Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Элементы-алгебры-Шайкин-А.Н

..pdf
Скачиваний:
194
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
1.95 Mб
Скачать

1.3. Векторное произведение векторов

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки (рис. 1). В противном случае она называется левой тройкой.

Левая тройка

Правая тройка

 

Рис. 1

При перестановке в упорядоченной тройке двух любых векторов тройка меняет ориентацию на противоположную.

Определение. Векторным произведением а b неколлинеарных

векторов а и b называется вектор с , такой, что: 1. с а b sin a;b ;

2.c a и c b ;

3.вектор с направлен так, что векторы а, b и с в указанном порядке образуют правую тройку.

В случае, если векторы а и b коллинеарны, их векторное произведение равно 0.

Свойства векторного произведения:

1.а,b : а b b а (антикоммутативность).

2.а: а а 0.

3.а,b,с; , R: ( а b) с (а с) (b с)

(линейность).

Подобно тому, как это было сделано для скалярного произведения, можно получить выражение для векторного произведения векторов через их координаты в заданном базисе. Чтобы записать их в компактной и удобной для запоминания форме, нам потребуется понятие определителя.

Определение. Рассмотрим четыре числа: а, b, с и d. Из них можно

11

составить таблицу

2 2:

a

b

,

которая называется квадратной матрицей

 

d

 

второго порядка.

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

Числа а,

b

 

,

с и d называются элементами матрицы.

Элементы a и b образуют первую строку матрицы, элементы c и d – вторую строку; элементы а и с образуют первый столбец матрицы, элементы b и d –

второй столбец.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Число

adbc

называется

 

 

определителем (или

детерминантом) матрицы

a

b

 

 

 

 

 

 

a

b

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

и обозначается так:

 

c

d

 

 

c

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

a2

a3

 

 

 

 

 

 

Определение. Аналогично, таблица

b

b

b

 

, составленная из девяти

 

 

 

1

c

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

2

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

чисел, называется квадратной матрицей третьего порядка.

Как и в случае матрицы второго порядка, вводятся понятия элементов матрицы, ее строк и столбцов. Строки по-прежнему нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.

Определение. Число a

b2

b3

a

 

 

b1

b3

a

 

b1

b2

называется

1

c

c

 

2

 

c

c

3

 

c

c

2

 

 

2

3

 

 

 

1

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

a1

a2

a3

 

определителем (или детерминантом) матрицы

b

b

b

 

и обозначается

 

 

 

 

 

1

c

2

3

 

 

 

 

 

 

 

c

2

c

 

 

 

a1

a2

a3

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

b2

b3

. Более полная теория матриц и определителей будет дана позже.

 

c1

c2

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Пусть е1,е2,е3 – правый ортонормированный базис, и в этом

базисе а ае а е

а е

и b bе

b е b е . Тогда векторное произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

2

 

3

3

 

 

 

1

1

2

2

 

3

3

 

 

 

 

е1

 

е2

е3

 

 

 

 

 

а b вычисляется по следующей формуле а b =

 

 

 

 

 

 

а

 

а

а

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Так как

е1,е2,е3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

 

b2 b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– правый ортонормированный базис, то

 

е

 

 

 

е

 

 

 

е

 

1;

е

е , е

е ,

е

е .

Следовательно,

е е

0,

е

е 0,

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

3

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

2

 

е

 

е

 

 

0.

 

 

 

Поскольку,

 

 

во-первых,

 

е

 

 

 

 

е

 

 

 

 

е

 

sin e ;e

,

во-вторых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

1

2

 

 

е1 е3, е2 е3, и в-третьих,

 

е1,е2,е3

– правая тройка, то е1 е2

e3 . Аналогично,

е2 е1 e3 ,

 

 

 

е1 е3

e2 ,

 

е3 е1 e2 ,

 

е2 е3 e1,

е3 е2 e1.

Тогда

а b

(ае а

е а е ) (bе b е b е )=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

2

 

2

 

3

3

 

 

1

1

2

2

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

=а1b1 (е1 е1) а1b2

(е1

е2) а1b3

(е1 е3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+а2b1

(е2

е1) а2b2

(е2

е2) а2b3

(е2 е3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+а3b1 (е3

е1) а3b2

(е3

е2) а3b3

(е3 е3)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=аb е аb е а bе +а

b e +а be а b e =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

1

3

 

 

2

 

 

 

 

2

1

 

3

 

2

3

1

3

1

2

 

3

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=(а2b3 а3b2)е1 (а1b3 а3b1)е2 +(а1b2 а2b1)е3=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2

 

а3

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

 

a3

 

 

 

 

 

a1

a2

 

=

 

е1

 

е2

 

е3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=е

b b

 

e

 

b b

 

 

e

b b

 

 

а а а

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

b

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Длина вектора векторного произведения а

b

 

численно равна

площади параллелограмма,

построенного на векторах а и b ,

 

как на смежных

сторонах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

sin a;b

 

а b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

Sпар

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Для того чтобы два вектора в пространстве были коллинеарны,

необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось

0.

