Ефимов А.Д. Физика
.pdfвеществ сегнетоэлектрики, например, для сегнетовой соли величи- на ε достигает 10 000. Это позволяет делать компактные конденса-
торы с емкостью в десятки и более мкФ. |
|
|
Мак |
||
|
|
|
|
|
|
В результате поляризации вещества тела на его поверхности и |
|||||
в объеме появляются нескомпенсированные заряды σ′ |
è ρ′, êîòî- |
||||
рые называются поляризационными или связанными. Эти заряды |
|||||
создают поле, которое, будучи усредненным по ряду молекул, име- |
|||||
ет макроскопическое значение E′, в результате полное поле имеет |
|||||
|
|
|
|
. |
|
выражение |
|
.О |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
E = E0 + E′, |
С |
|
(46) |
|
|
|
|
|
|
ãäå E0 è E′ соответственно поле свободных и связанных зарядов. |
|||||
P |
|
адмиралP = n < p >, а |
|
|
(48) |
5.1 Поляризованность или вектор поляризации P |
|||||
Под поляризованностью понимают объемную плотность дипольно- |
|||||
го момента. Если взять физически бесконечно малый объем веще- |
|||||
ñòâà |
V , òî |
|
|
|
|
|
|
|
= |
V →0 |
P V |
pi , |
|
|
|
|
P |
|
lim |
V |
(47) |
||
|
ãäå pi дипольный момент отдельно взятой молекулы. Дипольный |
|||||||
|
момент молекулы, усредненный по достаточно большому числу мо- |
|||||||
|
i=1 pi =< pi > N =< pi |
> n |
V , ÷òîP |
|
||||
|
лекул N , определим как < pi |
|
N |
|
||||
|
>= |
i=1 pi/N и соответственно |
||||||
|
N |
|
|
|
|
|
с учетом (47) дает |
|
имени |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
V |
|
|
|
||
|
ãäå n концентрация молекул. |
|
|
|
|
|||
|
Если положительные и отрицательные заряды нейтральной мо- |
|||||||
|
лекулы объемом V |
сместили свои центры на вектор l, то диполь- |
||||||
|
ный момент ее станет равен |
|
p = ρ+′ |
V l. Поляризуемость при |
||||
Ф |
ýòîì |
|
|
|
|
|
|
|
ãäå ρ+′ объемная плотность ñìåщенного положительного заряда. |
||||||||
|
|
|
P |
= |
p |
= ρ+′ |
l, |
(49) |
31
5.2 Связь векторов P è E
Опыт показывает, что поляризованность линейна напряженности Мак
электрического поля в самой среде E. Пропорциональность нару-
шается только в сильных полях, реализуемых, например, в мощных лазерах. Итак, в линейном случае принято
|
|
|
|
|
|
|
P = ε0χE, |
|
(50) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
|
где χ безразмерная величина и называется диэлектрической вос- |
||||||||||||||
|
приимчивостью. Для однородного и изотропного диэлектрика это |
||||||||||||||
|
число, для неоднородного, но изотропного скалярное поле и χ = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
χ(x, y, z), для однородного, но неизотропного постоянный тензор, |
||||||||||||||
|
для неоднородного неизотропного тензорное поле, так что |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
(52) |
||
|
|
|
адмиралаIS (P , dS) = −qV′ , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Pi |
= ε0 |
χij Ej , |
|
(51) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
где индексы i и j пробегают значения 1, 2, 3, соответствующие ин- |
||||||||||||||
|
дексам координат x, y, z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5.3 Теорема Гаусса для вектора P |
|
|||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поток вектора поляризованно- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
сти через замкнутую поверх- |
||||||
|
|
|
|
|
PN |
|
|
|
|
|
ность S равен связанному за- |
||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
ряду внутри этой поверхности, |
||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
взятый с обратным знаком |
|||||||
имениэтого малого цилиндра равен |P |
V | = |P | |
S l cos α. С другой |
|||||||||||||
|
|
|
Ðèñ. 14: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå qV′ |
означает заряд внут- |
||
|
ность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ри тела, не включая поверх- |
|||
|
На рис. 14 представлена часть поляризационного диэлектрика. |
||||||||||||||
Ф |
Выделим в нем объем в виде косого цилиндра. Дипольный момент |
||||||||||||||
стороны, исходя из наличного связанного поверхностного заряда, |
|||||||||||||||
|
эта величина равна σ′ |
|
S |
|
l и в результате P cos α = σ′ èëè |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
dq′ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
σ |
|
= |
|
= Pn. |
|
|
(53) |
||
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
32
Проинтегрируем это выражение по поверхности диэлектрика, в результате чего получим суммарный поверхностный заряд qS′
|
qV′ = −qS′ |
