теорема Гаусса для вектора P

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поток вектора поляризованно-

 

 

 

 

 

 

 

 

N

сти через замкнутую поверх-

 

 

 

 

 

PN

 

 

 

 

 

ность S равен связанному за-

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

ряду внутри этой поверхности,

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

взятый с обратным знаком

имениэтого малого цилиндра равен |P

V | = |P |

S l cos α. С другой

 

 

 

Ðèñ. 14:

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå qV

означает заряд внут-

 

ность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ри тела, не включая поверх-

 

На рис. 14 представлена часть поляризационного диэлектрика.

Ф

Выделим в нем объем в виде косого цилиндра. Дипольный момент

стороны, исходя из наличного связанного поверхностного заряда,

 

эта величина равна σ

 

S

 

l и в результате P cos α = σèëè

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

=

 

= Pn.

 

 

(53)

 

 

 

 

 

 

 

dS

 

32

Проинтегрируем это выражение по поверхности диэлектрика, в результате чего получим суммарный поверхностный заряд qS

 

qV= −qS

qS=

 

IS σdS = IS PndS = IS (P , dS).

(54)

 

, что доказывает выражение (52). Это есть теорема ГауссаМак

 

Данный заряд является связанным, а так как весь диэлектрик

 

нейтрален, то для суммарного заряда внутри объема диэлектрика

 

äëÿ P .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если к теореме Гаусса применим теорему Гаусса-Остроградского

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

IS (P , dS) = ZV divP dV = −ZV ρdV,

.О

 

 

 

адмирала

 

 

 

 

то получим для объемной плотности связанного заряда ρвыраже-

 

íèå

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ= −divP ,

 

 

 

 

 

(55)

 

откуда −divP 0 = ρ0. Сравнение этого соотношения с выраже-

 

нием дивергенции поля свободных зарядов divE0 = ρ00 позволяет

 

по аналогии написать соотношение divE= ρ0, ÷òî äàåò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ

 

 

divP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

divE

 

=

 

= − ε0 .

 

 

 

 

(56)

 

 

 

 

 

ε0

 

 

 

 

имени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.4 Связь ε è χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение для E складывается из поля свободных и связанных

 

зарядов, т.е. E = E0 +E. Применим оператор дивергенции к этому

 

уравнению с учетом соотношения (56).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

divP

 

 

 

divE = divE0 + divE

 

= divE0

 

.

 

 

 

 

ε0

 

Ф

Здесь

и далее будем предполагать диэлектрик изотропным, кро-

ме тех точек, которые лежат на границе нескольких диэлектриков.

 

Это приведет к тому, что во всех точках будет выполняться соот-

 

ношение (50), т.е. векторы E è P всегда сонаправлены, а потому

 

 

divµE + ε0

= divµ(1 + χ)E

= divE0.

(57)

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

Это соотношение справедливо для всех точек и неоднородного диэлектрика, где определены значения χ(x, y, z). Ïðè ýòîì ñîíà-

 

правленность векторов E è E0 необязательна. Если нас интересуют

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мак

 

свойства диэлектрика помимо поля E0 и зарядов, его создающих,

 

то следует распространить локальные свойства диэлектрика на все

 

пространство. В этом случае диэлектрик будет однородным, что

 

приводит к требованию его бесконечности, а свободные заряды на-

 

ходятся в этой среде. В этом случае E k E0

è E ослабляется по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.О

 

 

сравнению с E â ε раз в соответствии с (47), что с учетом (57)

 

приводит к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вещества. Причем в случае неоднородного диэлектрикаС соотноше-

 

 

 

 

 

 

 

 

ε = 1 + χ.

 

 

 

 

 

(58)

 

При отсутствии однородности соотношение (58) продолжает со-

 

храняться, так как ε и χ являются локальными характеристиками

 

 

 

адмираласлучай однородного диэлектрика

 

 

íèå E = E0не выполняется.

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (58) дает удобный способ представления для поля-

 

ризованности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = ε0χE = ε0(ε − 1)E,

 

 

 

 

 

(59)

 

которое справедливо и для неоднородного диэлектрика. Причем в

 

любой точке неоднородного диэлектрика P k

E.

 

 

 

 

5.5 Условия возникновения объемных связанных

 

зарядов ρ

 

) = q0 +χV

äàåò V

 

 

 

 

имениε0

HS

(

, d

 

0

V

 

 

Рассмотрим вначале

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Ïî òåî-

 

реме Гаусса для P (52) и с учетом (50) получаем

 

 

 

 

−qV

= IS (P , dS) = ε0χ IS (E, dS).