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство необходимости.

Если векторы

а и

b коллинеарны, то

а b 0 по определению.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а b 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

 

 

 

достаточности.

 

Пусть

 

 

 

 

Тогда

 

а

 

 

 

b

 

sin a;b 0. Если а 0 или

 

 

b 0,

то векторы а и

 

b

коллинеарны,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поскольку нулевой вектор коллинеарен любому. Если

 

а 0

и

b 0, то

sin a;b 0. Следовательно,

a;b 0o

или a;b 180o , т. е. векторы а и

b коллинеарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Смешанное произведение векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Смешанным произведением

 

(a,b,c)

векторов

а,

b и с

называется число, равное скалярному произведению векторного произведения а b и вектора с .

Свойства смешанного произведения:

1.а,b,с : (a,b,c) (c,a,b) (b,c,a) (b,a,c) (c,b,a) (a,c,b)

(полукоммутативность).

2. а,b,с,d; , R: ( а b,c,d) (а,с,d) (b,с,d)

(линейность).

Теорема. Пусть е1,е2,е3 – правый ортонормированный базис, и в этом

13

базисе

а ае а е

а е

,

 

b bе b е

b е

 

и

 

с се с е

с е . Тогда

 

 

 

 

 

 

1

1

2

2

3

3

 

 

 

 

1

1

 

2

2

3

3

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

2

3

3

смешанное

произведение

 

(a,b,c)

 

вычисляется по

следующей

формуле

(a,b,c)=

 

a1

a2

a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b b b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1 c2 c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Так как е1,е2,е3 – правый ортонормированный базис, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2

 

 

а3

 

 

 

a1

 

 

a3

 

 

 

a1

 

 

a2

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a,b,c)=(а b) с

=(е

b

 

 

b

 

e

b

 

 

b

 

e

 

b

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2

 

а3

 

 

 

 

a1

 

a3

 

 

 

 

 

 

a1

 

a2

 

 

с1

 

с2

с3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(се с е с е )=с

 

с

 

 

 

с

 

 

=

а а а

=

 

 

 

1 1

2 2

3 3

1

 

 

b b

 

 

2

 

b b

 

 

 

3

 

 

b b

 

 

 

1

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

b

 

b

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

 

 

a1

a2

 

 

a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

b1

b2

 

 

b3

.

(Убедитесь

 

самостоятельно

 

в

 

справедливости

последнего

 

c1

c2

 

 

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равенства).

Теорема. Модуль смешанного произведения (a,b,c) численно равен

объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с , как на смежных

сторонах.

Доказательство. Vпар Sосн H = а b sin a;b h = а b h = = а b c cos (h,c) =а b c cos (h,c) =

=а b c cos (а b,c) =|(a b) c |=|(a,b,c)|.

Теорема. Для того чтобы три вектора а, b и с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство

 

 

 

необходимости.

Дано: векторы

а,

b и

с

компланарны.

Рассмотрим

различные

случаи,

учитывая,

что

(a,b,c)=(a b) c=

 

а

 

 

 

b

 

sin a;b

 

c

 

cos (а b,c). Если а 0,

b 0

или

 

 

 

 

 

 

 

 

с 0, то (a,b,c)=0.

Иначе,

если а

 

и b

коллинеарны,

то

sin a;b 0.

Следовательно,

(a,b,c)=0. Иначе,

 

поскольку вектор

а b

ортогонален

плоскости векторов а и b , а вектор с лежит в ней, то а b с . Следовательно,

(а b,c) 90o , а cos (а b,c) 0, и тогда (a,b,c)=0.

 

 

 

 

 

 

Доказательство

достаточности.

Пусть

(a,b,c)=0,

т.е.