qS′ = |
|
IS σ′dS = IS PndS = IS (P , dS). |
(54) |
||||||||||||||
|
, что доказывает выражение (52). Это есть теорема ГауссаМак |
||||||||||||||||||
|
Данный заряд является связанным, а так как весь диэлектрик |
||||||||||||||||||
|
нейтрален, то для суммарного заряда внутри объема диэлектрика |
||||||||||||||||||
|
äëÿ P . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если к теореме Гаусса применим теорему Гаусса-Остроградского |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
||
|
|
IS (P , dS) = ZV divP dV = −ZV ρ′dV, |
.О |
||||||||||||||||
|
|
|
адмирала |
|
|
|
|||||||||||||
|
то получим для объемной плотности связанного заряда ρ′ выраже- |
||||||||||||||||||
|
íèå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ′ = −divP , |
|
|
|
|
|
(55) |
|||||
|
откуда −divP /ε0 = ρ′/ε0. Сравнение этого соотношения с выраже- |
||||||||||||||||||
|
нием дивергенции поля свободных зарядов divE0 = ρ0/ε0 позволяет |
||||||||||||||||||
|
по аналогии написать соотношение divE′ = ρ′/ε0, ÷òî äàåò |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
ρ′ |
|
|
divP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divE |
|
= |
|
= − ε0 . |
|
|
|
|
(56) |
|||||
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
||||||||||
имени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5.4 Связь ε è χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Выражение для E складывается из поля свободных и связанных |
||||||||||||||||||
|
зарядов, т.е. E = E0 +E′. Применим оператор дивергенции к этому |
||||||||||||||||||
|
уравнению с учетом соотношения (56). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
divP |
|
||
|
|
divE = divE0 + divE |
|
= divE0 |
− |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
ε0 |
|
|||||||||||||||
Ф |
Здесь |
и далее будем предполагать диэлектрик изотропным, кро- |
|||||||||||||||||
ме тех точек, которые лежат на границе нескольких диэлектриков. |
|||||||||||||||||||
|
Это приведет к тому, что во всех точках будет выполняться соот- |
||||||||||||||||||
|
ношение (50), т.е. векторы E è P всегда сонаправлены, а потому |
||||||||||||||||||
|
|
divµE + ε0 |
¶ = divµ(1 + χ)E¶ |
= divE0. |
(57) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Это соотношение справедливо для всех точек и неоднородного диэлектрика, где определены значения χ(x, y, z). Ïðè ýòîì ñîíà-
|
правленность векторов E è E0 необязательна. Если нас интересуют |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мак |
|
свойства диэлектрика помимо поля E0 и зарядов, его создающих, |
|||||||||||||||||
|
то следует распространить локальные свойства диэлектрика на все |
|||||||||||||||||
|
пространство. В этом случае диэлектрик будет однородным, что |
|||||||||||||||||
|
приводит к требованию его бесконечности, а свободные заряды на- |
|||||||||||||||||
|
ходятся в этой среде. В этом случае E k E0 |
è E ослабляется по |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
|
сравнению с E â ε раз в соответствии с (47), что с учетом (57) |
|||||||||||||||||
|
приводит к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вещества. Причем в случае неоднородного диэлектрикаС соотноше- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ε = 1 + χ. |
|
|
|
|
|
(58) |
||||
|
При отсутствии однородности соотношение (58) продолжает со- |
|||||||||||||||||
|
храняться, так как ε и χ являются локальными характеристиками |
|||||||||||||||||
|
|
|
адмираласлучай однородного диэлектрика |
|
||||||||||||||
|
íèå E = E0/ε не выполняется. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Уравнение (58) дает удобный способ представления для поля- |
|||||||||||||||||
|
ризованности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = ε0χE = ε0(ε − 1)E, |
|
|
|
|
|
(59) |
||||||||
|
которое справедливо и для неоднородного диэлектрика. Причем в |
|||||||||||||||||
|
любой точке неоднородного диэлектрика P k |
E. |
|
|
|
|||||||||||||
|
5.5 Условия возникновения объемных связанных |
|||||||||||||||||
|
зарядов ρ′ |
|
′) = q0 +χV |
äàåò − V |
|
|
|
|
||||||||||
имениε0 |
HS |
( |
, d |
|
0 |
V |
|
|||||||||||
|
Рассмотрим вначале |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Ïî òåî- |
||||
|
реме Гаусса для P (52) и с учетом (50) получаем |
|
|
|
||||||||||||||
|
−qV′ |
= IS (P , dS) = ε0χ IS (E, dS). |
|
|
|
|||||||||||||
|
Однородность диэлектрика использована при вынесении χ из |
|||||||||||||||||
|
под знака интеграла. Последнее соотношение совместно с теоремой |
