Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Элементы-алгебры-Шайкин-А.Н

..pdf
Скачиваний:
194
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
1.95 Mб
Скачать

1

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 1 1

1

0

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0 1

0 2 2

 

2

1 1 1

1

0

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

Тогда B

1

1 0

0

3

3

 

2

1

1 0

1

0

0

.

 

 

2

1

 

1

1 1 0 3 2

 

3

1 0 1

1

0

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

2

1 1 1

2 1

 

1

2

1 1

0

1

0 0

 

 

 

 

 

Пример 3. Составить матрицу A квадратичной формы от трех

неизвестных f (x , x , x ) 7x2

3x2

4x x

2

x

2

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

1

3

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет вид:

 

 

 

 

7

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0,5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Указать квадратичную форму f, соответствующую

симметрической матрице

 

 

 

4

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Является ли указанная квадратичная форма невырожденной?

 

 

 

Решение. Порядок матрицы A равен трем, поэтому квадратичная форма f

будет зависеть от трех неизвестных. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x , x , x ) 4x2 5x

2 2x2

2x x

2

 

2x x 6x

 

x .

1

2

3

1

 

2

3

 

1

 

 

1

3

 

2

3

Вычислим определитель:

| A| 40 3 3 5 2 36 79.

Поскольку | A| 0,

то квадратичная форма f невырождена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Дана квадратичная форма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x , x , x ) x2

2x2 5x2 2x x

2

2x x 6x

2

x .

1

2

3

1

 

2

3

1

 

1

3

 

3

Привести эту форму к каноническому виду с помощью перехода к другому базису.

Решение. Выделим вначале полный квадрат по переменной x1, получим:

f(x12 2x1x2 2x1x3) 2x22 5x32 6x2x3

((x1 x2 x3)2 x22 x32 2x2x3) 2x22 5x32 6x2x3

(x x x )2 3x2

4x2

8x x .

 

1

 

2

3

 

2

 

3

 

 

2

3

 

Далее, выделим полные квадраты по переменным x2

и x3 :

 

f (x x

 

x )2

3

x2

 

8

x x

 

4x2

 

2

 

 

1

 

3

 

2

 

3

 

2 3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

111

(x x

x

 

2

 

 

x

4

x

2

 

16

x

2

 

4x

2

 

)

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

3

 

 

 

2

3

3

 

9

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x x

 

x )2

3

x

 

 

4

x

2

 

16

x2

4x2

 

2

2

 

 

 

1

3

 

 

 

3

3

 

3

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x x x )2

3

x

 

4

x

2

 

28

x2 .

 

 

 

 

1 2 3

 

 

2

 

3

 

3

 

3

3

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 x1 x2 x3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

x2

 

 

 

x3

,

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда квадратичная форма f примет канонический вид:

g(y1, y2, y3) y12 3y22 28 y32 .

3

Покажем, что y1,y2,y3 – базис. В матричном виде замена переменных

y1 x1 x2 x3 ,

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

x2

 

x3

,

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

x ,

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

f

 

 

 

приводящая

квадратичную

форму

 

 

к

каноническому

виду

g(y1, y2, y3) y12 3y22 28 y32 , выглядит следующим образом:

3

 

 

 

 

 

 

 

 

y1

 

1

1

1

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

0

1

4 3

 

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица S

1

 

 

0

1

4

3

 

имеет ненулевой определитель. Поэтому и матрица

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S (столбцами которой являются координаты в старом базисе векторов нового базиса) также невырождена. Заметим, что ранг исходной квадратичной формы f равен 3, так как число ненулевых коэффициентов в каноническом виде равно 3.

Пример 6. Привести квадратичную форму f (x ,x

) 2x2

5x

2

4x x

2

к

1

2

1

 

2

1

 

каноническому виду двумя способами: с помощью ортогонального преобразования (записать явный вид этого преобразования) и методом Лагранжа. Проверить выполнение закона инерции.

Решение. 1-й способ. Матрица квадратичной формы имеет вид:

2

2

 

. Собственные значения:

A

 

 

 

 

2

5

 

 

 

 

 

112

2

2

0

2 7 6 0

 

1,

2

5

 

 

 

 

6.

