Элементы-алгебры-Шайкин-А.Н
..pdf1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 1 1 |
1 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
0 1 |
0 2 2 |
|
2 |
1 1 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|||||||
Тогда B |
1 |
1 0 |
0 |
3 |
3 |
|
2 |
1 |
1 0 |
1 |
0 |
0 |
. |
||||||||
|
|
2 |
1 |
||||||||||||||||||
|
1 |
1 1 0 3 2 |
|
3 |
1 0 1 |
1 |
0 |
0 0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|||
|
|
2 |
1 1 1 |
2 1 |
|
1 |
2 |
1 1 |
0 |
1 |
0 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 3. Составить матрицу A квадратичной формы от трех |
|||||||||||||||||||||
неизвестных f (x , x , x ) 7x2 |
3x2 |
4x x |
2 |
x |
2 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет вид:
|
|
|
|
7 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,5 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 4. Указать квадратичную форму f, соответствующую |
||||||||||||||||||
симметрической матрице |
|
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Является ли указанная квадратичная форма невырожденной? |
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. Порядок матрицы A равен трем, поэтому квадратичная форма f |
||||||||||||||||||
будет зависеть от трех неизвестных. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (x , x , x ) 4x2 5x |
2 2x2 |
2x x |
2 |
|
2x x 6x |
|
x . |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
1 |
3 |
|
2 |
3 |
|||
Вычислим определитель: |
| A| 40 3 3 5 2 36 79. |
Поскольку | A| 0, |
||||||||||||||||
то квадратичная форма f невырождена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 5. Дана квадратичная форма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (x , x , x ) x2 |
2x2 5x2 2x x |
2 |
2x x 6x |
2 |
x . |
|||||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
1 |
3 |
|
3 |
Привести эту форму к каноническому виду с помощью перехода к другому базису.
Решение. Выделим вначале полный квадрат по переменной x1, получим:
f(x12 2x1x2 2x1x3) 2x22 5x32 6x2x3
((x1 x2 x3)2 x22 x32 2x2x3) 2x22 5x32 6x2x3
(x x x )2 3x2 |
4x2 |
8x x . |
|
||||||||||
1 |
|
2 |
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
3 |
|
|
Далее, выделим полные квадраты по переменным x2 |
и x3 : |
|
|||||||||||
f (x x |
|
x )2 |
3 |
x2 |
|
8 |
x x |
|
4x2 |
|
|||
2 |
|
|
|||||||||||
1 |
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
2 3 |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
(x x |
x |
|
2 |
|
|
x |
4 |
x |
2 |
|
16 |
x |
2 |
|
4x |
2 |
|
|
) |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 2 |
3 |
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
9 |
3 |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x x |
|
x )2 |
3 |
x |
|
|
4 |
x |
2 |
|
16 |
x2 |
4x2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||
1 |
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x x x )2 |
3 |
x |
|
4 |
x |
2 |
|
28 |
x2 . |
||||
|
|
|
|
||||||||||
1 2 3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
3 |
|||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 x1 x2 x3 , |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
x2 |
|
|
|
x3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда квадратичная форма f примет канонический вид:
g(y1, y2, y3) y12 3y22 28 y32 .
3
Покажем, что y1,y2,y3 – базис. В матричном виде замена переменных
y1 x1 x2 x3 ,
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
x2 |
|
x3 |
, |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
3 |
|
|
f |
|
|
|
приводящая |
квадратичную |
форму |
|
|
к |
каноническому |
виду |
g(y1, y2, y3) y12 3y22 28 y32 , выглядит следующим образом:
3
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
x1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
0 |
1 |
4 3 |
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица S |
1 |
|
|
0 |
1 |
4 |
3 |
|
имеет ненулевой определитель. Поэтому и матрица |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (столбцами которой являются координаты в старом базисе векторов нового базиса) также невырождена. Заметим, что ранг исходной квадратичной формы f равен 3, так как число ненулевых коэффициентов в каноническом виде равно 3.
Пример 6. Привести квадратичную форму f (x ,x |
) 2x2 |
5x |
2 |
4x x |
2 |
к |
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
каноническому виду двумя способами: с помощью ортогонального преобразования (записать явный вид этого преобразования) и методом Лагранжа. Проверить выполнение закона инерции.