|||||||||||||||||
Ф |
Гаусса для E |
|
|
E |
|
S |
|
|
|
q′ |
|
q′ |
= χ(q |
|
+ q′ ), откуда |
|||
|
|
|
|
|
qV |
= − |
|
|
q0, |
|
|
|
|
|
(60) |
|||
|
|
|
|
|
|
1 + χ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
что справедливо для любого физически малого объема, а потому |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ρ |
′ |
= − |
|
χ |
ρ0. |
|
|
|
|
|
(61) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + χ |
|
|
|
|
|
34
Это уравнение справедливо в пространстве однородного диэлек- |
|
трика, что говорит о том, что при условии однородности объемный |
|
связанный заряд возникает только в тех точках, где не равна нулю |
|
имеем |
Мак |
объемная плотность свободных зарядов. |
|
Рассмотрим случай неоднородного диэлектрика. Для определенности положим, что неоднородность имеется вдоль направления оси OX, т.е. ε = ε(x). Тогда, используя уравнения (55) и (59),
µ¶
|
ρ′ |
= −divP = −ε0div (ε − 1)E |
= |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
= −ε0µ |
|
∂ |
(ε − 1)Ex + |
|
∂ |
(ε − 1)Ey |
+ |
|
|
∂ |
(ε − 1).ОEz ¶ = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|||||||||||||||||||
|
|
|
µ |
|
∂ε(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|||||||||
|
|
= −ε0 |
|
|
|
|
Ex + (ε − 1)divE¶ = |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
= −ε0 |
|
∂ε(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ex − (ε − 1)(ρ0 + ρ |
). |
|
|
|
|
|
(62) |
|||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
При получении этого выражения было использовано уравнение |
|||||||||||||||||||||||||
|
ε0divE = ρ0 + ρ′. Из (62) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ρ′ = |
|
|
ε0 |
|
∂ε(x) |
|
E |
|
ε − 1 ρ |
. |
|
(63) |
||||||||||
|
|
|
|
− |
|
ε µ |
∂x |
|
x − |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¶ |
|
|
ε |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
Таким образом, в неоднородном диэлектрике возникают допол- |
|||||||||||||||||||||||||
|
нительные объемные связанные заряды, если в направлении неод- |
|||||||||||||||||||||||||
|
нородности имеется компонента поля напряженности. |
|||||||||||||||||||||||||
|
В общем случае, если ε = ε(x, y, z), то получается соотношение |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
адмирала |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ρ′ = |
|
|
ε0 |
|
( ε, E) |
|
ε − 1 |
ρ |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
− ε |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
ε |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
которое не позволяет непосредственно найти ρ′, так как напряжен- |
|||||||||||||||||||||||||
|
ность E определяется и связанными зарядами. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
5.6 |
Вектор смещения D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
имени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ф |
по аналогии с теоремой Гауссасвязанапотокс поискомчерез замкнутуювеличины, поверхностьдлякоторой |
Идея введения вектора D
определялся бы только свободными зарядами и не зависел от связанных зарядов диэлектрика. Дивергенция полного поля зависит
35
от совокупности всех зарядов, свободных и связанных. Поскольку
ρ′ = −divP , òî
|
|
divE = |
ρ |
|
= |
ρ0 − divP |
, |
|
|
|
Мак |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ε0 |
|
ε0 |
|
|
|
||||||
|
что позволяет написать уравнение div(ε0E + P ) = ρ0 и этим ввести |
|||||||||||||
|
вектор смещения D, удовлетворяющий соответствующему уравне- |
|||||||||||||
|
íèþ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
D = ε0E + P ; divD = ρ0, |
|
|
|
(64) |
||||||||
|
которое можно написать в интегральной форме |
|
|
|||||||||||
|
|
IS (D, dS) = ZV ρ0dV. |
С |
|
||||||||||
|
|
|
.О(65) |
|||||||||||
|
|
адмирала |
|
|
|
|||||||||
|
Для изотропного диэлектрика P = ε0χE è D = ε0E + ε0 |
χE = |
||||||||||||
|
ε0εE, ò.å. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = |
1 D. |
|
|
|
(66) |
||||||
|
|
|
|
|
|
ε0ε |
|
|
|
|
||||
|
Это соотношение справедливо и для неоднородного диэлектри- |
|||||||||||||
|
ка. Это значит, что если диэлектрик изотропен, то векторы E è D |
|||||||||||||
|
сонаправлены. Параллельность же векторов D è E0 может оказать- |
|||||||||||||
|
ся только делом случая. Это значит, что вектор D не определяется |
|||||||||||||
|
лишь свободными зарядами, хотя имеют место соотношения (64) и |
|||||||||||||
|