а

 

 

 

b

 

sin a;b

 

c

 

cos (а b,c)=0. Если

а 0, b 0 или

с 0, то векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

а, b и с компланарны, поскольку 0 компланарен с любыми двумя векторами. Иначе, если векторы а и b коллинеарны, то они линейно зависимы, тогда любой вектор с линейно зависим с ними (покажите это строго по определению

линейной зависимости), а тогда векторы а, b

и с

компланарны. Иначе,

cos (а b,c)=0,

т. е. (а b,c) 90o . Следовательно,

а b с . Поскольку

вектор а b ортогонален плоскости векторов а

и b , а вектор с ортогонален

ему, то вектор с

лежит в плоскости векторов а

и b , т. е. векторы а, b и с

компланарны.

 

 

 

1.5. Решение задач на векторы

В задачах, если не оговорено противное, базис считать правым ортонормированным.

Пример 1. В четырехугольнике ABCD точки P и Q – середины сторон BC

и AD, соответственно. Выразить вектор PQ через векторы AB, BC , CD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

Решение. PQ PB BA AQ

 

BC AB

 

AD

 

 

 

2

1

 

 

1

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

BC AB

 

(AB BC CD)

 

AB

 

 

CD. Как видим, вектор BC в это

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

выражение входит с нулевым коэффициентом (отсутствует).

Пример 2. В параллелограмме ABCD точки P и Q – середины сторон BC

и AD, соответственно. Найти координаты

вектора

 

PQ,

если за

базисные

векторы приняты e AD и e AB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

1

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

Решение.

PQ PC CQ

 

AD

 

 

 

AB

 

 

e

 

 

 

 

e , т. е.

PQ (

 

;

 

) в

базисе e1, e2 .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

2

1

2

2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. В пирамиде ABCD точки P и Q – середины ребер AD и BC,

соответственно.

Найти координаты

вектора

PQ

в

базисе e

AB,

 

e AC,

e AD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. PQ PA AC CQ

 

 

 

AD AC

 

 

CB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

2

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

AD AC

 

(CA AB)

 

e

 

 

e

 

 

 

 

e , т. е.

PQ

(

 

;

 

;

 

) в базисе e ,

 

2

 

 

2

 

2

2

2

 

 

 

 

2

1

2

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

e2 , e3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7a 5b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Дано: a ( 1;2;5), b (1;3;7). Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 7a ( 7;14;35), 5b (5;15;35). Тогда

7a 5b ( 12; 1;0).

 

 

 

 

Пример 5. Проверить, что векторы a ( 1;3) и b (2;2) на плоскости не

коллинеарны, и разложить вектор c (7; 5)

по базису a,b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

Решение.

Так

как

 

1

 

3

, то

векторы

a

и

b

не

коллинеарны.

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c xa yb .

Следовательно, они образуют базис

на плоскости.

 

Тогда

Расписывая по каждой координате, получаем уравнения

7 x ( 1) y 2 и

2 x 3 y 2, откуда x 3,y 2. Таким образом, c 3a 2b .

 

 

Пример 6. Найти длину вектора

a ( 3;4)

на

плоскости

и вектора

b (1; 2;2) в пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. |a|

 

 

5, |b |

 

 

 

 

 

 

( 3)2

42

12 ( 2)2 22 3.

 

 

Пример 7. Найти направляющие косинусы вектора

AB,

если A(1; 1;3),

B(2;1;1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

AB=(1;2; 2).

 

Тогда

| AB|

 

3.

Следовательно,

 

1 4 4

cos 1, cos 2, cos 2. 3 3 3

Пример 8. Вектор a образует с осями OX и OY углы 60о. Какой угол он образует с осью OZ?

Решение. Так как cos2 60o cos2 60o cos2 1, то

cos

1

 

.

 

 

 

 

2

 

 

Следовательно, 45o или 135o .

Пример 9. Вектор a образует с осями координат равные острые углы. Найти эти углы.

Решение. Так как cos2 cos2 cos2 1, то cos 1 . Учитывая,

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

что углы острые, cos

 

. Тогда arccos

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 10. Даны точки A(2;0;1), B(2;1;0), C(1;0;0). Найти угол ABC.

Решение. BA (0; 1;1), BC ( 1; 1;0). Тогда

 

 

 

 

 

 

BA BC

 

 

 

0 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0

 

 

1

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

| BA| | BC|

 

 

02 ( 1)2 12 ( 1)2 ( 1)2 02

 

 

 

 

60o .

Пример 11. Найти проекцию вектора a (1;2;3) на ось l, образующую с координатными осями равные острые углы.

 

Решение.

В

качестве

l

можно

взять

(1;1;1).