 

 

 

 

Однородность диэлектрика использована при вынесении χ из

 

под знака интеграла. Последнее соотношение совместно с теоремой

Ф

Гаусса для E

 

 

E

 

S

 

 

 

q

 

q

= χ(q

 

+ q), откуда

 

 

 

 

 

qV

= −

 

 

q0,

 

 

 

 

 

(60)

 

 

 

 

 

 

1 + χ

 

 

 

 

 

 

что справедливо для любого физически малого объема, а потому

 

 

 

 

 

 

ρ

= −

 

χ

ρ0.

 

 

 

 

 

(61)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + χ

 

 

 

 

 

34

Это уравнение справедливо в пространстве однородного диэлек-

трика, что говорит о том, что при условии однородности объемный

связанный заряд возникает только в тех точках, где не равна нулю

имеем

Мак

объемная плотность свободных зарядов.

 

Рассмотрим случай неоднородного диэлектрика. Для определенности положим, что неоднородность имеется вдоль направления оси OX, т.е. ε = ε(x). Тогда, используя уравнения (55) и (59),

µ

 

ρ

= −divP = −ε0div (ε − 1)E

=

 

 

 

 

 

.

 

 

= −ε0µ

 

(ε − 1)Ex +

 

(ε − 1)Ey

+

 

 

(ε − 1).ОEz =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

∂y

 

∂z

 

 

 

µ

 

∂ε(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

= −ε0

 

 

 

 

Ex + (ε − 1)divE=

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

 

 

 

= −ε0

 

∂ε(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ex − (ε − 1)(ρ0 + ρ

).

 

 

 

 

 

(62)

 

 

 

 

∂x

 

 

 

 

 

 

 

При получении этого выражения было использовано уравнение

 

ε0divE = ρ0 + ρ. Из (62) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ=

 

 

ε0

 

∂ε(x)

 

E

 

ε − 1 ρ

.

 

(63)

 

 

 

 

 

ε µ

∂x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

0

 

 

 

 

 

Таким образом, в неоднородном диэлектрике возникают допол-

 

нительные объемные связанные заряды, если в направлении неод-

 

нородности имеется компонента поля напряженности.

 

В общем случае, если ε = ε(x, y, z), то получается соотношение

 

 

 

 

 

 

адмирала

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ=

 

 

ε0

 

( ε, E)

 

ε − 1

ρ

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

0

 

 

 

 

 

 

которое не позволяет непосредственно найти ρ, так как напряжен-

 

ность E определяется и связанными зарядами.

 

 

 

5.6

Вектор смещения D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

по аналогии с теоремой Гауссасвязанапотокс поискомчерез замкнутуювеличины, поверхностьдлякоторой

Идея введения вектора D

определялся бы только свободными зарядами и не зависел от связанных зарядов диэлектрика. Дивергенция полного поля зависит

35

от совокупности всех зарядов, свободных и связанных. Поскольку

ρ= −divP , òî

 

 

divE =

ρ

 

=

ρ0 − divP

,

 

 

 

Мак

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε0

 

ε0

 

 

 

 

что позволяет написать уравнение div(ε0E + P ) = ρ0 и этим ввести

 

вектор смещения D, удовлетворяющий соответствующему уравне-

 

íèþ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D = ε0E + P ; divD = ρ0,

 

 

 

(64)

 

которое можно написать в интегральной форме

 

 

 

 

IS (D, dS) = ZV ρ0dV.

С

 

 

 

 

.О(65)

 

 

адмирала

 

 

 

 

Для изотропного диэлектрика P = ε0χE è D = ε0E + ε0

χE =

 

ε0εE, ò.å.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E =

1 D.

 

 

 

(66)

 

 

 

 

 

 

ε0ε

 

 

 

 

 

Это соотношение справедливо и для неоднородного диэлектри-

 

ка. Это значит, что если диэлектрик изотропен, то векторы E è D

 

сонаправлены. Параллельность же векторов D è E0 может оказать-

 

ся только делом случая. Это значит, что вектор D не определяется

 

лишь свободными зарядами, хотя имеют место соотношения (64) и

 

(65).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Собственно физического смысла вектор D не имеет, но позво-

именири и снаружи шара в зависимости от расстояния r до центра.

 

ляет проще находить напряженность E для систем с большой сте-

 

пенью симметрии. Для этого можно использовать уравнение (65),

 

а потом (66).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соотношение (59) не выполняется для электретов, обладающих поляриза-

 

цией при отсутствии внешнего поля, а потому не выполняется и соотношение

 

(66).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим несколько примеров.