Тогда ортонормированный базис собственных векторов:

 

2

5

 

1

5

6).

e

 

 

 

(для 1); e

 

 

 

 

(для

1

 

1

5

 

2

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторы e1 и e2 (в силу того, что матрица A – симметрическая, собственные числа различны) взаимно-ортогональны. Впрочем, условие ортогональности e1 и e2 можно проверить и непосредственно, так как скалярное произведение e1 e2 0. Отсюда, матрица S ортогонального преобразования имеет вид:

2

5

1

5

 

S

 

 

 

 

 

 

.

 

1

5

 

2

5

 

 

 

 

Тогда явный вид этого ортогонального преобразования следующий:

x

 

2

 

 

y

1

 

 

 

y

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

5

1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

y

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

 

 

 

1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью этого преобразования квадратичная форма f примет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(y ,y

) y2

6y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2-й способ. Выделим полные квадраты по переменным x1 и x2 :

 

 

 

 

 

f (x ,x

2

) 2(x2

2x x

2

) 5x

2

2((x

x

2

)2

x2) 5x

2

2(x

x

2

)2 3x

2 .

 

 

1

 

1

 

1

 

2

 

 

1

 

 

2

2

1

f

 

2

Положим

z1 x1 x2,

z2

x2 .

 

Тогда

квадратичная

 

форма

 

примет вид:

h(z ,z

2

) 2z2

3z2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Закон инерции, очевидно, выполняется.

Пример 7. Является ли положительно определенной квадратичная форма

f (x1, x2, x3) 5x12 x22 4x32 4x1x2 2x1x3 2x2x3 ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

1

 

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид:

 

1

 

 

A 2

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

Тогда

1 5 0,

2

 

5

2

 

1 0,

3 det(A) 20 2 2 1 16 5 2 0.

 

 

 

2

1

 

Значит, по критерию Сильвестра, квадратичная форма f (x1, x2, x3) является положительно определенной.

Пример 8. Привести к каноническому виду одновременно две квадратичные формы

45x12 72x1x2 18x1x3 45x22 18x2x3 18x32 ,

113

90x2

144x x

2

36x x

106x2

36x

x 36x2 .

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

3

2

 

2

3

3

45

36

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Матрица

первой

квадратичной

формы

A

 

36

45

9

 

, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

9

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

72

18

 

 

второй – B

 

72

106

18

 

. Легко проверить, что первая квадратичная форма

 

 

 

 

18

18

36

 

 

 

 

 

 

положительно определенная. Приведем ее к каноническому виду, выделяя полные квадраты.45x12 72x1x2 18x1x3 45x22 18x2x3 18x32

36x12 72x1x2 36x22 9x12 18x1x3 9x32 9x22 18x2x3 9x32

(6x1 6x2)2 (3x1 3x3)2 (3x2 3x3)2 (x1)2 (x2)2 (x3)2 ,

 

 

 

6x1 6x2

 

 

 

 

 

 

3x2 3x3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

где

 

,

 

 

,

Так

 

как

x

S

x,

то

x1

x2 3x1 3x3

x3

 

 

 

6

6

 

0

 

 

 

 

1/12

 

1/ 6

 

 

1/6

 

 

 

 

 

 

 

 

S 1

 

3

0

 

3

.

Тогда

S

 

1/12

 

1/ 6

1/ 6

.

 

 

Следовательно,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 6

 

 

1/ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

0

 

 

 

 

19/9

2/9

2/9

 

 

 

 

 

 

C S T

AS

0

1

0

 

, а

D ST BS

 

2/9

22/9

4/9

.

Теперь

найдем

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

1

 

 

 

 

 

 

2/9

4/9 22/9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

характеристический

многочлен

матрицы

 

D:

 

 

19/9

 

2/9

 

 

 

2/9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/9

 

22/9

 

 

4/9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/9

 

 

4/9

 

 

22/9

 

3 7 2

16 12,

и

его корни

3,

 

 

2.

Собственные

векторы,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствующие

3, имеют вид

 

2C

 

. Тогда в качестве базисного

h

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно

 

взять

(нормированный)

h 2/3 .