Тогда

 

 

a

l

 

1 1 2 1 3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

|l

|

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 12. Даны векторы a (1;2; 1) и b (2; 1;3). Найти Прab .

16

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

1 2 2 ( 1) ( 1) 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Прab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|a|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 13. Вычислить определитель

 

1

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

1

2

 

1 ( 5) ( 2) 3 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 14. Вычислить определитель

 

 

1

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

1 9 2 2 3 ( 2) 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 1

1

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

5

 

2

5

 

 

 

2

4

 

 

 

2

4

5

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ( 4;1; 7),

b (2;5;9)

 

Пример

 

15.

Являются

 

ли

векторы

и

c ( 8;13; 3) компланарными?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

4

1

 

7

 

 

 

 

 

5

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

9

 

4

 

 

 

1

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

3

 

8

 

3

 

 

8

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

13

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,

 

и c

 

4 ( 132) 1 66 7 66 0.

 

 

Следовательно,

 

векторы

b

компланарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и b (2;1;3). Найти a b .

 

 

Пример 16. Даны векторы a ( 1;0;1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

a b

1

0

 

 

1

 

0

1

 

 

 

 

1

1

 

1

 

 

0

 

 

 

Т.е.

 

 

 

 

 

1

3

i

 

2

3

 

 

 

j

 

2

 

 

1

k i 5j k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b ( 1;5; 1).

Пример 17. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

a ( 1;3) и b (1;2).

Решение. Вводя третью координату, получаем a ( 1;3;0)

и b (1;2;0).

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 ( 5)2 5.

 

Тогда S |a b | |0i 0j

 

1

2

 

k |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 18.

 

Найти

 

площадь

треугольника с вершинами

A( 1;0; 1),

B(0;2; 3), C(4;4;1).

Решение. AB (1;2; 2), AC (5;4;2). Тогда

17

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

S

 

 

 

 

|a b |

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

|

 

 

 

12

 

 

( 12)

 

 

( 6)

 

 

 

 

 

9.

2

 

2

4

2

 

 

 

 

5

2

 

 

 

 

 

5

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 19.

Даны

 

векторы a и b . Выразить векторы x (a b) (a b) и

 

(a b)

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

(b

 

 

) через вектор

z a b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. По свойствам векторного произведения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (a b) (a b) a a b a a b b b 2(a b) 2z ,

 

 

 

 

 

(a b)

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(b

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

(a b)

 

 

 

 

 

(b b)

 

 

 

 

(a a)

 

 

(b

a)

 

 

(a b)

 

z .

 

 

 

2

 

 

 

 

2

2

 

2

4

4

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 20. Найти

объем параллелепипеда

 

 

ABCDABC D

 

 

и

высоту,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ABCD,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

опущенную из вершины

A1

 

на основание

 

 

 

 

 

если

A(1;2;3),

 

B(9;6;4),

D(3;0;4), A1(5;2;6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

AB (8;4;1),

AD (2; 2;1),

AA1 (4;0;3). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V |(AB,AD,AA1)| |

 

2

 

 

 

 

 

2

1

 

 

| 48. Площадь основания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

j

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

62 ( 6)2 ( 24)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S | AB AD| |

8

 

 

 

 

 

4

 

 

 

1

 

|

 

 

 

 

18

 

2 . Тогда высота

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

4

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

3

 

 

 

 

 

ABCD и высоту, опущенную из

 

 

Пример 21. Найти объем тетраэдра

 

 

 

 

 

вершины D, если A(0;0;2), B(3;0;5), C(1;1;0), D(4;1;2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

AB (3;0;3),

AC (1;1; 2),

 

 

AD (4;1;0). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

|(AB,AC,AD)|

 

 

 

|

 

1

1

 

 

2

 

|

 

 

 

 

| 3|

 

. Площадь основания

 

 

 

 

6

6

 

 

6

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

j

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

|

AB AD|

 

 

|

3

 

0

3

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

( 3)

 

 

 

9

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Тогда высота

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

3V

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

1.6. Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Вычислить определители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

7

4

 

;

 

 

 

б)

 

1

5

 

;

 

в)

 

 

 

 

 

 

cosx

sinx

 

;

 

г)

 

log

a

b

e a

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinx

cosx

 

 

 

 

 

 

ea

 

logb a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Задача 2. Решить уравнения:

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

3

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

sinx 1

sinx 2

 

0;

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

log2 x 3

 

 

 

 

2

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

sinx

 

 

 

 

 

 

 

log2 x 3

 

 

log2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Вычислить определители:

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

1

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

 

0

sinx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

5 3 2

;

 

 

б)

 

5

2 4

;

в)

 

 

 

b c d

;

 

 

 

г)

 

0

 

 

1

0

 

.