Решение. 1-й способ. Матрица квадратичной формы имеет вид:
2 |
2 |
|
. Собственные значения: |
|
A |
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
112
2 |
2 |
0 |
2 7 6 0 |
|
1, |
2 |
5 |
|
|||
|
|
|
6. |
Тогда ортонормированный базис собственных векторов:
|
2 |
5 |
|
1 |
5 |
6). |
|||||
e |
|
|
|
(для 1); e |
|
|
|
|
(для |
||
1 |
|
1 |
5 |
|
2 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы e1 и e2 (в силу того, что матрица A – симметрическая, собственные числа различны) взаимно-ортогональны. Впрочем, условие ортогональности e1 и e2 можно проверить и непосредственно, так как скалярное произведение e1 e2 0. Отсюда, матрица S ортогонального преобразования имеет вид:
2 |
5 |
1 |
5 |
|
|||
S |
|
|
|
|
|
|
. |
|
1 |
5 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
Тогда явный вид этого ортогонального преобразования следующий:
x |
|
2 |
|
|
y |
1 |
|
|
|
y |
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
1 |
5 |
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
y |
|
|
|
y |
2 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
5 |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью этого преобразования квадратичная форма f примет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(y ,y |
) y2 |
6y2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2-й способ. Выделим полные квадраты по переменным x1 и x2 : |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
f (x ,x |
2 |
) 2(x2 |
2x x |
2 |
) 5x |
2 |
2((x |
x |
2 |
)2 |
x2) 5x |
2 |
2(x |
x |
2 |
)2 3x |
2 . |
||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
1 |
f |
|
2 |
||||
Положим |
z1 x1 x2, |
z2 |
x2 . |
|
Тогда |
квадратичная |
|
форма |
|
примет вид: |
|||||||||||||
h(z ,z |
2 |
) 2z2 |
3z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон инерции, очевидно, выполняется.
Пример 7. Является ли положительно определенной квадратичная форма
f (x1, x2, x3) 5x12 x22 4x32 4x1x2 2x1x3 2x2x3 ?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
1 |
|
Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид: |
|
1 |
|
|||||||
|
A 2 |
1 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
Тогда |
1 5 0, |
2 |
|
5 |
2 |
|
1 0, |
3 det(A) 20 2 2 1 16 5 2 0. |
|||
|
|
||||||||||
|
2 |
1 |
|
Значит, по критерию Сильвестра, квадратичная форма f (x1, x2, x3) является положительно определенной.
Пример 8. Привести к каноническому виду одновременно две квадратичные формы
45x12 72x1x2 18x1x3 45x22 18x2x3 18x32 ,
113
90x2 |
144x x |
2 |
36x x |
106x2 |
36x |
x 36x2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
1 |
|
1 |
3 |
2 |
|
2 |
3 |
3 |
45 |
36 |
9 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Матрица |
первой |
квадратичной |
формы |
A |
|
36 |
45 |
9 |
|
, а |
|||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
9 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
72 |
18 |
|
|
|
второй – B |
|
72 |
106 |
18 |
|
. Легко проверить, что первая квадратичная форма |
|
|
|||||
|
|
18 |
18 |
36 |
|
|
|
|
|
|
положительно определенная. Приведем ее к каноническому виду, выделяя полные квадраты.45x12 72x1x2 18x1x3 45x22 18x2x3 18x32
36x12 72x1x2 36x22 9x12 18x1x3 9x32 9x22 18x2x3 9x32
(6x1 6x2)2 (3x1 3x3)2 (3x2 3x3)2 (x1)2 (x2)2 (x3)2 ,
|
|
|
6x1 6x2 |
|
|
|
|
|
|
3x2 3x3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
где |
|
, |
|
|
, |
Так |
|
как |
x |
S |
x, |
то |
|||||||||||||||||||
x1 |
x2 3x1 3x3 |
x3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
6 |
|
0 |
|
|
|
|
1/12 |
|
1/ 6 |
|
|
1/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S 1 |
|
3 |
0 |
|
3 |
. |
Тогда |
S |
|
1/12 |
|
1/ 6 |
1/ 6 |
. |
|
|
Следовательно, |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 6 |
|
|
1/ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1/12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 0 |
0 |
|
|
|
|
19/9 |
2/9 |
2/9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
C S T |
AS |
0 |
1 |
0 |
|
, а |
D ST BS |
|
2/9 |
22/9 |
4/9 |
. |
Теперь |
найдем |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2/9 |
4/9 22/9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
характеристический |
многочлен |
матрицы |
|
D: |
|
|
19/9 |
|
2/9 |
|
|
|
2/9 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2/9 |
|
22/9 |
|
|
4/9 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/9 |
|
|
4/9 |
|
|
22/9 |
|
|||
3 7 2 |
16 12, |
и |
его корни |
3, |
|
|
2. |
Собственные |
векторы, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующие |
3, имеют вид |
|
2C |
|
. Тогда в качестве базисного |
||||||||||||||||||||||||||
h |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
можно |
|
взять |
(нормированный) |
h 2/3 . |
Собственные |
|
векторы, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C1 2C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