Собственные

 

векторы,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2C1 2C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствующие

 

 

2,

имеют

вид

 

 

C

 

.

Легко проверить, что

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

2,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

каждый из них ортогонален h1 .

Выберем два,

ортогональных между собой.

114

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2C1 2C2

 

Пусть

 

 

1

 

. Тогда

h

найдем из равенства

 

1

 

 

 

 

C

 

0, т.е.

h

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4C 4C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

. Нормировав h

2

C 0. Значит, в качестве h можно взять h

 

1

 

 

1

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/

5

 

 

2/ (3 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и h3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h1 ,

h2

 

h3

 

 

получим

h2 1/

5

и

h3 4/ (3

 

5) .

Записывая

и

 

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5/(3

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

столбцы

матрицы,

 

получим

 

матрицу

 

ортогонального

преобразования

1/3 2/

 

 

 

2/ (3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

0

 

 

5

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

CS2

 

 

 

 

 

 

 

S2 2/3

 

1/

5

 

 

4/ (3

 

5) .

 

Следовательно,

0

1

0

,

а

 

 

 

 

 

E S2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

1

 

 

 

2/3

 

 

0

 

 

 

 

 

5/(3 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F S2

T

DS2

 

 

0

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Тогда преобразование, приводящее к каноническому

 

 

 

 

 

0

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

виду одновременно две данные квадратичные формы, будет иметь матрицу

7/36

5 /15

 

 

5 / 45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 4

 

0

 

 

0

 

 

сами

 

квадратичные формы будут

S S1 S2

 

 

 

 

, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/36

 

0

 

 

5 /9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

2

.

приведены к виду (x1)

 

(x2)

 

(x3)

 

и 3(x1)

 

2(x2)

 

2(x3)

 

5.10. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Доказать, что e

базис. Найти координаты x в этом базисе,

если они даны в стандартном:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

0

;

 

 

 

 

 

а) e e1,e2 , e1

, e2

 

1

,

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

б) e e ,e ,e , e

1

, e

 

1

, e

 

 

0

, x

 

1

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

1

;

1 2 3

1

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

115

 

 

 

 

 

 

, e

 

 

1

, e

 

 

1

, e

 

 

 

1

, x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

в) e e ,e ,e

 

0

 

 

1

 

 

 

1

 

0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 3

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

г) e e ,e ,e ,e ,

 

 

1

,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

e

 

e

 

 

, e

 

,

e

 

 

,

x

 

 

.

 

 

1 2 3 4

 

 

1

 

1

 

 

2

 

 

0

3

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

 

0

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

Задача 2. Найти координаты вектора

 

x

 

 

в базисе

 

 

если они даны в

 

 

 

 

e ,

базисе e:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

 

 

1 1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) e

0

,

; e

 

,

 

1

 

; x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 0

 

 

 

0 0 4

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) e

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

 

0

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

, 0 , 1

; e

 

 

,

 

,

;

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 1

 

 

 

1 0 3

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) e

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 0 , 1 ;

e

1 ,

, 1

;

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 0 4

 

 

 

 

 

3 3 3 3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4 0

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 , 2 , 2 , 2 ; x 4

 

 

г) e 4 , 2 , 1 , 3 ; e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

 

 

 

 

 

 

 

0

4

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Ортонормировать базис e:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) e

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

а) e

,

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

,

 

 

, 1

;

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

1 0 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 0 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

4

 

0

 

0

 

 

в) e

1 ,

2

, 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) e

 

,

,

,

.