 

 

 

Ф

Пример 1. В центре диэлектрика (ε) в форме шара радиусом R

имеется заряд q0. Найти напряженность электрического поля внут-

 

Из уравнения (65) 4πr2D = q0, откуда D = q0/(4πr2) и в соответствии с (66) внутри и снаружи диэлектрика

E(r < R) =

1 q0

; E(r > R) =

1 q0

,

 

 

 

 

 

 

4πε0ε r2

4πε0 r2

 

 

 

36

 

откуда видно, что E ïðè r = R претерпевает разрыв.

 

 

 

 

Рассмотрим как эту задачу можно решить, не используя вектор

 

D. В силу (60) связанный заряд в центре шара равен qV= −(ε −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мак

 

1)q0/ε, а связанный поверхностный заряд имеет противоположное

 

значение по знаку, qS= −qV, поэтому внутри шара

 

 

 

 

 

 

 

E(r < R) =

1

 

q0 + qV

=

1

 

q0 − (ε − 1)q0

=

1 q0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4πε0ε r2

 

 

 

 

4πε0 r2

4πε0

 

 

 

r2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.О

 

 

т.е. получен предыдущий результат, снаружи же результат получа-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ется автоматически, так как qS

+ qV

 

С

 

 

 

 

Пример 2. Диэлектрик (ε) в форме шара радиусом R равно-

 

мерно зарядили, плотность заряда ρ0. Найти объемную плотность

 

заряда и напряженность электрического поля внутри и снаружи

 

øàðà.

адмирала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с (61) связанная объемная плотность заряда

 

 

 

 

 

 

ρ=

ε − 1

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и соответственно полная плотность заряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0µ

 

 

 

ε

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ = ρ

 

+ ρ= ρ

1

 

 

 

ε − 1

=

ρ0 .

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, при расчете напряженности электрического по-

 

ля внутри шара можно забыть о его диэлектрических свойствах, но

 

при этом произвести замену ρ0

→ ρ0

/ε. Снаружи же шара напря-

именивектор D, меняет направление, а поле свободных зарядов E0 åãî íå

 

женность поля будет определяться только свободными зарядами.

 

Повторим, что вектор электрического смещения D физических

 

свойств не имеет. Само его введение удобно в силу того, что теорема

 

Гаусса по отношению к нему справедлива в любой диэлектрической

 

среде и поток определяется только свободными зарядами. В этом

 

отношении D казалось бы ближе к полю, создаваемому свободными

 

зарядами, но это не так. Очевидность этого следует из того, что на

Ф

границе диэлектрика, как это мы увидим ниже, полное поле, как и

То, что векторы E è D сонаправлены (не для электретов) в лю-

 

меняет. Поэтому вектор D определяется и связанными зарядами.

бой точке изотропного диэлектрика, делает геометрические свойства D подобными E. Уравнения (64) и (65) удобно использовать

37

Ðèñ. 16:
Ðèñ. 15:

при выполнении двух условий. Первое условие: наличие предельной симметрии свободных зарядов, как это было для E в вакууме.

Второе условие: эта симметрия должна дублироваться для диэлектрика. В этих случаях теорема Гаусса для D позволяет найти D, à

после этого полное поле E = D/(εε0). Если симметрии нет, напри-

мер, свободный заряд располагается не в центре диэлектрического

шара, то уравнения (64) и (65) оказываются отчасти бесполезными.

5.7 Граничные условия для P

 

 

Мак

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граничное условие для нормальной компоненты P на границе двух

диэлектриков получим с помощью соотношения (52). Для этого во-

образим короткий цилиндр, проходящий

 

.О

 

 

серединой через границу.

При этом высота цилиндра

h

S

. В этом случае потоком

 

 

 

 

 

 

 

S (P , dS) =

P через боковую поверхность пренебрегаем, и тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

S + P

, где индексы 1 и 2 различают диэлектрики, n

P2n

1n S

 

 

 

 

 

 

H

 

 

определяет направление от первого ко второму диэлектрику, n

 

наоборот (рис. 15). Заряд внутри цилиндра qV= σ

 

S. Òàê êàê

n′ = −n, òî P1n′ =адмирала−P1n и ′ (рис. 16). Из этосреда является вакуумом, то P1n = 0, P2n = −σ

 

 

 

 

 

 

P2n − P1n = −σ.