соответствующие |
|
|
2, |
имеют |
вид |
|
|
C |
|
. |
Легко проверить, что |
||||||||||||||||||||
|
h |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
каждый из них ортогонален h1 . |
Выберем два, |
ортогональных между собой. |
114
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2C1 2C2 |
|
||||||||
Пусть |
|
|
1 |
|
. Тогда |
h |
найдем из равенства |
|
1 |
|
|
|
|
C |
|
0, т.е. |
|||
h |
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4C 4C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
. Нормировав h |
|||||
2 |
C 0. Значит, в качестве h можно взять h |
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/ |
5 |
|
|
2/ (3 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и h3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 , |
h2 |
|
h3 |
|
|
|||||||
получим |
h2 1/ |
5 |
и |
h3 4/ (3 |
|
5) . |
Записывая |
и |
|
как |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5/(3 |
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
столбцы |
матрицы, |
|
получим |
|
матрицу |
|
ортогонального |
преобразования |
||||||||||||||||||||||||
1/3 2/ |
|
|
|
2/ (3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
0 |
|
|
||||||||||||||
5 |
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
CS2 |
|
|
|
|
|
|
|
S2 2/3 |
|
1/ |
5 |
|
|
4/ (3 |
|
5) . |
|
Следовательно, |
0 |
1 |
0 |
, |
а |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E S2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
1 |
|
|
|
|
2/3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
5/(3 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
F S2 |
T |
DS2 |
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
. Тогда преобразование, приводящее к каноническому |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виду одновременно две данные квадратичные формы, будет иметь матрицу
7/36 |
5 /15 |
|
|
5 / 45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1/ 4 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
сами |
|
квадратичные формы будут |
||||||
S S1 S2 |
|
|
|
|
, а |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/36 |
|
0 |
|
|
5 /9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
. |
|
приведены к виду (x1) |
|
(x2) |
|
(x3) |
|
и 3(x1) |
|
2(x2) |
|
2(x3) |
|
5.10. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Доказать, что e – |
базис. Найти координаты x в этом базисе, |
||||||||||||||||||
если они даны в стандартном: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
0 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||
а) e e1,e2 , e1 |
, e2 |
|
1 |
, |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) e e ,e ,e , e |
1 |
, e |
|
1 |
, e |
|
|
0 |
, x |
|
1 |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
; |
|||||
1 2 3 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
115
|
|
|
|
|
|
, e |
|
|
1 |
, e |
|
|
1 |
, e |
|
|
|
1 |
, x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) e e ,e ,e |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 2 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|||||||||||
г) e e ,e ,e ,e , |
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||
e |
|
e |
|
|
, e |
|
, |
e |
|
|
, |
x |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 2 3 4 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
0 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
Задача 2. Найти координаты вектора |
|
x |
|
|
в базисе |
|
|
если они даны в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
базисе e: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 0 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) e |
0 |
, |
; e |
|
, |
|
1 |
|
; x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 1 0 |
|
|
|
0 0 4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
б) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
, 0 , 1 |
; e |
|
|
, |
|
, |
; |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 1 1 |
|
|
|
1 0 3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
в) e |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
, 0 , 1 ; |
e |
1 , |
, 1 |
; |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 3 0 4 |
|
|
|
|
|
3 3 3 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , 2 , 2 , 2 ; x 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
г) e 4 , 2 , 1 , 3 ; e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Задача 3. Ортонормировать базис e: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) e |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) e |
, |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
, 1 |
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 0 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||
в) e |
1 , |
2 |
