1.9. Основные типы алгебраических структур.

Пусть идва произвольных непустых множества.Декартовым произведением этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида, где. При этом две парыи, где, считаются равными, если. Если, тогда множествоназывается декартовым квадратом множества.

Пусть .Внутренним законом композиции на множестве называется произвольное отображение декартова квадратаво множество. Внутренний закон композиции на множествекаждой пареэлементов множестваставит в соответствие определенный элемент множества, который принято обозначать в виде сочетания трёх символов: элементови некоторого знака их соединяющего и одновременно позволяющего отличать друг от друга различные законы композиции, например,

,

и т.д.

Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чиселставят в соответствие их сумму, разность и произведение,

.

Введенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а умножение матриц – внутренним законом композиции на множестве.

Пусть .Внешним законом композиции на множестве над множествомназывается произвольное отображение множестваво множество.

Примером внешнего закона композиции на множестве матриц над множеством действительных чиселявляется операция умножения матрицы на число,

.

Задание на некотором множестве одного или нескольких законов композиции, внутренних или (и) внешних, обладающих некоторыми стандартными свойствами, определяет на этом множестве различные алгебраические структуры (группы, поля, кольца, линейного пространства, алгебры и т.д.).

Если внутренний закон композиции на множестве , записываемый как умножение, обладает свойствами:

1) (ассоциативность)

для любых из;

2) в существует такой элемент, что

(существование единицы)

для каждого из;

3) для каждого элемента изнайдется такой элемент, что

(обратимость)

тогда говорят, что закон композиции определяет на структуру группы. Элемент называется при этом единицей группы, а элементиз 3) – обратным кэлементом и обозначается.

Если наряду со свойствами 1) – 3) выполняется свойство

4) (коммутативность)

для любых из, такая группа называетсяабелевой. Свойства 1) – 3) называются аксиомами группы, а свойства 1) – 4) аксиомами абелевой группы. В абелевой группе закон композиции записывается обычно как сложение, в связи с чем её аксиомы принимают вид

1’) ;

2’) в существует элементтакой, что

;

3’) для любого изнайдется элемент, такой, что

;

4’) .

Элемент называется нулем абелевой группы, а элементиз аксиомы 3’) – противоположным к элементуи обозначается.

Пример 3. а) Множество являетсямультипликативной группой, т.е. операция умножения матриц определяет на этом множестве структуру группы.

◄ Действительно, из свойства 5) обратимых матриц следует, что умножение матриц является внутренним законом композиции на множестве . Аксиома группы 1) является следствием свойства 3) умножения матриц. Единичная матрица, очевидно, обратима, так как, откуда следует аксиома группы 2),. Аксиома группы 3) является следствием свойства 2) обратимых матриц. ►

б) Множество являетсяаддитивной абелевой группой, т.е. операция сложения матриц определяет на этом множестве структуру абелевой группы.

◄ Очевидно, что определенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а аксиомы абелевой группы являются следствием свойств 1) – 4) сложения матриц. ►

Если на множестве определены два внутренних закона композиции, которые записываются как сложение и умножение и обладают свойствами:

1) сложение определяет на структуру абелевой группы;

2) ;

3) для любыхиз,

тогда говорят, что на множестве заданаструктура кольца. Если при этом по умножению существует единица, это кольцо называется кольцом с единицей, а если операция умножения коммутативна, кольцо называется коммутативным.

Пример 4. а) Операции сложения и умножения чисел задают на множестве структуру коммутативного кольца с единицей.

б) Операции сложения и умножения матриц задают на множестве ,, структуру некоммутативного кольца с единицей.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором все отличные от нуля элементы обратимы, называется полем. Важнейшими примерами полей являются поле рациональных чисел и поле действительных чисел.

Пусть задано непустое множество , элементы которого мы будем называть векторами, и полес единицей 1. Если на множествеопределены внутренний закон композиции, записываемый как сложение векторов,

,

и внешний закон композиции над полем , записываемый как умножение вектора на скаляр,

,

и эти законы обладают свойствами:

1) сложение векторов определяет на структуру абелевой группы;

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

тогда говорят, что на множестве заданаструктура линейного пространства над полем .

Пример 5. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число задают на множестве структуру линейного пространства над полемили кратко структуру действительного линейного пространства.

Непустое множество , на котором заданы два внутренних закона композиции (записываемых как сложение и умножение) и один внешний закон композиции над полем(записываемый как умножение на число), называетсяалгеброй над полем , если:

1) сложение и умножение задают на структуру кольца,

2) сложение и умножение на число задают на структуру линейного пространства над полем,

3) .

Если умножение коммутативно, алгебра называется коммутативной, если умножение обладает единицей, алгебра называется алгеброй с единицей.

Пример 6. Из лекций I и II следует, что введённые там операции сложения и умножения матриц с операцией умножения матрицы на число задают на множестве приструктуру некоммутативной алгебры с единицей.