 

 

 

(67)

 

 

 

Таким образом, нормальная компонента вектора P претерпе-

 

вает разрыв, равный поверхностному заряду. В приведенной фор-

 

муле направление вектора n определяется движением от первого

 

диэлектрика ко второму. Если вторая среда является вакуумом, то

 

P2n = 0, P1n

= σ, что соответствует формуле (53). Если же первая

имени

 

 

1

 

P2n = −σ '

 

го рисунка видно, что при положительном поверхностном заряде

 

вектор P всегда направлен из диэлектрика в вакуум.

 

 

 

 

 

 

S

 

N

P

= σ '

N

 

 

 

 

N

 

 

2

1n

 

2

ε

 

 

 

 

 

 

 

ε

2

 

 

Ф

 

 

N'

 

 

H

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

5.8Граничные условия на границе диэлектриков для E è D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мак

 

Найдем соотношение нормальных и тангенциальных (т.е. по каса-

 

тельной к поверхности границы, разделяющей два диэлектрика)

 

компонент рассматриваемых векторов. Начнем с тангенциональной

 

составляющей. Уравнение (15) относится к полному полю E, à íå

 

к вектору D, так как связано с физической величиной, потенци-

 

это представлено на

 

H

 

 

h l

 

τ

 

= −τ

 

 

.

 

альной силой, поэтому

(E, dl) = 0. Выберем контур так, как

 

E= −E, и с учетом (66) получаем

 

 

,

 

 

.О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис. 17, причем

 

 

 

 

 

единичные

 

векторы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

В соответствии с (15) El + E′ l = 0, что приводит к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

вектора n в уравненииадмирала(69). Если сторонних

зарядов нет, то σ0

 

 

 

 

 

 

 

E

= E;

D1τ

=

D2τ

.

 

 

 

 

 

 

(68)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε1

 

ε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для получения соотношений нормальных составляющих необ-

 

ходимо использовать именно вектор D, так как для него имеется

 

уравнение (65), определяющееся только свободными зарядами. По-

 

вторяя все выкладки, проведенные при выводе граничных условий

 

äëÿ P , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D2n − D1n = σ0,

 

 

 

 

 

 

 

(69)

 

ãäå σ0 плотность поверхностного стороннего заряда, n вектор,

 

направленный из первой среды во вторую, как это изображе-

имени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но на рис. 18. Этим осуществляется согласование индексов 1, 2 и

 

и c учетом (66), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D1n = D2n;

ε1E1n = ε2E2n.

 

 

 

 

 

(70)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

S

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

τ'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 17:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 18:

 

 

39

 

Исходя из соотношения (29) и используя (68), можно получить

 

выражение, связывающее тангенциальные компоненты вектора по-

 

ляризации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мак

 

 

 

 

 

 

P− P

= µ ε1 − 1D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.9 Преломление силовых линий E è D

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

Для определенности примем ε2 > ε1,

 

 

 

E

 

 

 

 

тогда в соответствии с рис. 19 соот-

 

 

ε

1

 

 

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.О

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

ношение углов падения и преломления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линий E относительно границы диэлек-

 

 

 

 

ε0

α2

 

 

триков следующие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

адмир= E2n − E1n = алаE2nµ1 − ε1 .

E

ε

 

 

(72)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg α

2

 

E

/E

2n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С1n

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 19:

 

 

 

 

 

tg α1

=

E/E1n

 

=

E2n

=

ε1

, (71)

 

что говорит о том, что линии E после прохождения границы ди-

 

электриков при ε2 > ε1 прижимаются ближе к ней. Граничные

 

условия позволяют получить полезное соотношение для значения

 

σ′ на границе двух диэлектриков. Для этого, используя соотноше-

 

íèå (70) äëÿ D и (64), получаем ε0E2n + P2n = ε0E1n + P1n. Ïîä-

 

ставляя сюда соотношение (67), определяющее соотношение между

 

P2n è P1n, получаем σ

= ε0(E2n − E1n), откуда с учетом (70) для

 

E следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим соотношение значений E1 è E2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

2

 

ε2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E1

= E

+ E1n = E

+

ε2 E2n =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(73)

 

 

 

 

 

 

E2 + µ ε12 − 1E2n,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ε2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

залось бы значения E2 должны быть больше, чем E1 (значение E

что говорит о том, что E1 > E2. Таким образом, несмотря на то, что преломленные линии E проходят с большим наклоном и ка-

пропорционально плотности линий), но это не так. Графически такую ситуацию можно представить так, что число силовых линий,

40