, 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) e |
|
, |
, |
, |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 1 3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 4 0 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если она дана в базисе |
||||
|
Задача 4. Найти матрицу оператора A в базисе e |
|
e:
116
|
1 0 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) e |
0 |
, |
; e |
|
, |
1 |
; A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 1 0 |
|
|
0 0 4 |
|
|
1 1 |
0 |
|
|||||||||||||||||||
б) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
0 |
|
; |
|
|
0 1 |
0 |
|
; |
|||||||
1 |
, 0 |
, 1 |
|
; e |
|
, |
, |
|
A |
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 0 |
2 |
|
|
||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 1 1 |
|
|
1 0 3 |
|
|
1 1 |
0 |
|
|||||||||||||||||||
в) e |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
A |
|
0 1 |
1 |
|
|
||||||||||
|
, 0 |
, 1 ; e |
1 , |
, 1 |
; |
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 0 |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 1 0 1 |
|
|
1 1 1 1 |
1 |
0 0 |
0 |
||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
2 0 |
0 |
|
||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; A 0 |
0 3 |
0 |
||||
г) e 1 , 1 , 1 , 1 ; e |
0 , 1 , 1 , 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 0 |
4 |
||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
Задача 5. Найти собственные значения и собственные (и присоединенные) векторы оператора, заданного матрицей:
2 |
1 |
; |
2 |
1 |
; |
3 |
1 |
; |
|||||
а) |
1 |
4 |
|
б) |
3 |
4 |
|
в) |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
г) |
2 |
3 |
. |
|
|
Задача 6. Найти матрицу оператора в базисе из собственных и присоединенных векторов, если она дана в стандартном базисе:
|
0 |
1 |
0 |
|
|
12 |
6 |
2 |
|
4 |
5 |
2 |
|
|
1 |
3 |
3 |
|||||||
а) |
|
4 |
4 |
0 |
|
; |
б) |
|
9 |
3 |
|
; в) |
|
5 |
7 |
3 |
|
; |
г) |
|
2 |
6 |
13 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
9 |
3 |
|
|
|
6 |
9 |
4 |
|
|
|
|
1 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7. Привести к нормальному виду методом выделения полных квадратов:
а)x2 |
x2 |
3x2 |
4x x 2x x 2x |
x ; |
||||||
1 |
2 |
|
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|
б)x2 |
2x2 |
x2 |
2x x |
2 |
4x x 2x x ; |
|||||
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
1 |
3 |
2 |
3 |
в)x12 3x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3;
г)x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4 .
Задача 8. Привести к каноническому виду методом ортогонального преобразования, найдя собственные векторы матрицы квадратичной формы:
а)3x2 |
3x2 |
4x x 4x x 2x x ; |
|
|||||||
2 |
|
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
|
б)7x2 |
7x2 |
7x2 |
2x x 2x x 2x x ; |
|||||||
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
в)x2 2x x 2x x 2x x ; |
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
г) 3x2 |
3x2 |
x2 6x x 4x x . |
|
|
||||||
1 |
|
2 |
3 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
|
|
Задача 9. Проверить квадратичные формы на знакоопределенность:
а)3x12 3x22 3x32 2x1x2 ;
117
б)5x12 3x22 4x32 4x1x3 4x2x3 ; в)27x12 3x22 10x1x2 ;
г) 2x12 4x22 3x32 4x1x2 2x1x3 .
Задача 10. Привести к каноническому виду одновременно две квадратичные формы и найти матрицу данного преобразования:
а)45x2 |
72x x |
2 |
18x x |
|
45x2 |
72x |
x |
|
153x |
2 |
, |
|
||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
3 |
2 |
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|||
90x2 |
144x x |
2 |
36x x |
|
106x2 |
192x x |
|
342x2 |
; |
|||||||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|||
б)45x2 |
72x x 18x x 45x2 |
54x |
x 90x2 |
, |
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
2 |
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
90x2 |
144x x |
2 |
36x x |
|
106x2 |
140x x |
|
196x2 |
; |
|||||||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|||
в)45x2 |
72x x 18x x 45x2 |
36x |
x 45x2 |
, |
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
2 |
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
90x2 |
144x x |
2 |
36x x |
|
106x2 |
88x x |
|
94x2 |
; |
|
|
|||||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
3 |
|
2 |
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
||
г)45x2 |
72x x 18x x 45x2 |
18x x 18x2 , |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
3 |
2 |
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|||
81x2 |
132x x |
|
54x x |
|
102x2 |
48x x |
|
27x2 . |
|
|
||||||||
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
5.11. Ответы
|
1/ 2 |
|
|
1/ 2 |
|
|
0 |
|
||
1. а) |
; б) |
|
|
; в) |
|
|
|
; г) |
||
|
|
1/ 2 |
|
|
1 |
|||||
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
11 . 2.