 

 

 

 

1

4

 

 

3

 

 

 

 

 

0

3

7

 

 

 

 

 

0

c

0

 

 

 

 

 

 

 

 

sinx

 

0

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Решить уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

1

x 0

1;

 

 

 

 

б)

 

x

 

1 x

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

a

 

 

a x

 

0;

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

x

 

b x

 

x

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

c x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5. Написать разложение вектора x по векторам p,q,r :

а)

 

x (0; 8;9), p (0; 2;1),q (3;1; 1),r (4;0;1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

x (8; 7; 13), p (0;1;5),q (3; 1;2),r ( 1;0;1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

x (2;7;5), p (1;0;1),q (1; 2;0),r (0;3;1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

x ( 15; 20; 1), p (0;2;1),q (0;1; 1),r (5; 3;2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6. Коллинеарны ли векторы с1и с2 ,

построенные по векторам a и

b ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4a

3b,c

 

 

 

 

 

 

9b 12a;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

a ( 1;2;8),b (3;7; 1),c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2a

2

 

 

 

 

 

 

5a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

a (2;0; 5),b (1; 3;4),c

5b,c

 

 

 

 

 

 

2b ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

a (4;2; 7),b (5;0; 3),c

 

a 3b,c

6b 2a ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

6a

2

 

 

 

 

 

 

b 3a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

a ( 1;3;4),b (2; 1;0),c

2b,c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7. Найти угол между векторами ABи AC :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

A(1;4; 1),B( 2;4; 5),C(8;4;0);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

A(0;1;0),B(0;2;1),C(1;2;0);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

в) A( 4;0;4),B( 1;6;7),C(1;10;9);

г) A( 2;4; 6),B(0;2; 4),C( 6;8; 10).

Задача 8. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) a

6p q,b 5q p,

 

p

 

1/ 2,

 

q

 

 

 

 

 

 

 

4, p;q 5 / 6;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) a

2p 3q,b p 2q,

p

 

2,

 

q

 

 

 

 

 

1, p;q /3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) a

2p 3q,b 5p q,

p

 

2,

q

 

 

 

 

 

 

 

 

3, p;q / 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) a

3p 2q,b 2p q,

p

 

4,

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4, p;q 3 / 4.

Задача 9. Компланарны ли векторы a, b и c ?

а) a (4;1;1),b ( 9; 4; 9),c (6;2;6);

б) a ( 3;3;3),b ( 4;7;6),c (3;0; 1);

в) a ( 7;10; 5),b (0; 2; 1),c ( 2;4; 1);

г) a (7;4;6),b (2;1;1),c (19;11;17).

 

Задача 10. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1,A2,A3, A4

и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1A2 A3:

а)

А1( 2; 1; 1), A2(0;3;2),A3(3;1; 4),A4( 4;7;3);

б)

А1( 3; 5;6), A2(2;1; 4),A3(0; 3; 1),A4( 5;2; 8);

в)

А1(2; 4; 3), A2(5; 6;0),A3( 1;3; 3),A4( 10; 8;7);

г)

А1(1; 1;2), A2(2;1;2),A3(1;1;4),A4(6; 3;8).

Задача 11. Найти расстояние от точки M0 до плоскости, проходящей

через точки M1,M2,M3 :

а) M1(1;1;2), M2( 1;1;3),M3(2;3;8),M0(2; 2;4);

б) M1(2;3;1), M2(4;1; 2),M3( 5; 4;8),M0(6;3;7);

в) M1(1;1; 1), M2(2;3;1),M3( 3; 7;6),M0(3;2;1);

г) M1(1;5; 7), M2( 3;6;3),M3(1; 1;2),M0( 2;7;3).

Задача 12. Найти единичный вектор, перпендикулярный плоскости ABC:

а) A( 1;2; 2),B(13;14;1),C(14;15;2);

б) A(7; 5;0),B(8;3; 1),C(8;5;1);

в) A( 3;6;4),B(8; 3;5),C(0; 3;7);

г) A(2;5; 3),B(7;8; 1),C(9;7;4).

Задача 13. Найти угол между плоскостями:

а)

x y z

2 1 0, 3x y z

2 5 0;

б) 3x y 5 0, 2x y 3 0;

 

 

в)

x y z

 

3 0, x y z

 

1 0;

2

2

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.