(65). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Собственно физического смысла вектор D не имеет, но позво- |
|||||||||||||
именири и снаружи шара в зависимости от расстояния r до центра. |
||||||||||||||
|
ляет проще находить напряженность E для систем с большой сте- |
|||||||||||||
|
пенью симметрии. Для этого можно использовать уравнение (65), |
|||||||||||||
|
а потом (66). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение (59) не выполняется для электретов, обладающих поляриза- |
|||||||||||||
|
цией при отсутствии внешнего поля, а потому не выполняется и соотношение |
|||||||||||||
|
(66). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим несколько примеров. |
|
|
|
||||||||||
Ф |
Пример 1. В центре диэлектрика (ε) в форме шара радиусом R |
|||||||||||||
имеется заряд q0. Найти напряженность электрического поля внут- |
||||||||||||||
|
Из уравнения (65) 4πr2D = q0, откуда D = q0/(4πr2) и в соответствии с (66) внутри и снаружи диэлектрика
E(r < R) = |
1 q0 |
; E(r > R) = |
1 q0 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
4πε0ε r2 |
4πε0 r2 |
||||||||
|
|
|
36
|
откуда видно, что E ïðè r = R претерпевает разрыв. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим как эту задачу можно решить, не используя вектор |
||||||||||||||||||||||||
|
D. В силу (60) связанный заряд в центре шара равен qV′ = −(ε − |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мак |
|
1)q0/ε, а связанный поверхностный заряд имеет противоположное |
||||||||||||||||||||||||
|
значение по знаку, qS′ = −qV′ , поэтому внутри шара |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
E(r < R) = |
1 |
|
q0 + qV′ |
= |
1 |
|
q0 − (ε − 1)q0/ε |
= |
1 q0 |
, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4πε0ε r2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4πε0 r2 |
4πε0 |
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
||||
|
т.е. получен предыдущий результат, снаружи же результат получа- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ется автоматически, так как qS |
+ qV |
|
С |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Пример 2. Диэлектрик (ε) в форме шара радиусом R равно- |
||||||||||||||||||||||||
|
мерно зарядили, плотность заряда ρ0. Найти объемную плотность |
||||||||||||||||||||||||
|
заряда и напряженность электрического поля внутри и снаружи |
||||||||||||||||||||||||
|
øàðà. |
адмирала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
В соответствии с (61) связанная объемная плотность заряда |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ρ′ = |
ε − 1 |
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
ε |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
и соответственно полная плотность заряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0µ |
|
− |
|
|
ε |
¶ |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ρ = ρ |
|
+ ρ′ = ρ |
1 |
|
|
|
ε − 1 |
= |
ρ0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Таким образом, при расчете напряженности электрического по- |
||||||||||||||||||||||||
|
ля внутри шара можно забыть о его диэлектрических свойствах, но |
||||||||||||||||||||||||
|
при этом произвести замену ρ0 |
→ ρ0 |
/ε. Снаружи же шара напря- |
||||||||||||||||||||||
именивектор D, меняет направление, а поле свободных зарядов E0 åãî íå |
|||||||||||||||||||||||||
|
женность поля будет определяться только свободными зарядами. |
||||||||||||||||||||||||
|
Повторим, что вектор электрического смещения D физических |
||||||||||||||||||||||||
|
свойств не имеет. Само его введение удобно в силу того, что теорема |
||||||||||||||||||||||||
|
Гаусса по отношению к нему справедлива в любой диэлектрической |
||||||||||||||||||||||||
|
среде и поток определяется только свободными зарядами. В этом |
||||||||||||||||||||||||
|
отношении D казалось бы ближе к полю, создаваемому свободными |
||||||||||||||||||||||||
|
зарядами, но это не так. Очевидность этого следует из того, что на |
||||||||||||||||||||||||
Ф |
границе диэлектрика, как это мы увидим ниже, полное поле, как и |
||||||||||||||||||||||||
То, что векторы E è D сонаправлены (не для электретов) в лю- |
|||||||||||||||||||||||||
|
меняет. Поэтому вектор D определяется и связанными зарядами. |
бой точке изотропного диэлектрика, делает геометрические свойства D подобными E. Уравнения (64) и (65) удобно использовать
37
при выполнении двух условий. Первое условие: наличие предельной симметрии свободных зарядов, как это было для E в вакууме.