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 2 1 3

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 4 0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, если она дана в базисе

 

Задача 4. Найти матрицу оператора A в базисе e

 

e:

116

 

1 0

 

 

1 1

 

 

 

 

1

 

2

;

 

 

 

 

 

 

а) e

0

,

; e

 

,

1

; A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 0

 

 

0 0 4

 

 

1 1

0

 

б) e

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

 

0

 

;

 

 

0 1

0

 

;

1

, 0

, 1

 

; e

 

,

,

 

A

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

 

0

 

 

 

 

0 0

2

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 1

 

 

1 0 3

 

 

1 1

0

 

в) e

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

A

 

0 1

1

 

 

 

, 0

, 1 ; e

1 ,

, 1

;

 

 

;

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0 0

1

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

1 1 0 1

 

 

1 1 1 1

1

0 0

0

 

0

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0

2 0

0

 

 

1

0

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; A 0

0 3

0

г) e 1 , 1 , 1 , 1 ; e

0 , 1 , 1 , 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

0

0

 

0

0 0

4

 

 

1

1

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

Задача 5. Найти собственные значения и собственные (и присоединенные) векторы оператора, заданного матрицей:

2

1

;

2

1

;

3

1

;

а)

1

4

 

б)

3

4

 

в)

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

 

г)

2

3

.

 

 

Задача 6. Найти матрицу оператора в базисе из собственных и присоединенных векторов, если она дана в стандартном базисе:

 

0

1

0

 

 

12

6

2

 

4

5

2

 

 

1

3

3

а)

 

4

4

0

 

;

б)

 

9

3

 

; в)

 

5

7

3

 

;

г)

 

2

6

13

 

 

 

18

 

 

 

 

.

 

 

2

1

2

 

 

 

 

9

3

 

 

 

6

9

4

 

 

 

 

1

4

8

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7. Привести к нормальному виду методом выделения полных квадратов:

а)x2

x2

3x2

4x x 2x x 2x

x ;

1

2

 

3

1

2

1

3

2

3

б)x2

2x2

x2

2x x

2

4x x 2x x ;

1

 

2

3

1

 

1

3

2

3

в)x12 3x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3;

г)x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4 .

Задача 8. Привести к каноническому виду методом ортогонального преобразования, найдя собственные векторы матрицы квадратичной формы:

а)3x2

3x2

4x x 4x x 2x x ;

 

2

 

3

1

2

1

3

 

2

3

 

б)7x2

7x2

7x2

2x x 2x x 2x x ;

1

 

2

3

 

1

2

1

3

2

3

в)x2 2x x 2x x 2x x ;

 

 

 

1

1

2

1

3

2

3

 

 

 

г) 3x2

3x2

x2 6x x 4x x .

 

 

1

 

2

3

1

3

 

2

3

 

 

Задача 9. Проверить квадратичные формы на знакоопределенность:

а)3x12 3x22 3x32 2x1x2 ;

117

б)5x12 3x22 4x32 4x1x3 4x2x3 ; в)27x12 3x22 10x1x2 ;

г) 2x12 4x22 3x32 4x1x2 2x1x3 .

Задача 10. Привести к каноническому виду одновременно две квадратичные формы и найти матрицу данного преобразования:

а)45x2

72x x

2

18x x

 

45x2

72x

x

 

153x

2

,

 

 

1

1

 

 

 

1

3

2

2

3

 

 

3

 

 

90x2

144x x

2

36x x

 

106x2

192x x

 

342x2

;

1

 

1

 

 

1

3

 

2

 

2

3

 

 

3

 

б)45x2

72x x 18x x 45x2

54x

x 90x2

,

 

 

 

1

1

 

2

 

1

 

3

2

2

3

 

 

3

 

 

 

90x2

144x x

2

36x x

 

106x2

140x x

 

196x2

;

1

 

1

 

 

1

3

 

2

 

2

3

 

 

3

 

в)45x2

72x x 18x x 45x2

36x

x 45x2

,

 

 

 

1

1

 

2

 

1

 

3

2

2

3

 

 

3

 

 

 

90x2

144x x

2

36x x

 

106x2

88x x

 

94x2

;

 

 

1

 

1

 

 

1

3

 

2

2

3

 

 

3

 

 

 

г)45x2

72x x 18x x 45x2

18x x 18x2 ,

 

 

 

1

1

 

2

1

3

2

2

3

 

 

3

 

 

 

81x2

132x x

 

54x x

 

102x2

48x x

 

27x2 .

