Элементы-алгебры-Шайкин-А.Н

равно расстоянию от точки М до директрисы.

Замечание. Если фокус находятся на оси OY (F(0, p)), а директриса

2

имеет уравнение y p , то каноническое уравнение будет x2 2py.

2

Общее уравнение кривой второго порядка

a11x2 2a12xy a22 y2 2a1x 2a2 y a 0, заданное в декартовой системе координат, определяет одну из следующих девяти линий (см. табл. 1).

Таблица 1

Классификация кривых второго порядка

32

2.4.Поверхности второго порядка

Утверждения и формулы данного раздела доказываются аналогично тем, что были даны для кривых второго порядка. Поэтому их доказательства не приводятся.

Сфера

Определение. Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром (рис. 6). Расстояние от точек сферы до центра называется радиусом.

Теорема. Сфера радиуса R с центром в точке M0(x0,y0,z0) имеет уравнение (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R2 .

Рис. 6. Сфера

Эллипсоид

Определение. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое

Исследуем форму эллипсоида. Из уравнения видно, что координаты точек поверхности ограничены: | x| a, | y| b, | z| c.

Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью XOY . Так как любая точка плоскости XOY имеет нулевую третью координату, z 0, то координаты

33

Рис. 7. Эллипсоид

Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии – центром эллипсоида. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей.

Гиперболоиды

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность,

x2 y2 z2

каноническое уравнение которой имеет вид a2 b2 c2 1.

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат (рис. 8).

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными

эллипс с полуосями a и b. Найдем линию пересечения с плоскостью YOZ . На

плоскости YOZ , где действительная полуось равна b, а мнимая полуось равна c. Сечение плоскостью XOZ также является гиперболой с уравнением

34

Рис. 8. Однополостный

гиперболоид

Если a b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости XOY , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости YOZ , вокруг оси OZ .

Сечение однополостного гиперболоида может быть и парой прямых, называемых прямолинейными образующими (рис. 9). Если точку их пересечения взять на горловом эллипсе (M0(x0;y0;0)), то уравнениями прямолинейных

Рис. 9. Сечения однополостного

гиперболоида

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность,

Исследуем форму двуполостного гиперболоида (рис. 10). Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии,

35

три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью XOY . На этой

x2 y2

плоскости z 0, поэтому a2 b2 1. Координаты ни одной точки плоскости

XOY не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию

y2 z2

пересечения с плоскостью YOZ . На этой плоскости x 0, поэтому b2 c2 1.

Это уравнение гиперболы на плоскости YOZ , где действительная полуось равна c, а мнимая полуось равна b. Сечение плоскостью XOZ также является

x2 z2

гиперболой, с уравнением a2 c2 1.

Рис. 10. Двуполостный

гиперболоид

Если a b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости XOY , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости YOZ , вокруг оси OZ .

Конус

Определение. Конусом (второго порядка) называется поверхность,

уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью

36

x2 y2

XOY . На этой плоскости z 0, поэтому a2 b2 0. Координаты только одной

точки плоскости XOY могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью YOZ . На этой

уравнением z c x. a

Рис. 11. Конус

Точка пересечения конуса с плоскостью XOY называется вершиной конуса.

Если a b, то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости XOY представляют собой окружности. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости YOZ , вокруг оси OZ .

Параболоиды

Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность,

уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости XOZ , YOZ и координатная ось OZ . Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью XOY . На этой плоскости z 0,

x2 y2

поэтому a2 b2 0. Координаты только одной точки плоскости XOY могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. При

37

положительном z получаем эллипс. Найдем линию пересечения с плоскостью

y2

YOZ . На этой плоскости x 0, поэтому b2 z. Это уравнение параболы на плоскости YOZ . Сечение плоскостью XOZ также является параболой.

Рис. 12. Эллиптический параболоид

Если a b, то сечения плоскостями, параллельными плоскости XOY , представляют собой окружности. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости YOZ , вокруг оси OZ .

Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность,

уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости XOZ , YOZ и координатная ось OZ . Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с

направлены вверх.

38

Рис. 13. Гиперболический параболоид

Цилиндры

Определение. Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые – образующими.

Уравнение вида F(x;y) 0 определяет цилиндрическую поверхность с

поверхности. Таким образом, если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение. Нас будут интересовать только те цилиндрические поверхности, которые являются поверхностями второго порядка.

Определение. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе

называется параболическим цилиндром (рис. 14).

Для того чтобы построить цилиндрическую поверхность, достаточно нарисовать на плоскости XOY направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси OZ . Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными

39

плоскости XOY . В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая.

а – эллиптический; б – гиперболический; в – параболический

Общее уравнение поверхности второго порядка

Общее уравнение поверхности второго порядка

a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz 2a23yz 2a1x 2a2y 2a3z a 0, заданное в декартовой системе координат, определяет одну из следующих семнадцати поверхностей (см. табл. 2).

40