Второе условие: эта симметрия должна дублироваться для диэлектрика. В этих случаях теорема Гаусса для D позволяет найти D, à
после этого полное поле E = D/(εε0). Если симметрии нет, напри-
мер, свободный заряд располагается не в центре диэлектрического |
||||||||||||
шара, то уравнения (64) и (65) оказываются отчасти бесполезными. |
||||||||||||
5.7 Граничные условия для P |
|
|
Мак |
|||||||||
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Граничное условие для нормальной компоненты P на границе двух |
||||||||||||
диэлектриков получим с помощью соотношения (52). Для этого во- |
||||||||||||
образим короткий цилиндр, проходящий |
|
.О |
|
|
||||||||
серединой через границу. |
||||||||||||
При этом высота цилиндра |
h |
√ |
S |
. В этом случае потоком |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S (P , dS) = |
|||||
P через боковую поверхность пренебрегаем, и тогда |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
||
|
S + P |
′ |
, где индексы 1 и 2 различают диэлектрики, n |
|||||||||
P2n |
1n S |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
′ |
|||
определяет направление от первого ко второму диэлектрику, n |
|
|||||||||||
наоборот (рис. 15). Заряд внутри цилиндра qV′ = σ′ |
|
S. Òàê êàê |
n′ = −n, òî P1n′ =адмирала−P1n и ′ (рис. 16). Из этосреда является вакуумом, то P1n = 0, P2n = −σ
|
|
|
|
|
|
P2n − P1n = −σ′. |
|
|
|
(67) |
|
|
|
|
Таким образом, нормальная компонента вектора P претерпе- |
||||||||
|
вает разрыв, равный поверхностному заряду. В приведенной фор- |
||||||||||
|
муле направление вектора n определяется движением от первого |
||||||||||
|
диэлектрика ко второму. Если вторая среда является вакуумом, то |
||||||||||
|
P2n = 0, P1n |
= σ′, что соответствует формуле (53). Если же первая |
|||||||||
имени |
|
|
1 |
|
P2n = −σ ' |
||||||
|
го рисунка видно, что при положительном поверхностном заряде |
||||||||||
|
вектор P всегда направлен из диэлектрика в вакуум. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
S |
|
N |
P |
= σ ' |
N |
|
|
|
|
N |
|
|
2 |
1n |
|
2 |
ε |
||
|
|
|
|
|
|
|
ε |
2 |
|
|
|
Ф |
|
|
N' |
|
|
H |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
5.8Граничные условия на границе диэлектриков для E è D
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мак |
|
Найдем соотношение нормальных и тангенциальных (т.е. по каса- |
||||||||||||||||||||||
|
тельной к поверхности границы, разделяющей два диэлектрика) |
||||||||||||||||||||||
|
компонент рассматриваемых векторов. Начнем с тангенциональной |
||||||||||||||||||||||
|
составляющей. Уравнение (15) относится к полному полю E, à íå |
||||||||||||||||||||||
|
к вектору D, так как связано с физической величиной, потенци- |
||||||||||||||||||||||
|
это представлено на |
|
H |
|
|
h l |
|
τ |
|
= −τ |
|
|
. |
||||||||||
|
альной силой, поэтому |
(E, dl) = 0. Выберем контур так, как |
|||||||||||||||||||||
|
E1τ ′ = −E2τ , и с учетом (66) получаем |
|
|
, |
|
′ |
|
.О |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 17, причем |
|
|
|
|
|
единичные |
||||||||
|
векторы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|||||
|
|
В соответствии с (15) E2τ l + E1τ ′ l = 0, что приводит к |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
||||||
|
вектора n в уравненииадмирала(69). Если сторонних |
зарядов нет, то σ0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E1τ |
= E2τ ; |
D1τ |
= |
D2τ |
. |
|
|
|
|
|
|
(68) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε1 |
|
ε2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Для получения соотношений нормальных составляющих необ- |
|||||||||||||||||||||
|
ходимо использовать именно вектор D, так как для него имеется |
||||||||||||||||||||||
|
уравнение (65), определяющееся только свободными зарядами. По- |