1
1
1/ 2 а) ; б)
1/ 2
1 |
|
|
1 |
|
|
||
|
2/3 |
|
; в) |
|
0 |
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
1/ |
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
3 |
||||||||||||
|
5/ 2 |
|
3/ |
|
|
1/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
г) |
. 3. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
; б) |
1/ |
|
2 , 1/ |
|
|
|
6 , 1/ |
3 |
|
|
; |
|||||||
3/ 2 |
1/ |
10 |
|
|
3/ |
10 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/ |
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
|
5 |
|
2/ |
|
|
55 4/ |
|
|
22 2/ |
|
|
|
66 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1/ 3 1/ 6 1/ 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5/ |
|
|
55 1/ |
22 5/ |
|
|
|
66 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) 1/ |
3 , 2/ |
|
6 , 0 |
; |
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/ 5 |
1/ |
|
|
|
55 2/ |
|
22 1/ |
|
|
66 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 3 |
1/ 6 |
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
5/ |
55 |
6/ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3/ 2 |
3/ 4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||
4. |
а) |
|
; |
б) |
|
2/3 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
; |
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/3 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 1/3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1/ 4 |
3/8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2/3 |
|
2/3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 4 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
; б) 1, |
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
5, |
||||||||||||||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. 5. а) |
|
h |
|
|
, h |
|
|
h |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
2 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1,2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118
|
|
1 |
; |
|
в) |
|
|
|
1,2 |
|
1, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
; |
|
|
г) |
|
|
|
|
1,2 |
2 i, |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
2 |
, |
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1,2 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
6. а) |
|
0 |
|
|
|
2 1 |
|
|
; |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
г) |
|
|
|
0 |
|
1 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
; |
||||||||||||||||||
7. а) (x1) |
|
(x2) |
|
|
(x3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) (x1) |
|
|
(x2) |
|
|
(x3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) (x1) |
|
(x2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
; |
||||
г) (x1) |
|
(x2) |
|
|
|
(x3) |
|
|
(x4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. а) 4(x1) |
|
4(x2) |
|
2(x3) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
б) 6(x1) |
|
|
6(x2) |
|
9(x3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) (x1) |
|
3(x2) |
|
3(x2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
9. а) положительно |
|
|
|
определена; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) 3(x1) |
|
|
|
|
17)(x2) |
|
|
|
|
|
|
(1 17)(x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) положительно |
определена; |
|
|
в) положительно |
определена; |
|
г) отрицательно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. а) (x1) |
|
|
(x2) |
|
|
(x3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(x1) |
|
2(x2) |
|
2(x3) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19/90 |
|
|
|
|
|
/15 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
4/15 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 /15 ; |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1) |
|
(x2) |
|
|
(x3) |
|
|
|
3(x1) |
|
2(x2) |
|
2(x3) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1/90 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 / 45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5/ 24 |
|
|
|
|
|
/15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||
19/72 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 /18 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) (x1) |
|
|
|
(x2) |
|
|
(x3) |
|
|
|
|
|
3(x1) |
|
2(x2) |
|
2(x3) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 /18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1/ 72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11/54 |
|
|
/15 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
7/ 27 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
5 / 27 ; |
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1) |
|
(x2) |
|
(x3) |
|
|
|
2(x1) |
|
|
3(x2) |
|
(x3) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1/54 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 / 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/9 |
|
7/36 |
|
|
1/9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1/36 |
|
|
|
2/9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1/9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119
Учебное издание
ШАЙКИН Александр Николаевич
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ
Редактор: Е. В. Копасова
Подписано в печать 16.12.13 г. Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 7,0. Уч.-изд. л. 8,7. Тираж 1000 экз. Заказ
Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева Издательский центр
Адрес университета и издательского центра: 125047, Москва, Миусская пл., 9
120