 

 

1

 

1

2

 

1

3

 

 

2

2

3

 

 

3

 

 

 

5.11. Ответы

 

1/ 2

 

 

1/ 2

 

 

0

 

1. а)

; б)

 

 

; в)

 

 

 

; г)

 

 

1/ 2

 

 

1

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

11 . 2.

1

1

1/ 2 а) ; б)

1/ 2

1

 

 

1

 

 

 

2/3

 

; в)

 

0

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

 

 

1/

 

 

 

 

 

1/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

6

 

 

3

 

5/ 2

 

3/

 

 

1/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

. 3. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

; б)

1/

 

2 , 1/

 

 

 

6 , 1/

3

 

 

;

3/ 2

1/

10

 

 

3/

10

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/

6

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

 

5

 

2/

 

 

55 4/

 

 

22 2/

 

 

 

66

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 3 1/ 6 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

5/

 

 

55 1/

22 5/

 

 

 

66

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 1/

3 , 2/

 

6 , 0

;

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/ 5

1/

 

 

 

55 2/

 

22 1/

 

 

66

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 3

1/ 6

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

5/

55

6/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

 

 

 

 

 

 

66

 

 

 

 

5

1

 

 

 

 

 

 

3/ 2

3/ 4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

4.

а)

 

;

б)

 

2/3

 

1

 

 

 

0

 

 

 

;

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/3

 

;

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2 1/3

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1/ 4

3/8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2/3

 

2/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 4 0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

3,

 

 

1

 

 

 

 

0

 

; б) 1,

 

 

 

 

1

 

,

 

5,

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

. 5. а)

 

h

 

 

, h

 

 

h

 

 

 

0

2 2

 

0

 

 

 

 

 

1,2

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

118

 

 

1

;

 

в)

 

 

 

1,2

 

1,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0

 

;

 

 

г)

 

 

 

 

1,2

2 i,

 

 

 

 

 

1

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h1

 

2

,

 

 

h1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h1,2

 

.

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 i

 

 

 

 

2

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 0

 

6. а)

 

0

 

 

 

2 1

 

 

;

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

0

0 1

 

;

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

1

 

;

 

 

г)

 

 

 

0

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

0

 

 

 

0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

;

7. а) (x1)

 

(x2)

 

 

(x3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) (x1)

 

 

(x2)

 

 

(x3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) (x1)

 

(x2)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

;

г) (x1)

 

(x2)

 

 

 

(x3)

 

 

(x4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. а) 4(x1)

 

4(x2)

 

2(x3)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 6(x1)

 

 

6(x2)

 

9(x3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) (x1)

 

3(x2)

 

3(x2)

 

 

 

 

2

 

(1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

9. а) положительно

 

 

 

определена;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) 3(x1)

 

 

 

 

17)(x2)

 

 

 

 

 

 

(1 17)(x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

б) положительно

определена;

 

 

в) положительно

определена;

 

г) отрицательно

определена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. а) (x1)

 

 

(x2)

 

 

(x3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3(x1)

 

2(x2)

 

2(x3)

 

19/90

 

 

 

 

 

/15

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

4/15

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

5 /15 ;

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x1)

 

(x2)

 

 

(x3)

 

 

 

3(x1)

 

2(x2)

 

2(x3)

 

 

1/90

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 / 45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5/ 24

 

 

 

 

 

/15

 

 

 

 

 

 

 

 

/30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

19/72

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

5 /18 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) (x1)

 

 

 

(x2)

 

 

(x3)

 

 

 

 

 

3(x1)

 

2(x2)

 

2(x3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

5 /18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11/54

 

 

/15

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

/135

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

7/ 27

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

5 / 27 ;

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x1)

 

(x2)

 

(x3)

 

 

 

2(x1)

 

 

3(x2)

 

(x3)

 

 

1/54

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 / 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/9

 

7/36

 

 

1/9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1/ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/36

 

 

 

2/9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

119

Учебное издание

ШАЙКИН Александр Николаевич

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ

Редактор: Е. В. Копасова

Подписано в печать 16.12.13 г. Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 7,0. Уч.-изд. л. 8,7. Тираж 1000 экз. Заказ

Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева Издательский центр

Адрес университета и издательского центра: 125047, Москва, Миусская пл., 9

120

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.