||||||||||||||||||||||
|
вторяя все выкладки, проведенные при выводе граничных условий |
||||||||||||||||||||||
|
äëÿ P , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2n − D1n = σ0, |
|
|
|
|
|
|
|
(69) |
|||||
|
ãäå σ0 плотность поверхностного стороннего заряда, n вектор, |
||||||||||||||||||||||
|
направленный из первой среды во вторую, как это изображе- |
||||||||||||||||||||||
имени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
но на рис. 18. Этим осуществляется согласование индексов 1, 2 и |
||||||||||||||||||||||
|
и c учетом (66), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
D1n = D2n; |
ε1E1n = ε2E2n. |
|
|
|
|
|
(70) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
S |
H |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N' |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
τ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ðèñ. 17: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 18: |
|
|
39
|
Исходя из соотношения (29) и используя (68), можно получить |
||||||||||||||||||||||||||
|
выражение, связывающее тангенциальные компоненты вектора по- |
||||||||||||||||||||||||||
|
ляризации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мак |
|||
|
|
|
|
|
|
P2τ − P1τ |
= µ ε1 − 1¶D1τ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.9 Преломление силовых линий E è D |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
α |
|
|
|
|
Для определенности примем ε2 > ε1, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
тогда в соответствии с рис. 19 соот- |
|||||||||||||||||||
|
|
ε |
1 |
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.О |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ε |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ношение углов падения и преломления |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линий E относительно границы диэлек- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ε0 |
α2 |
|
|
триков следующие |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
адмир= E2n − E1n = алаE2nµ1 − ε1 ¶. |
E |
ε |
|
|
(72) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg α |
2 |
|
E |
2τ |
/E |
2n |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Ðèñ. 19: |
|
|
|
|
|
tg α1 |
= |
E1τ /E1n |
|
= |
E2n |
= |
ε1 |
, (71) |
||||||||||
|
что говорит о том, что линии E после прохождения границы ди- |
||||||||||||||||||||||||||
|
электриков при ε2 > ε1 прижимаются ближе к ней. Граничные |
||||||||||||||||||||||||||
|
условия позволяют получить полезное соотношение для значения |
||||||||||||||||||||||||||
|
σ′ на границе двух диэлектриков. Для этого, используя соотноше- |
||||||||||||||||||||||||||
|
íèå (70) äëÿ D и (64), получаем ε0E2n + P2n = ε0E1n + P1n. Ïîä- |
||||||||||||||||||||||||||
|
ставляя сюда соотношение (67), определяющее соотношение между |
||||||||||||||||||||||||||
|
P2n è P1n, получаем σ′ |
= ε0(E2n − E1n), откуда с учетом (70) для |
|||||||||||||||||||||||||
|
E следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
σ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим соотношение значений E1 è E2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
ε2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
E1 |
= E1τ |
+ E1n = E2τ |
+ |
ε2 E2n = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(73) |
|
|
|
|
|
|
E2 + µ ε12 − 1¶E2n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ε2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ф |
залось бы значения E2 должны быть больше, чем E1 (значение E |
что говорит о том, что E1 > E2. Таким образом, несмотря на то, что преломленные линии E проходят с большим наклоном и ка-
пропорционально плотности линий), но это не так. Графически такую ситуацию можно представить так, что число силовых линий,
40